初中数学北师大版九上2.3.1用公式法求解一元二次方程教学设计

2.3.1用公式法求解一元二次方程
一、教学目标
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；
2．会用公式法解一元二次方程；
3．会用根的判别式b2－4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用．
二、教学重难点
重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程，熟悉根的判别式的运用.
难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆;系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误.
三、教学方法
本课时教学内容主要是探究公式法解一元二次方程，要求学生体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0，并会用公式法解一元二次方程.
本节课首先复习了配方法解一元二次方程的步骤，然后在此基础上推导出公式，然后通过例题讲解公式解方程的步骤，通过练习巩固加深.
四、教学设计
（一）复习回顾
用配方法解一元二次方程的步骤是什么
（1）移常数项，二次项系数化为1;
（2）配方，两边都加上一次项系数一半的平方；
（3）写成（x+n)2=p (p ≥0);
（4）直接开平方法解方程.
（二）问题探究
我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的，因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多.
你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗 请你试一试，并与同伴交流.
教师给出证明:
方程两边同时除以a，得x2+x+=0，
移项，得x2+x=－，
配方，得x2+x+=，
即.
因为a≠0，所以4a2>0.
当b2－4ac≥0时，是一个非负数，此时两边开平方，得
，
即.
这就是说，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是.
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
当b2－4ac ＜0时，＜0
而x取任何实数都不能使上式成立.
此时，方程无实数根.
（三）归纳总结
公式法解方程的步骤：
1.变形:化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a，b，c写出各项系数;
3.计算：b2－4ac的值;
4.判断：若b2－4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2－4ac<0，则方程没有实数根.
根的判别式：
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根;
当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根;
当b2－4ac<0时，方程没有实数根.
由此可知.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示.
（四）典例解析
例1 解方程：x2 +7x–18 = 0.
解：这里 a=1， b= 7， c=－18.
∵ b2－4ac =7 2 – 4 × 1× (－18 ) =121>0，
∴x=
即 x1 =－9， x2 = 2 .
例2 解方程： 4x2+1= 4x.
解：将原方程化为一般式，得 4x2－4x +1= 0，
这里 a = 4， b =－4 ， c = 1.
∵b2－4ac=(－4 )2－4×4×1 =0
∴
即x1＝x2＝
例3. 解方程（x－2) (1－3x) = 6.
解：去括号 ，得 x –2－3x2 + 6x = 6，
化简为一般式3x2－7x + 8 = 0，
a = 3， b =－7 ， c = 8.
∵b2－ 4ac=(－7 )2 – 4 × 3 × 8 = 49–96
=－47 < 0，
∴原方程没有实数根.
（五）课堂练习
1.已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( B )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
2.若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( B )
A.k>－1 B.k>－1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0
3.不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+4x－3=0； （2）4x2=12x－9； (3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3，b=4，c=－3，
∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0，
∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
∴方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为：5y2－7y+5=0，
∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.
∴方程有两个相等的实数根．
4.解方程：4x2－3x+2=0
解：∵a=4，b=－3，c=2，
∴b2－4ac=（－3）2－4×4×2=－23＜0
所以方程无实数根.
5.解方程：
解：∵a=1，b=1，c=－1，
∴b2－4ac=12－4×1×（－1）=5＞0
∴x=
∴，
见课本43页“随堂练习”
（六）课堂小结
1.公式法解一元二次方程的步骤是什么 利用公式法时要注意什么
2.一元二次方程根的判别式与一元二次方程根之间有什么关系
（七）布置作业
教材第43页习题2.5第2题.
五、板书设计
2.3.1　用公式法解一元二次方程
1.求根公式 2.根的判别式 例1 例2 例3 3.课堂练习 4.小结
六、教学反思
从本节课的具体教学过程来分析，有以下几点体会和认识:
1.学生对这部分知识的理解很好，在讲解时，教师通过从“已知”到“未知”的过渡，总结了公式法的具体步骤和根的判别式与根之间的关系，然后再加以练习巩固.
2.体现分层教学，让每个学生都得到发展，对于基础较差的学生，我只要求认真理解并巩固配方法;对于基础较好的学生，根据他们的课堂反应，我还在知识拓宽方面加以提升.
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