初中数学北师大版九上2.2.2用配方法求解一元二次方程教学设计

2.2.2用配方法求解一元二次方程
一、教学目标
1.理解配方法的基本思路.
2.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.
二、教学重难点
重点：使学生掌握配方法解一元二次方程.
难点：把一元二次方程转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式.
三、教学方法
本课时教学内容主要是探究配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，并把握配方的特点，掌握解方程的关键. 在此基础上，熟练地利用配方法解方程.
本节课采用引导—发现的教学方法，教师设计问题情境，引导学生独立思考，主动发现在解方程的步骤中的特点和技巧.培养学生转化的思想.
四、教学设计
（一）复习回顾
利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤:
(1)移项:把常数项移到方程的右边;
(2)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
(3)变形:方程左边分解因式，右边合并同类项;
(4)开方:根据平方根的意义，方程两边开平方;
(5)求解:解一元一次方程;
(6)定解:写出原方程的解.
（二）问题探究
问题1：观察下面两个一元二次方程：
① x2 + 6x + 8 = 0 ;
② 3x2 +18x +24 = 0.
问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .
解：移项，得 x2 + 6x =－8 ，
配方，得 （x + 3）2 = 1.
开平方， 得 x + 3 = ±1.
解得 x1 =－2 ， x2=－4.
（三）典例解析
例1：用配方法解方程： 3x2 +18x +24 = 0.
解：方程两边同时除以3，得
x2 + 6x + 8 = 0 .
移项，得 x2 + 6x =－8 ，
配方， 得 （x + 3）2 = 1.
开平方， 得 x + 3 = ±1.
解得 x1 =－2 ， x2=－4 .
总结：在使用配方法过程中若二次项的系数不为1时，需要将二次项系数化为1后，再根据配方法步骤进行求解.
例2：解方程： 3x2 + 8x－3 = 0.
解：两边都除以3，得：
移项，得：
配方，得：
即：
所以: ，
例3：一个小球从地面上以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：h=15t－ 5t2.小球何时能达到10 m高？
解：将 h = 10代入方程式中：15t－ 5t2 = 10.
两边同时除以－5，得 t2－ 3t =－2，
配方，得 t2－ 3t + ()2= ()2－ 2，
（t－）2 =
两边开平方，得 t－ =
即 t－= ，或 t－=－.
所以 t1=2 ， t2 =1 .
反思：
①二次项系数要化为1；
②在二次项系数化为1时，常数项也要除以二次项系数；
③配方时，两边同时加上一次项系数一半的平方.
例4.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
（四）归纳总结
思考：用配方法解一元二次方程（二次项系数为1）的步骤是什么？
步骤：（1）移常数项，二次项系数化为1；
（2）配方，两边都加上一次项系数一半的平方；
（3）写成（x+n)2=p (p ≥0)；
（4）直接开平方法解方程.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.
①当p>0时，则，方程的两个根为，
②当p=0时，则(x+n)2=0，x+n=0，开平方得方程的两个根为
x1=x2=－n.
③当p<0时，则方程(x+n)2=p无实数根.
（五）课堂小结
引导学生总结:
1.配方法解一元二次方程的作用是什么 配方时要注意什么
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么
（六）课堂练习
1.用适当的数填空，使等式成立：
(1)x2－4x+ =(x－ )2;
(2)x2+5x+ =(x+ )2.
2.下列各式是完全平方式的是（ ）
A.x2+7x+7 B.n2－4n－4 C.x2+12x+14 D.y2－2y+1
3.（兰州中考）用配方法解方程x2－2x－1=0时，配方后得的方程为（ ）
A.(x+1)2=0 B.(x－1)2=0 C.(x+1)2=2 D.(x－1)2=2
4. 方程2x2－3m－x +m2 +2=0有一根为x = 0，则m的值为（ ）
A. 1 B.1 C.1或2 D.1或－2
5.应用配方法求最值.
(1) 2x2－4x+5的最小值；
(2) －3x2 + 5x +1的最大值.
（七）布置作业
教材第40页习题2.4第1题.
五、板书设计
2.2.2　用配方法解一元二次方程 一、用配方法解一元二次方程的步骤 二、例题 三、练习
六、教学反思
从本节课的具体教学过程来分析，我有以下几点体会和认识:
1.学生对这部分知识的理解很好，在讲解时，教师通过从“已知”到“未知”的过渡，总结了配方法的具体步骤，然后再加以练习巩固.
2.体现分层教学，让每个学生都得到发展，对于基础较差的学生我只要求认真理解并巩固配方法;对于基础较好的学生根据它们的课堂反应，我还在知识拓宽方面加以提升.
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