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（总课时47）§6.3反比例函数的应用
【学习目标】从实际问题抽象为数学问题，建立反比例函数模型.【学习重难点】解决实际问题．
【导学过程】
一.知识回顾：
1．已知反比例函数，则它必经过点（-2，__），点（__，2）
2．已知反比例函数上一点A(2，-3)，则函数关系式是 ________ ．
3．已知点A(-1,a),点B(3,b)，C（1，c）在反比例函数 图象上，则a__b__c(填写<、=、>)
4．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，已知500度近视眼镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数y(度)与镜片焦距x(米)之间的函数关系式为___．
二.探究新知
引例1：某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？如果人和木板对地面的压力合计为600N,那么：（1）设木板的面积为S，人和木板对地面的压强为P，用含S的代数式表示P，即P=_____，P是S的________函数．
（2）当木板面积S=0.2m2时，压强P=________．
（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要_______．
（4）在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
（5）请利用图象对（2）和（3）作出直观解释．
引例2：蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（）之间的函数关系如图1所示．（1）蓄电池的电压是_ _，这一函数的表达式是_____．
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在___________
三.典例与练习：
例1.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图2所示．（1）写出这一函数的表达式；（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不少于多少？
练习：1.实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出一般成人喝半斤低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
练习2：已知四边形ABCD是菱形，在平面直角坐标系中的位置如图，边AD经过原点O，已知A（0，－3），B（4，0），反比例函数图象经过点C，直线AC交双曲线另一支于点E，连接DE，设反比例函数解析式为，直线AC解析式为.（1）求反比例函数解析式；
（2）当时，求x的取值范围；（3）求△CDE的面积.
四.课堂小结：在应用反比例函数解决问题时,一定要注意以下几点:
①要注意自变量取值范围符合实际意义；②确定反比例函数之前一定要考察两个变量与定值之间的关系；
若k未知时应首先由已知条件求出k值；③求“至少,最多”时可根据函数性质得到。
五.分层过关：1．某农场去年的粮食总产量为1500吨，设该农场有耕地x亩，平均亩产量为y吨，则y与x之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2．在同一平面直角坐标系内，如果直线()与双曲线没有交点，那么和的关系一定是（ ）.A．， B．， C．，同号 D．，异号
3．如图1，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，∠BAO＝30°，将△AOB沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y＝（k≠0）上，则k的值为_________．
4．在某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（）成反比例关系.如图2所示的是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系的图像，则用电阻R表示电流I的函数解析式为__________．
5．如图3，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A(3，5），B(a，-3）两点，与轴交于点C.
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）直接写出当时，的取值范围；（3）长为2的线段EF在射线CO上左右移动，若射线CA上存在三个点P使得 PEF为等腰三角形，求CE的值.
思考题：如图，反比例函数的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A(1，3)作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD．
(1)求反比例函数的表达式；(2)求点C的坐标；(3)在y轴上确定一点M，使点M到C，D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标.
图1
图2
图1
图2
图3
图2
图1
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（总课时48）§6.4反比例函数（复习课）
一.选择题：
1.下列函数中，y是x的反比例函数的是（ B ）A． B． C． D．x+y=2
2.如图1，点A为反比例函数 的图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，已知△ABO的面积为3，则k值为( C )．A．-3 B．3 C．-6 D．6
3．某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R（ ）成反比例，如图2表示该电路中电流I与电阻R的函数关系图象．则该电路中某导体电阻为4 ，导体内通过的电流为（ A ）
A．1.5(A) B．6(A) C． D．4(A)
4．如图3，已知点A，B分别在反比例函数，的图象上，且，则的值为（ B ）A．2 B．2 C．3 D．4
5．如图4，点A(a,3)，B(b,1)都在双曲线上，点C，D分别是x轴.y轴上的动点（C，D不同时与原点重合），则四边形ABCD的周长的最小值为（ B ）A． B． C． D．
二.填空题：6．如图5，在平面直角坐标系中，正方形的中心为原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P(3a,a）是反比例函数 的图象与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的表达式为______.
7．已知反比例函数 图象上有两点(1,y1)，(2,y2)，则y1＞y2.（填“＞”“＜”或“＝”）
8．如图6，已知矩形OABC的面积为6，且反比例函数 的图象经过点B，则k=__-6_.
9．如图7，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B.点E在反比例函数 的图象上，正方形ADEF的面积为9，且，则k的值为_____.
三.解答题：10．如图8，已知反比例函数 的图象过点A(-3，2）．(1）求这个反比例函数的解析式；(2）若B（x1,y1），C(x2,y2)，D(x3,y3)是这个反比例函数图象上的三个点，若x1>x2>0>x3，请比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
11．已知反比例函数的图象过点A(-2，3）．(1）求这个反比例函数的表达式；
(2）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化？(3）点B(1,-6)，C(2,4)和是否在这个函数的图象上？解：(1)；(2)∵k=-6<0，∴图象分布在第二.四象限；(3)当x=1时，y=-6；当x=2时，y=-3，∴点B(1,-6)，点D(2,-3)在比例函数的图象上，点C(2,4)不在．
12．已知，直角三角形ABC如图9所示放置，∠ABC=90°，AB=10，BC=5，反比例函数经过点C(m，3）.（1）求点A，B的坐标及m的值；（2）求反比例函数及直线AB的表达式；
（3）将直线AB上下移动a个单位长度后，与反比例函数的图象只有唯一一个交点，求a的值.解（1）A（0，8），B（6，0），m=10.（2），.（3）直线AB上下平移a个单位长度后，得，∵平移后的直线与反比例函数的图象只有唯一一个交点，∴方程，即只有一个根，∴，解得.
四.提高题：
13．如图10(1)，反比例函数 和 的图象分别是和.射线OM交于点A(1,a)，射线ON交于点B，∠MON=90°，连接AB交y轴于点P，AB∥x轴.（1）k=______；（2）如图10(2)，将∠MON绕点O旋转，射线OM始终在第一象限，且交于点C，射线ON在第二象限，且交于点D，连接CD交y轴于点Q，在旋转的过程中，的值是否发生变化？若不变化，求出的值；若变化，请说明理由.（3）在（2）的旋转过程中，当点Q为CD的中点时，问是不是直线CD与的另一个交点？请说明理由.
解（1）k=-8.（2）的值不变,由（1）可知，的函数表达
式为.如图10(3)，过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F.设OB=m，OF=n，则，，∴，，易证，
∴.∴，∴，∵m>0,n>0，，∴mn=4，∴，即，∴.
（3）点是直线CD与的另一个交点。理由如下：当点Q为CD的中点时，，∴，∵，∴，∴，.
设直线CD的表达式为，∴直线CD的表达式为.
把分别代入和，可得y都等于。∴点是直线CD与的另一个交点。
图6
图5
图2
图3
图4
图1
图7
图8
解：(1)将点代入，求得，即；(2)∵，∴图象在二.四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大，∵，∴点B.C在第四象限，点D在第二象限，
即，，，∴．
图9
图10(1)
图10(2)
图12
图10（3）
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（总课时47）§6.3反比例函数的应用
【学习目标】从实际问题抽象为数学问题，建立反比例函数模型.【学习重难点】解决实际问题．
【导学过程】
一.知识回顾：
1．已知反比例函数，则它必经过点（-2，_-1_），点（1，2）
2．已知反比例函数上一点A(2，-3)，则函数关系式是 ．
3．已知点A(-1,a),点B(3,b)，C（1，c）在反比例函数 图象上，则a_<_b_<_c(填写<、=、>)
4．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，已知500度近视眼镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数y(度)与镜片焦距x(米)之间的函数关系式为___．
二.探究新知
引例1：某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？如果人和木板对地面的压力合计为600N,那么：（1）设木板的面积为S，人和木板对地面的压强为P，用含S的代数式表示P，即P=____，P是S的_反比例_函数．
（2）当木板面积S=0.2m2时，压强P=3000Pa．
（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要0.1m2．
（4）在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
（5）请利用图象对（2）和（3）作出直观解释．
※注：只需在第一象限作出函数的图象.因为S>0.
问题(2)是已知图象上的某点的横坐标为0.2,求该点的纵坐标;问题(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000,求这些点所处位置及它们横坐标的取值范围.实际上这些点都在直线P=6000下方的图象上.
引例2：蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（）之间的函数关系如图2所示．（1）蓄电池的电压是_36_，这一函数的表达式是_____．
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在_R≥3.6(Ω)．
三.典例与练习：
例1.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图3所示．（1）写出这一函数的表达式；（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不少于多少？
解：（1）设P与V的函数关系式为：则有：∴k=96∴
（2）当V=1时，P=96
（3）当P>140kPa时，气球将爆炸∴P≤140，即：解得：V≥0.7
故为安全起见，气球体积应不小于0.7m3
练习：1.（2019·莱芜市初三）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出一般成人喝半斤低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
解（1）由题意可得：当0≤x≤1.5时，设函数关系式为：y=kx，则150=1.5k，解得：k=100，故y=100x，当1.5≤x时，设函数关系式为：y，则a=150×1.5=225，解得：a=225，故y（x≥1.5）．
综上所述：y与x之间的两个函数关系式为：y；
（2）第二天早上7：00不能驾车去上班．理由如下：∵晚上21：00到第二天早上7：00，有10小时，∴x=10时，y22.5＞20，∴第二天早上7：00不能驾车去上班．
例2：已知四边形ABCD是菱形，在平面直角坐标系中的位置如图5，边AD经过原点O，已知A（0，－3），B（4，0），反比例函数图象经过点C，直线AC交双曲线另一支于点E，连接DE，设反比例函数解析式为，直线AC解析式为.（1）求反比例函数解析式；（2）当时，求x的取值范围；（3）求△CDE的面积.解（1）∵AD经过原点，A（0，-3）,∴点D在y轴上，∵四边形ABCD是菱形，
∴BC//y轴，∴BC=AB=5，∴点C坐标为（4，5），∵反比例函数图象经过点C，反比例函数解析式为：y1=.（2）∵直线AC解析式为，A（0，-3），C（4，5），∴，∴直线AC的解析式为：y2=2x-3，联立反比例函数和一次函数解析式得：，解得：或，∴点E坐标为：(，-8)，∴时，4.
（3）∵E（，-8），C（4，5），∴S△CDE=·AD·(xC-xE)=×5×(4+)=.
四.课堂小结：在应用反比例函数解决问题时,一定要注意以下几点:
①要注意自变量取值范围符合实际意义；②确定反比例函数之前一定要考察两个变量与定值之间的关系；
若k未知时应首先由已知条件求出k值；③求“至少,最多”时可根据函数性质得到。
五.分层过关：
1．某农场去年的粮食总产量为1500吨，设该农场有耕地x亩，平均亩产量为y吨，则y与x之间的函数图象大致是（ B ）
A． B． C． D．
2．在同一平面直角坐标系内，如果直线（）与双曲线没有交点，那么和的关系一定是（ D ）.A．， B．， C．，同号 D．，异号
3．如图6，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点B（0，4），与x轴交于点A，∠BAO＝30°，将△AOB沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y＝（k≠0）上，则k的值为_﹣__．
4．在某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（）成反比例关系.如图7所示的是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系的图像，则用电阻R表示电流I的函数解析式为_____．
5．如图8，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A(3，5），B(a，-3）点，与x轴交于点C.
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）直接写出当时，x的取值范围；（3）长为2的线段EF在射线CO上左右移动，若射线CA上存在三个点P使得 PEF为等腰三角形，求CE的值.解：（1）∵A（3，5），B（a，-3）在的图象上，∴m=15，a=-5，∴A（3，5），B（-5，-3），把A，B的坐标代入y1=kx+b中，
（2）观察图8可知：当y1＞y2时，x的取值范围为：x＞3或-5＜x＜0．
（3）如图8中，分别以E，F为圆心,EF为半径画圆，两圆在EF的上方交于点N，当点N在射线CA上时，射线CA上存在三个点P使得△PEF为等腰三角形．
作NH⊥EF于H．∵NE=EF=NF，NH⊥EF，∴EH=HF=1，NH=，∵直线AC的解析式为y=x+2，∴∠ACF=45°，∴CH=NH=，∴EC=CH-EH=-1
思考题：如图9，反比例函数的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A(1，3)作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD．(1)求反比例函数的表达式；(2)求点C的坐标；(3)在y轴上确定一点M，使点M到C，D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标.
解（1）∵A（1，3），AB⊥x轴于点D，∴AB=3，OB=1，∵AB=3BD，∴BD=1，
∴D（1，1），∵点D在反比例函数图象上，∴1=，解得k=1，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）联立直线与反比例函数解析式可得
，解得或，∵点C在第一象限，∴C点坐标为：（，）；
（3）设点C关于y轴的对称点为C′，∴C′（-，），连接C′D交y轴于点M，
则MC=MC′，∴d=MC+MD=MC′+MD=DC′，∴点M即为满足条件的点，
设直线C′D解析式为y=mx+n，
把C′、D的坐标代入可得，解得，
∴直线C′D的解析式为y=（3-2）x+（2-2），令x=0可得y=2-2，∴M（0，2-2）．
图2
图2
图1
图3
图6
图7
图8
图8
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（总课时47）§6.3反比例函数的应用
一.选择题：
1.某闭合电路中，电源电压不变，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，如图1表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，图象过M（4，2），则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（2，4），若点（-4，n）在反比例函数的图象上，则n等于（ ）A．-8 B．-4 C．-2 D．
3．已知电灯电路两端的电压U.灯泡内钨丝的电阻R与通过的电流I的关系式是U＝IR．当U为定值时，下面说法正确的是（ ）A．I与R成正比例 B．I与R成反比例 C．U与R成反比例 D．U与R成正比例
4.已知点（3，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，则下列点也在该反比例函数y＝的图象的是（ ）
A．（3，﹣3） B．（﹣2，3） C．（1，6） D．（﹣2，﹣3）
5．如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知 ABC，∠ABC=90 ，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB= ， ADC与 ABC关于AC所在的直线对称.若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，则OB的长是（ ）A．2 B．3 C． D．
二.填空题：
6.如图3，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点B的坐标为(1，4），则经过点A的双曲线的解析式为________．
7．一定质量的二氧化碳，其体积V（m ）是密度（kg/m ）的反比例函数，请根据图4中的已知条件，写出当kg/m 时二氧化碳的体积V=______m .
8．如图5，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB＝1，点A在函数y＝﹣ （x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y＝（x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是_______．
9．如图6，函数和的图像分别是和.设点在上，PC⊥x轴，垂足为C，交于点A，PD⊥y轴，垂足为d，交于点b，则三角形PAB的面积为______.
三.解答题：10．如果某蓄水池的进水管每小时进水8m3，那么6小时可将空水池蓄满水．（1）求将空水池蓄满水所需的时间y关于每小时进水量x的函数表达式；（2）如果准备在5小时内将空水池蓄满水，那么每小时的进水量至少为多少？
11.如图7，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx＋b的图象交于两点A（1,3）,B（n,－1）．
（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；
（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）连接AO.BO，求△ABO的面积；
（4）在y轴上存在点P，使△AOP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标.
12．如图，已知直线与x轴.y轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D，且点C的坐标为(-1,2).（1）分别求出直线.双曲线的函数表达式.
（2）求出点D的坐标.（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时？
四.提高题：
13．如图，反比例函数y=（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B．（1）求k的值与B点的坐标；（2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有D点的坐标.
图5
图4
图3
图2
图1
图6
图7
图8
图9
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