初中数学北师大版九上2.5一元二次方程的根与系数的关系教学设计

2.5一元二次方程的根与系数的关系
一、教学目标
1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；
2．会利用根与系数的关系解决有关的问题．
二、教学重难点
重点：根与系数的关系及运用.
难点：定理的发现及运用.
三、教学方法
本课时教学内容主要是探究一元二次方程的根与系数的关系，要求学生会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题.
本节课首先通过解一元二次方程找到两根之和、积与它的系数之间的关系，然后通过例题讲解利用根与系数关系的步骤，通过练习巩固加深.
四、教学设计
（一）复习回顾
1.一元二次方程的求根公式是什么？
2.如何用判别式 b2－4ac 来判断一元二次方程根的情况？
想一想：方程的两根x1和x2与系数a，b，c还有其它关系吗？
（二）问题探究
通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式. 除此之外一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢
问题1：解下列方程并完成填空：
（1）x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0.
每个方程的两根之和与它的系数有什么关系 两根之积呢
猜想：对于任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根x1、x2，那么x1+x2， x1·x2与系数a，b，c 的关系： x1+x2=－ ，x1·x2=
对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗 与同伴交流.
我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0时有两个根:
x1= ，x2= .
于是，两根之和为
x1+x2=+==－;
两根之积为x1·x2=· = = = .
总结：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=－，x1 x2= .
（三）典例解析
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0； （2）2x2－3x－2 = 0.
解：（1）这里 a=1， b=7， c = 6.
Δ = b2－4ac = 72 – 4×1× 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1， x2， 那么
x1 + x2 =－7 ， x1 x2 = 6.
（2）这里 a = 2 ， b =－3 ， c =－2.
Δ= b2－4ac = （－3）2 – 4 × 2 × (－2) = 25 > 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1， x2， 那么
x1 + x2 =， x1 x2 =－1 .
例2 已知方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程 5x2+kx－6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
所以：x1 · x2=2x2=－
即：x2=－
由于x1+x2=2+（－）=－
得：k=－7.
答：方程的另一个根是－，k=－7.
（四）课堂练习
1.不解方程，求方程两根的和与两根的积：
（1）x2 + 3x－1= 0； （2）2x2－4x + 1 = 0.
解：(1) 这里 a = 1 ， b = 3 ， c =－1.
Δ =b2－4ac = 32－4 × 1 × (－1)= 13 > 0
∴方程有实数根.
设方程的两个实数根是 x1， x2，
x1 + x2 =－3， x1 x2 =－1 .
(2) 这里 a = 2 ， b =－4 ， c = 1.
Δ =b2－4ac = (－4 )2－4 × 1× 2=8 > 0
∴有实数根.
设方程的两个实数根是x1， x2，
x1 + x2 = 2 ， x1 x2 = .
2.已知方程3x2－18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程 3x2－18x+m=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以：x1 + x2=1+x2=6，
即：x2=5 .
由于x1·x2=1×5= =
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
（五）课堂小结
本节课学习了一元二次方程根与系数的关系，那么在利用根与系数的关系解决问题时要注意什么呢
（六）布置作业
教材第51页习题2.8第1，3题.
五、板书设计
*2.5　一元二次方程的根与系数的关系
1.知识复习 2.方法探究 3.例题 例1: 例2: 4.课堂练习 5.小结
六、教学反思
本课时教学内容主要是探究一元二次方程的根与系数的关系，要求学生会用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.教师在课堂上，通过大量的练习，帮助学生认识到根与系数的关系的前提条件必须是一元二次方程有解.
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