初中数学北师大版九上1.3.2正方形的性质与判定教学设计

1.3.2正方形的性质与判定
一、教学目标
1．掌握正方形的判定定理，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的证明和计算；
2．经历探究正方形的判定定理的过程，发展学生综合推理的能力、主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法；
3．理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养辩证看问题的观点．
二、教学重难点
重点：掌握正方形的判定定理．
难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的性质与判定进行有关的证明和计算．
三、教学设计
（一）复习回顾
什么是正方形？正方形有哪些性质？
（二）探究新知
1．正方形的判定定理
课件出示教材第22页图1－20，提出问题：
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？
学生动手操作，教师巡视指导，并讲解：
因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可．
教师：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？
引导学生总结出正方形的判定定理：
对角线相等的菱形是正方形．
对角线垂直的矩形是正方形．
有一个角是直角的菱形是正方形．
教师：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有什么关系？
教师：同学们能尝试完成这3个定理的证明吗？
学生独立完成，教师点评．
2．中心四边形
学生以小组的形式，在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、梯形和直角梯形中选择一种自己感兴趣的四边形来研究中点四边形，并验证结论的正确性．
平行四边形
　 矩形
菱形
正方形
引导学生得出结论：
平行四边形的中点四边形是平行四边形；
矩形的中点四边形是菱形；
菱形的中点四边形是矩形；
正方形的中点四边形是正方形；
（三）典例解析
例1　如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°.
∴∠EBC＝∠ECB.
∴EB＝EC.
∴□BECF是菱形(菱形的定义)．
在△EBC中，
∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝90°.
∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)．
例2 已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．
证明：如图所示，过点D作DG⊥AB于点G.
∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠DFC＝∠DEC＝90°.
又∠C＝90°，
∴四边形CEDF是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴DF＝DG.
同理可得DE＝DG.∴DE＝DF.
∴四边形CEDF是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)．
（四）课堂演练
1．教材第24页“随堂练习”．
2．完成下列问题：
图① 图② 图③
(1)如图①，在△ABC中，EF为△ABC的中位线．
①若∠BEF＝30°，则∠A＝________.
②若EF＝8 Cm，则AC＝________．
(2)如图②，在AC的下方取一点D，连接AD，CD. 取CD和AD的中点G、H，问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？
(3)如图③，四边形EFGH的形状有什么特征？
（五）课堂小结
1．通过本节课的学习，你有哪些收获？
2．正方形的判定定理有哪些？
（六）课外作业
教材第25页习题1.8第1～4题．
三、板书设计
四、教学反思
本节课采用了多媒体辅助教学，为学生创建了一个学习情境，通过图形的变换，使学生很容易发现问题的规律、找出解决方法，并且学生在老师的启发下，一步一步地探索、归纳、学习，在探索的过程中培养了学生的创新精神和意识．在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问．
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