2.2 基本不等式 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
2.2 基本不等式
学习目标
1.能够推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义,并掌握不等式中“≥”取等号的条件；
2.掌握基本不等式 ；会应
用基本不等式求一些函数的最值能够解决一些简单的实际问题
3.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.
问题 试比较a2+b2与2ab的大小关系？
解：
当且仅当a=b时，等号成立
PART 重要不等式
当且仅当a=b时，等号成立
文字表述：两个实数的平方和大于等于它们乘积的2倍
当且仅当a=b时，等号成立。
替换后得到：
即：
即：
当且仅当a=b时,等号成立.
定理 基本不等式
均值不等式
定理 基本不等式
均值不等式
一般地，对于任意实数a,b>0，我们有 ，当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式：
a,b的算术平均数
a,b的几何平均数
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
公式
定理 基本不等式
均值不等式
，
当且仅当时，等号成立
，
当且仅当时，等号成立
变形式
证明:
例 已知a,b,c都是整数，求证：
当且仅当a=b时，等号成立；
当且仅当b=c时，等号成立；
当且仅当c=a时，等号成立；
当且仅当a=b=c时，等号成立；即证原不等式成立.
定理 基本不等式
均值不等式
名称 定理1：重要不等式 定理2：基本不等式
表达式
文字叙述
适用范围
“=”成立条件
a=b
a=b
a,b∈R
a>0,b>0
两实数的平方和不小于它们积的2倍
两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
基本不等式
基本不等式的证明
法一：用分析法证明：
显然，（4）是成立的.当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.
要证（2），只要证
a+b- ≥0 （3）
要证（3），只要证
（ - ）2≥0 （4）
只要证
a+b≥ （2）
要证
（1）




基本不等式
基本不等式的证明
法二：作差法
基本不等式
≤ (a>0, b>0) 的几何解释：
D
A
B
C
E
如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,
则CD= , 半径为 .
思考：图中什么时候 = ？
基本不等式的简单变形
≥ (a>0, b>0)
≤()2 (a>0, b>0)
≤ (a>0, b>0)
和
积
基本不等式的功能：和积转化
题型一 直接应用型
题型二 凑配型
题型三 “1”的妙用
题型四 换元法
题型五 恒成立问题
例1 (1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的长度为
(1)由已知得
由，
可得
∴
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为
例1 (2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的长度为
(2)由已知得矩形菜园的面积为
由
可得
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是.
例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为水池的总造价为元.
根据题意，有
由容积为,可得因此
所以
当时，上式等号成立，此时
所以，将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
练习
利用基本不等式求最值
例.(1)已知，求的最小值.
解：(1)∵，
∴
∴
当且仅当，即时，“=”成立.
∴的最小值为0.
练习
例.(2)已知，求的最大值.
解：(2)∵，
∴，
∴
当且仅当，即时，“”成立.
∴的最大值为.
练习
例.(3)已知，且求的最小值.
解：(3)∵，且
∴
当且仅当即时，“”成立.
∴的最小值为.
练习
变.(1)已知，求的最大值.
解：(1)∵，
∴<0，0.
∴
当且仅当得或(舍去)，即，“=”成立.
∴的最大值为.
练习
变.(2)已知，且求的最小值.
解：(3)∵，且
∴
∴
当且仅当即时，“”成立.
∴的最小值为.
练习
方法技巧：
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的简化以及等式中常数的调整，做到等价变形.
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
(4)注意“1”的妙用.
小结
3.求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 (当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2) x+y=S xy≤S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
2. 利用基本不等式求最值
1. 基本不等式
如果，则，当且仅当，等号成立。
本讲结束