2.2基本不等式 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
第二章 一元二次函数、方程、不等式
2.2 基本不等式
重点
难点
1.了解并掌握基本不等式以及基本不等式的证明过程。
2.会用基本不等式证明不等式，以及求简单的最值问题
学习目标
复习导入
我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题.
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
有当且仅当时，等号成立.
特别地，如果，，我们用分别代替上式中的，
可得 (1) 当且仅当时，等号成立.
通常称不等式为基本不等式.其中，叫做正数的算术平均数.叫做正数的几何平均数.
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
如果a>0,b>0,我们用 分别代替a,b,可得到什么结论？
即：
即：
替换后得到：
（a>0,b>0）
基本不等式
定义:特别地，若a>0，b>0，则 ,
基本不等式
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
算术平均数
几何平均数
文字叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
a2+b2≥2ab
适用 范围 a,b∈R a>0,b>0
文字 叙述 两数的平方和不小于它们积的2倍 两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
“=”成立 的条件 a=b a=b
注意从不同角度认识基本不等式
填表比较：
【证法一】当时，，
，
，所以
由重要不等式可得：
【证法二】当然我们也可以利用分析法：
把这个过程倒过来，就是证明的过程.
只要证；
只要证；
只要证.
要证，去分母并调换方向，
而此式显然成立.
当且仅当时，等号成立.
.
所以
所以
所以
综合法
新课讲授
探究：
在图2.2-1中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
新课讲授
如图2.2-1，可证△ACD∽ △DCB，因而CD=由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为
显然，当且仅当点C于圆心重合，即当a=b时，
上述不等式的等号成立。
例1 已知x>0,求x+的最小值
.
经典例题
解：
∵x0,0
∴x+2
当且仅当x，即=1,x=1时等号成立,
∴，所求的最小值为2
一正
二定
三相等
变式 已知x<0,求x+的最大值
.
经典例题
解： ∵x0,
∴x>0,>0
∴(x)+() 2
∴ x+-2，
当且仅当 (x)=()，即=1,x=-1时等号成立,
∴所求的最大值为-2
例2 已知x>3，函数y=x+x为何值时，函数有最值，并求其最值.
.
经典例题
解：∵x>3，
∴x-3>0
∴y=x-3+2+3=5
当且仅当x-3=，即x=4时，等号成立，函数有最小值，最小值为5
例3 已知篱笆成矩形花坛，边长分别为a、b，面积为36，求篱笆用料的最小值(求a+b即可).
.
经典例题
解：已知a>0，b>0,ab=36，
则6，
又∵a+b≥2a=b=6时，等号成立
∴a+b的最小值为12
.
当ab为定值时，求和a+b的最小值
变式 已知篱笆成矩形花坛，边长分别为a、b，周长为36，求围成的面积的最大值.
.
经典例题
解：已知a>0，b>0,a+b=18，
又∵a+b≥2
∴≤==81，a=b=9时，等号成立
∴ab的最大值为81
.
当a+b为定值时，求积ab的最大值
最值定理
小节
已知x、y都为正数，求证：
如果积xy=P，那么当x=y时，和x+y有最小值2
如果和x+y=S,那么当x=y时，积xy有最大值
例1.(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的长度为
(1)由已知得
由，可得
∴
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为
例析
(2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：(2)由已知得矩形菜园的面积为
由
可得
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是.
例析
例2.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为水池的总造价为元.
根据题意，有
由容积为,可得
∴
当时，上式等号成立，此时
所以，将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
练一练
1.设a>0，b>0，证明下列不等式：
(1) (a+)(b+)≥4
(2) (a+b)(+)≥4
2.已知x>0，求 x + 的最小值.
练一练
3.试判断x(2-x)(0解答： x(2-x)≤()2=1 , 只有x=1时才取等号
课堂小结
课堂小结：
(1)重要不等式；
(2)基本不等式.
知识像一艘船让它载着我们驶向理想的
……
谢谢
再 见