初中数学北师大版七上3.5.1探索与表达规律教学设计

3.5.1探索与表达规律
一、教学目标
1.经历由特殊到一般和由一般到特殊的过程，体会代数推理的特点和作用；
2.能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一般性；
3.能用代数式表示并借助代数式运算解释具体问题中蕴含的一般规律或现象.　　
二、教学重难点
重点：从实际情境中探索并发现规律、能够用字母表示所探索的规律.
难点：利用“合并同类项”、“去括号”等法则验证探索得到的规律，发展抽象思维能力.
三、教学过程
（一）情境导入
请同学们伸出左手，一起做下面的游戏：从大拇指开始，像图中显示的这只手那样依次数数字1，2，3，4，5，……，请问数字20落在哪个手指上？
你们能很快地说出数字200落在哪个手指上吗？2000呢？
（二）合作探究
观察下图日历，请你回答以下问题：
（1）日历中横排三个数（如9、10、11）相加的和与中间的数字（10）有什么关系？
（2）竖列三个数也有这种关系吗？
横排、竖排三个数相加的和是中间数字的3倍
（3）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
这9个数的和等于正中间的数的9倍
（4）这个关系对其他这样的方框也成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？（提示：设a）
练习：如果将方框改为“H” 形框，你能发现哪些规律？如果改成十字形框呢？
规律：“H”形中七数之和=7×中间数
规律： 十字形中五数之和=5×中间数.
规律： M字形中七数之和=7×中间数.
知识点一：探索规律的一般方法
(1)从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律;
(2)由此及彼，合理联想;
(3)善于类比，从不同事物中发现其相似或相同点;
(4)总结规律，大胆猜想，作出结论，并验证结论正确与否;
(5)在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，达到事半功倍的效果. 　
（三）典例解析
例1：观察下列图形：
则第n个图形中三角形的个数为____4n____.
方法总结：解答此类问题要从所给的一些特殊数字中找出其中的变化规律，进而根据规律归纳总结出一般性的结论.
例2：如图所示是一个按规律排列的数表，请用含n的代数式（n为正整数）表示数表中第n行第n列的数　　　　.
解析：观察数表可知：第一行第一列至第四行第四列的数依次为1，3，7，13，对这些数字作分解、组合如下：
第一行第一列：1＝0×1＋1；
第二行第二列：3＝1×2＋1；
第三行第三列：7＝2×3＋1；
第四行第四列：13＝3×4＋1；
　　…　　　　　　…
由此可以发现，所分解的式子乘积中的第1个因数为行（列）数减1，第2个因数恰为行（或列）数.所以第n行第n列的数是（n－1）n＋1.
方法总结：在认真观察、分析的基础上，将数或式中的有关数字进行分解、组合变形，从中探索变化规律是解决此类问题的关键.
例3：观察下列图形：
（1）依照此规律，第20个图形共有几个五角星？
（2）摆成第n个图形需要几个五角星？
（3）摆成第2021个图形需要几个五角星？
解析：通过观察已知图形可得：每个图形都比其前一个图形多3个五角星，根据此规律即可解答.
解：（1）根据题意得，第1个图中，五角星有3个（3×1）；第2个图中，五角星有6个（3×2）；第3个图中，五角星有9个（3×3）；第4个图中，五角星有12个（3×4）；∴第n个图中有五角星3n个.∴第20个图中五角星有3×20＝60个.（2）摆成第n个图形需要五角星3n个.（3）摆成第2021个图形需要6063个五角星.
方法总结：此题首先要结合图形具体数出几个值，注意由特殊到一般的分析方法.此题的规律为摆成第n个图形需要3n个五角星.
巩固练习
如下列各图是用“　　”按一定规律排列而成的图案，第1个图案由4个“　　”组成，第2个图案由7个“　　”组成，第3个图案由10“　　”组成，……，则第n（n是正整数）个图案中由_____个“　　”组成．
……
2. 按下列方式摆放餐桌和椅子：
(1) 1张餐桌可坐6人，2张餐桌可坐_______人.
(2) 按上述方式继续排列餐桌，完成下表：
3.将棱长为1的正方体层层叠放如图所示，问第(5)个、第(6)个图形各需多少个正方体？
解：第(5)个图形需1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋(1＋2＋3＋4)＋(1＋2＋3＋4＋5)＝35(个)正方体．同理，第(6)个图形需56个正方体．
4.（2019·黑龙江省中考真题）归纳“T ”字形，用棋子摆成的“T ”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T ”字形需要的棋子个数为_______．
课本98页“随堂练习”
（四）课堂小结
通过本节的学习我们清楚地认识了日历中各数之间的关系，通过折纸活动，从中体会有关规律，寻找出完美的答案，探究出一般的结论;解答探求规律题的一般步骤是观察、比较、归纳、验证.
（五）布置作业
教材习题3.9第2-3题.
三、板书设计
四、教学反思
通过创设情境，先易后难，将难点分化，为最后探索出3×3方框里九个数的规律作好铺垫，再引导学生由浅入深地揭示日历中的数学奥秘.学生在十分有趣的氛围中研究问题，通过自立学习、主动参与、互相合作等活动，培养并提高学生的探索能力.
学生探索日历中数学规律的学习方式，不再是以前那种强调接受学习、强调死记硬背的机械训练的学习方式，而是学生在教师设计的一串问题中独立思考、小组讨论、共同探讨的方式去解决一个又一个的问题.整个课堂力图体现学生“主动参与、乐于探究和合作交流”的学习方式，从而提高学生发现问题、分析问题、解决问题以及合作、交流的能力.
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