初中数学北师大版九上2.6.2应用一元二次方程教学设计

2.6.2应用一元二次方程
一、教学目标
1.会用一元二次方程的方法解决营销问题及其他类型问题.
2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问题解决问题的能力．
二、教学重难点
重点：列一元二次方程解决实际问题.
难点：理解实际问题中的变化的量，寻找正确的等量关系.
三、教学方法
本课时教学内容主要是通过对实际问题的分析，进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型，培养学生在生活中发现问题，解决问题的能力.
本节课首先提供了具体的情境，然后在具体的情境中逐步地展开对列方程解决实际问题的探讨，最后通过例题和练习加以巩固.
四、教学设计
（一）问题探究
例1 ：新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元. 市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销价每降低50元时，平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元
分析：本题的主要等量关系是：
每台的销售利润×平均每天销售的数量= 5000元.
解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得
整理，得：x2 －300x + 22500 = 0.
解方程，得：
x1 = x2 = 150.
∴ 2900－x = 2900－150 = 2750.
答：每台冰箱的定价应为2750元.
例2：某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株
思考：这个问题设什么为x 有几种设法
如果直接设每盆植x株，怎样表示问题中相关的量
如果设每盆花苗增加的株数为x株呢？
解：设每盆花苗增加的株数为x株，则每盆花苗有(x+3)株，平均单株盈利为(3 －0.5x)元.根据题意，得.
(x + 3)(3 －0.5x) = 10.
整理，得 x2 －3x + 2 = 0.
解这个方程，得 x1=1， x2=2.
经检验，x1=1 ， x2 = 2 都符合题意.
答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应植入4株或5株.
例3：青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x，
根据题意，得7200（1+x)2=8712
系数化为1得，（1+x)2=1.21
直接开平方得，1+x=1.1， 1+x=-1.1
则 x1=0.1， x2=-1.1，
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.
（三）归纳总结
1.利润问题常见数量关系
①利润＝售价－进价；
②利润率＝×100%＝×100%；
③售价＝进价×(1＋利润率)．
2.变化率问题
(1)平均增长率问题：设基数a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a(1＋x)，两次增长后的值为a(1＋x)2
(2)平均降低率问题：设基数a，平均降低率为x，则一次降低后的值为a(1－x)，两次降低后的值为a(1－x)2
（四）课堂演练
1．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10 000元的销售利润，若设每个台灯涨价为x元，则可列方程___(40＋x－30)(600－10x)＝10 000　__.
2.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ D ）
A.x2=1980 B. x(x+1)=1980
C. x(x-1)=1980 D.x(x-1)=1980
3.某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨，平均每月增长率是x，列方程( B )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
4.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为 2（1+x)+2(1+x)2=8 .
5.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：
（40－x)(20+2x)=1200
整理得，x2－30x+200=0
解方程得，x1=10，x2=20
因为要尽快减少库存，所以x=10舍去.
答：每件衬衫应降价20元.
6.某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为x.根据题意，得
200+200(1+x) +200(1+x)2=950
整理方程，得4x2+12x－7=0，
解这个方程得x1=－3.5（舍去），x2=0.5.
答：这个增长率为50%.
（五）课堂小结
1.用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程
[一审、二设、三列(列代数式、列方程)、四解、五验、六答]
2.用一元二次方程解决问题的关键是什么
(寻找题中的等量关系)
(设计意图：回顾列方程解应用题的过程，形成知识体系.)
（六）布置作业
教材第55页习题2.10第1——4题.
五、板书设计
2.6.2　应用一元二次方程 1.例题 2.练习 3.小结
六、教学反思
经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣.
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