初中数学北师大版九上4.6用相似三角形测量高度教学设计

4.6利用相似三角形测高
一、教学目标
1.通过测量旗杆的高度，综合运用三角形相似的判定定理和相似三角形的定义解决问题，发展应用意识，加深对相似三角形的理解和认识．
2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型,进一步了解数学建模的思想,培养分析问题、解决问题的能力.
二、教学重难点
重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的高度.
难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题(如何把实际问题抽象为数学问题)．
三、教学方法
本节课主要是讲相似三角形的应用——利用相似三角形测高.在前面课时的学习中,学生已经掌握了相似三角形的判定定理,通过利用相似三角形测量实际旗杆的高度,让学生进一步体会数学与实际生活的密切关系,将进一步丰富学生的数学活动经验.根据本课时的特点,教学设计共设计了五个教学环节,在教学过程中逐步渗透引导发现法、直观演示法、实验法、讨论法、练习法等多种教学方法优化组合,对发展学生的思维能力具有重要而深远的意义.
四、教学设计
（一）情境导入
生活中有许多宏伟的建筑，运用现在的科学技术要测出它们的高度是件很轻而易举的事．但是在古代，没有这样先进的科学技术，人们是怎样测出它们的高度的呢？
据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，测出了金字塔的高度，那么现在我们也学习了相似三角形的知识，我们可不可以运用相似三角形的知识去测量建筑物的高度呢？这节课我们就拿最贴近我们生活的旗杆来研究，怎样测量旗杆的高度呢？
（二）问题探究
方法1．利用阳光下的影子来测量旗杆的高度．
操作方法：如图所示,每个小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处,其他人分为两部分,一部分同学测量该同学的影长,另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长.
根据测量数据,你能求出旗杆的高度吗 说明你的理由.
教师点拨：把太阳的光线看成是平行的．
∵太阳的光线是平行的，
∴AE∥CB．
∴∠AEB=∠CBD．
∵人与旗杆是垂直于地面的，
∴∠ABE=∠CDB=90°．
∴△ABE∽△CDB．
∴，即．
因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长BD，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了．
方法2．利用标杆测量旗杆的高度．
操作方法：如图所示,每个小组选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆,观测者适当调整自己所处的位置,当旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,其他同学立即测出观测者的脚到旗杆底端的距离,以及观测者的脚到标杆底端的距离,然后测出标杆的高.
根据测量数据,你能求出旗杆的高度吗 说明你的理由.
如图，过点A作AN⊥DC于点N，交EF于点M．
∵EF⊥BD，CD⊥BD，
∴∠EFB=∠CDB=90°．
∴EF∥CD．
∴∠AME=∠ANC=90°．
又∵∠EAM=∠CAN，
∴△AME∽△ANC．
∴，即．
又∵AB⊥BD，
∴∠ABF=∠CDF=∠AND=90°，
∴四边形ABDN为矩形．
∴DN=AB，AN=BD．
∴CD=CN+ND=CN+AB．
因此，只要测量出人的高度AB，人到旗杆的距离BD，人到标杆的距离BF，标杆的高度EF，就可以求出旗杆CD的高度了．
方法3．利用镜子的反射测量旗杆的高度．
操作方法：如图所示,每个小组选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子.在镜子上做一个标记,观测者看着镜子来回移动,直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合.
测量所需的数据,根据所测的结果你能求出旗杆的高度吗 说明你的理由.
教师点拨：在光的反射中，入射角=反射角．
∵入射角=反射角，
∴∠AEB=∠CED．
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°．
∴△ABE∽△CDE．
∴．
∴．
因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了．
想一想：你还有哪些测量旗杆高度的方法？
议一议：你还有哪些测量旗杆高度的方法？
设计意图：培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识．
（三）典例解析
例1：如图所示，小明为了测量高楼MN的高度，在离N点20 m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜子中看到楼顶M点．若AC=1.5 m，小明的眼睛离地面的距离为1.6 m，请你帮助小明计算一下楼的高度（结果精确到0.1 m）．
师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程．
解：∵BC⊥CA，MN⊥NA，
∴∠BCA=∠MNA=90°．
∵∠BAC=∠MAN，
∴△BCA∽△MNA．
∴，即．
∴MN≈21.3（m）．
答：楼的高度约为21.3 m．
设计意图：让学生运用所学知识，解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．
（四）课堂演练
1．如图，身高为1.6 m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2 m，CA=0.8 m，则树的高度为（ ）．
A．4.8 m B．6.4 m C．8 m D．10 m
2．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（ ）．
A．增大1.5米 B．减小1.5米 C．增大3.5米 D．减小3.5米
设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解．
（五）课堂小结
1.相似三角形的应用:用三角形的相似,解决不能直接测量的物体的高度.
2.实际应用题的解决方法:解决实际应用题的关键是将题中的信息转化到数学图形中去.
设计意图:让学生自己小结,自己对本节课知识进行整合,培养学生养成一种对所学知识进行归纳总结的习惯,但学生总结时,难免会出现不全面,没有条理性的情况.这时老师要帮助学生归纳,以培养学生有条理、清晰阐述自己观点的能力.
（六）布置作业
教材第105页习题4.10第2,4题.
五、板书设计
4.6 利用相似三角形测高
1．利用阳光下的影子来测量旗杆的高度；
2．利用标杆测量旗杆的高度；
3．利用镜子的反射测量旗杆的高度．
六、教学反思
本节通过三个活动来体验相似三角形的应用,使学生在经历测量数据的同时感受一下相似三角形与实际问题的关系,并会用相似三角形知识求出旗杆的高度,体验了数学活动充满了探索与发现,以及感受学习数学的乐趣.
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