初中数学北师大版九上2.4用因式分解法求解一元二次方程教学设计

2.4用因式分解法求解一元二次方程
一、教学目标
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一元二次方程.
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.
二、教学重难点
重点：用因式分解法解一元二次方程.
难点：将方程右边化为零后，对左边进行正确的因式分解.
三、教学方法
本课时教学内容主要是探究因式分解法解一元二次方程，要求学生体验用因式分解推导一元二次方程求根公式的过程，并会用因式分解法解一元二次方程.
本节课共设计了五个教学环节，首先用不同的方法解同一个一元二次方程，然后在对比中提出因式分解的方法，体现了因式分解在解一元二次方程中的独特性，然后通过例题讲解因式分解法解方程的步骤，通过练习巩固加深.
四、教学设计
（一）复习回顾
问题1：我们已经学过了哪些解一元二次方程的方法
问题2：分解因式的方法有那些
（二）问题探究
问题1　一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗 如果相等，这个数是几 你是怎样求出来的
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x，但是他们的解法却各不相同.
小颖:由方程x2=3x，得x2－3x=0.因此x=，即x1=0，x2=3，所以这个数是0或3.
小明:方程x2=3x两边同时约去x，得x=3. 所以这个数是3.
小亮:由方程x2=3x，得x2－3x=0，即x(x－3)=0.于是x=0，或x－3=0.因此x1=0，x2=3，所以这个数是0或3.
他们做得对吗 为什么 你是怎么做的
学生讨论，然后与自己做的对比，教师点评.
点评:如果a·b=0，那么a=0或b=0.
小明的做法是不正确的，方程两边同时除以x，这样解使方程少了一个解，原因在于两边同时除以的因式x可能为0.而方程两边不可以同时除以0.
总结：　当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
因式分解法
当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.
因式分解法的基本步骤
一移－－－－－方程的右边=0；
二分－－－－－方程的左边因式分解；
三化－－－－－方程化为两个一元一次方程；
四解－－－－－写出方程两个解.
（三）典例解析
例1：解下列方程：
（1）5x2 = 4x； （2）x – 2 = x (x－2).
解：（1）5x2－4x = 0，
x (5x－4) = 0.
∴x = 0 或 5x–4 =0.
∴ x1 = 0 ， x2=.
解：(x－2) – x (x－2) = 0，
(x－2) (1－x) = 0.
∴x–2 = 0 或 1–x = 0.
∴ x1 = 2 ， x2=1.
总结：（1）对于一元二次方程（x－p）（x－q）=0，它的两个实数根分别为x1 = p， x2=.
（2）对于已知一元二次方程的两个实数根为p，q，那么这个一元二次方程可以写成（x－p）(x－q )=0的形式.
例2：解下列方程：
（1）（2x + 3）2 = 4 (2x + 3) ; （2）(x－2) 2 = (2x + 3) 2.
解：（2x+3）2 －4 (2x+3) =0 ，
(2x+3) (2x +3－4) = 0，
(2x+ 3) (2x－1) = 0.
∴ 2x + 3 = 0 或 2x－1=0
∴x1 =－ ， x2=
解：（x－2）2 －(2x + 3) 2 =0，
( x－2+2x+3) (x－2－2x－3)=0，
(3x + 1)(x + 5) = 0.
∴ 3x + 1 = 0 或 x + 5 = 0
∴ x1 =－ ， x2=－5
例3 用适当的方法解方程：
（1）3x（x + 5）= 5（x + 5）； （2）（5x + 1）2 =1；
（1）分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.
解：化简 (3x－5) (x + 5) = 0.
即 3x －5 = 0 或 x + 5 = 0
∴x1 = ， x2=－5
（2）分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法.
解：开平方，得 5x + 1 = ±1.
解得， x 1= 0 ， x2 =－
各种一元二次方程的解法及适用类型：
解法选择基本思路：
1.当没有一次项时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
2.若没有常数项时（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都有 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，若一边的整式容易因式分解，则选用因式分解法；若不容易分解，则选用公式法；
4.若二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，可选用配方法.
（四）课堂练习
1.①x2－3x+1=0；②3x2－1=0；③－3t2+t=0；④x2－4x=2；⑤2x2－x=0；⑥5(m+2)2=8；⑦3y2－y－1=0；⑧2x2+4x－1=0；⑨(x－2)2=2(x－2).
适合运用直接开平方法 ；
适合运用因式分解法 ；
适合运用公式法 ；
适合运用配方法 .
2.解方程：
解：（1）x2－2x+1 = 0.
( x－1 )( x－1 ) = 0
x－1 = 0 或x－1 = 0
x1=x2=1
（2）( 2x + 11 )( 2x－11 ) = 0.
2x + 11 = 0 或 2x－11= 0，
x1=－ ，x2=
（五）课堂小结
讨论:
1.什么情况下用配方法解方程比较合适
2.什么情况下用公式法解方程比较合适
3.什么情况下用因式分解法解方程比较合适
（六）布置作业
教材第47页习题2.7第1题.
板书设计
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
1.创设情境 小颖: 小明: 小亮: 2.例题 例1: 例2: 例3： 3.课堂练习 4.小结
六、教学反思
本课时教学内容主要是探究因式分解法解一元二次方程，要求学生体验因式分解推导一元二次方程求解的过程，并会用因式分解法解一元二次方程.教师在课堂上，通过大量的练习，帮助学生认识到:因式分解法使用方便，是解一元二次方程最常用的方法，但不是所有的二次三项式都能很方便地进行因式分解，应用时要注意，等号的右边一定要为0，然后再把方程的左边进行因式分解，将方程左边分解成两个一次因式的乘积的形式，令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程，解每个方程就求出了原方程的解.
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