初中数学北师大版九上2.2.1用配方法求解一元二次方程教学设计

2.2.1用配方法求解一元二次方程
一、教学目标
1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n>0)的方程.
2.理解配方法的基本思路.
3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
二、教学重难点
重点：用配方法求解一元二次方程.
难点：把一元二次方程转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式.
三、教学方法
本课时教学内容主要是探究配方法解一元二次方程，并把握配方的特点，掌握解方程的关键，在此基础上，熟练地利用配方法解方程.
本节课共设计五个教学环节，在课堂教学中，采用引导—发现的教学方法，教师设计问题情境，引导学生独立思考，主动发现在解方程的步骤中的特点和技巧，培养学生转化的思想.
四、教学设计
（一）复习回顾
1.如果 x2=a，则x叫做a的
2.如果 x2=a(a ≥0)，则x= .
3.如果 x2=64 ，则x= .
4.任何数都可以作为被开方数吗？
（二）问题探究
1.直接开平方法
思考：解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1)x2=4
(2)x2=0
(3) x2+1=0
解:（1）根据平方根的意义，得x1=2， x2=－2.
（2）根据平方根的意义，得x1=x2=0.
（3）解:根据平方根的意义，得x2=－1，因为负数没有平方根，所以原方程无解.
一般的，对于可化为x2 = p的方程 (I)
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根：，
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根
(3)当p<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根.
直接开平方法：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
例1.(1) x2－900=0.
解：（1）移项，得x2=900.
直接开平方，得x=±30，
∴x1=30， x2=－30.
（2）（x－1）2－4 = 0；
（2）移项，得（x－1）2=4.
∵x－1是4的平方根，
∴x－1=±2.
即x1=3，x2=－1.
反思：能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2= p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
反思：你能解方程x2+12x－15＝0吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成（x＋n）2= p（p≥0）的形式吗？
2.配方法
问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.
(1) a2+2ab+b2=( )2；
(2) a2－2ab+b2=( )2.
问题2：填上适当的数，使下列等式成立:
x2+12x+　　　　　　　　　=(x+6)2；
x2－4x+　　　　　　　=(x－　　　　)2；
x2+8x+　　　　　　　=(x+　　　　)2.
在上面等式的左边，常数项和一次项系数有什么关系
二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.
通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.
例2：解方程 x2 + 8x－9 = 0
解：可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 8x = 9 ，
两边都加42（一次项系数8的一半的平方），得x2 + 8x + 42 = 9 + 42 ，
即 （x+4）2 = 25 .
两边开平方，得x + 4 = ± 5 ，
即 x + 4 =5 或 x + 4 =－5.
所以 x1 = 1 ， x2=－9.
试一试：解决梯子底部滑动问题：x2 + 12x－15=0 .
解：可以把常数项移到方程的右边，得x2 + 12x = 15 ，
两边都加62（一次项系数6的一半的平方），得x2 + 12x + 62 = 15 + 62 ，
即 （x+6）2 = 51 .
两边开平方，得x + 6 = ，
即 x + 6 =或 x + 6 =－.
所以 x1 = ， x2=－.
（三）归纳总结
利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤:
(1)移项：把常数项移到方程的右边;
(2)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方;
(3)变形：方程左边分解因式，右边合并同类项;
(4)开方：根据平方根的意义，方程两边开平方;
(5)求解：解一元一次方程;
(6)定解：写出原方程的解.
（四）课堂练习
1.填空
(1)方程x2=0.25的根是 .
(2)方程2x2=18的根是 .
(3)方程(2x－1)2=9的根是 .
2. 解下列方程：
(1)x2－81＝0； (2)2x2＝50；
(3)(x＋1)2=4 .
3. 解下列方程：
（五）课堂小结
1.复习直接开方法.
2.配方法的定义.
3.配方法解一元二次方程的步骤.
（六）布置作业
教材第37页习题2.3第1题.
五、板书设计
2.2.1　用配方法解简单的一元二次方程
1.直接开平方法 2.配方法的定义 3.配方法解一元二次方程的步骤 例1 例2 4.课堂练习 5.小结
六、教学反思
通过本节课的教学，我发现，配方法不仅是解一元二次方程的方法之一，而且它还可作为其他许多数学问题的一种研究思想，其发挥的作用和意义十分重要.从学生的学习情况来看，效果普遍良好，已基本上掌握了这种数学方法，从本节课的具体教学过程来分析，有以下几点体会和认识:
1.学生对这部分知识的理解很好，在讲解时，我通过引例总结了配方法的具体步骤，然后再加以练习巩固.
2.体现分层教学，让每个学生都得到发展，对于基础较差的学生我只要求认真理解并巩固配方法;对于基础较好的学生根据它们的课堂反应，我还在知识拓宽方面加以提升.
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