陕西省西安二十三中2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020九上·红桥期末）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·陕西）计算：（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，的对边分别记为，，，由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．：：：：
C． D．：：：：
6．若分式有意义，则应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．且
7．（2018九上·平顶山期末）在一个不透明的盒子里，装有5个黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将其摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，请估计盒子中白球的个数是（ ）
A．10个 B．15个 C．20个 D．25个
8．下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形的对角线平分对角
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一个角是直角的菱形是正方形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
9．如图，中，，是边的垂直平分线，分别交、于点、，连接，若恰好为的平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形外取一点，连接，，过点作的垂线交于点若，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11．因式分解 ．
12．（2021八下·拱墅期中）若多边形的每一个外角都等于60°，则该多边形的边数是 .
13．在平面直角坐标系中，一次函数均为常数与正比例函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．
14．如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且不与写、重合．过作于，于，连接，则的最小值等于 ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
15．化简：．
四、解答题（本大题共8小题，共53.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．计算：．
17．解不等式组：．
18．解方程：．
19．（2021·渭滨模拟）如图，已知 ，点 为边 上一点，请用尺规在 边上作一点 ，使得 （要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）
20．如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点．
求证：是等腰三角形；
21．（2023八下·双辽期末）已知：如图，E，F是正方形的对角线上的两点，且．求证：四边形是菱形．
22．某水果店第一次用元购进一批大樱桃，很快售完；又用元购进第二批大樱桃，所购公斤数是第一批的倍，但进价比第一批每公斤多了元．
（1）求第一批大樱桃每公斤进价多少元？
（2）若以每公斤元的价格销售第二批大樱桃，售出后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批大樱桃的销售利润不少于元，剩余的大樱桃每公斤售价至少打几折利润售价进价？
23．如图，在平面直角坐标系中，四边形的点在坐标原点上，点在轴上，，点的坐标为，点的坐标为，动点从点沿方向以每秒个长度单位的速度运动，动点从点沿的方向以每秒个长度单位的速度运动．点、同时出发，一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为秒．
（1）当时，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）当为何值时，四边形是矩形？
（3）运动过程中，四边形能否为菱形？若能，求出的值；若不能说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 的倒数是-2023.
故答案为：A.
【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商.
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
B．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项符合题意；
C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此逐一判断即可.
3．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，
∴-2a＜-2b，故A不符合题意；
B、∵a＞b，
∴a+c＞b+c，故B符合题意；
C、∵a＞b，当b＞0时，
∴ab＜b2，
若b=0时，ab=b2，,故C不符合题意；
D、∵a＞b，
∴，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用不等式的性质3，可对A作出判断；利用不等式的性质1可对B作出判断；利用不等式的性质2可对D作出判断；利用不等式的性质2和3，可对C作出判断.
4．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】单项式乘单项式，积的系数等于原来两个单项式的系数的积，它的各个变数字母的幂指数，等于在原来两个单项式中相应的变数字母的幂指数的和，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式，据此计算.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理
【解析】【解答】解：A、∵，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
解之：∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故A不符合题意；
B、设a=3x，b=4x，c=6x，
∵a2+b2=25x2，c2=36x2，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，故B符合题意；
C、∵a2=c2-b2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故C不符合题意；
D、设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，
∵∠A+∠B+∠C=180°即x+2x+3x=180°，
解之：x=30°，
∴最大的角的度数为∠C=3×30°=90°，
∴△ABC是直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用直角三角形的定义：有一个角是90°的三角形是直角三角形，利用三角形的内角和定理可对A，D作出判断；利用勾股定理的逆定理可对B，C作出判断.
6．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式有意义，
∴x（x-1）≠0，
∴x≠0且x-1≠0
∴x≠0且x≠1.
故答案为：D.
【分析】利用分式有意义的条件为：分母不等于0，可得到关于x的不等式，然后求出x的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵共试验40次，其中有10次摸到黑球，
∴白球所占的比例为1﹣=0.75，
设盒子中共有白球x个，则=0.75，
解得：x=15．
故选B．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、 平行四边形的对角线互相平分，故A不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故B不符合题意；
C、有一个角是直角的菱形是正方形，故C符合题意；
D、 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质，可对A作出判断；利用矩形，正方形，菱形的判定定理分别对B，C，D作出判断.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BA=BC，
∴∠BAC=∠C，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC=∠B，
设∠BAD=∠DAC=∠B=x，则∠C=∠BAC=2x，
∵∠C+∠BAC+∠B=180°即2x+2x+x=180°，
解之：x=36°，
∴∠B=36°.
故答案为：C.
【分析】利用等边对等角可证得∠BAC=∠C，利用线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及角平分线的定义可证得∠BAD=∠DAC=∠B，设∠BAD=∠DAC=∠B=x，利用三角形的内角和定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠B的度数.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长AE，过点B作BF⊥AE于点F，
∵AP⊥AE，
∴∠PAE=90°，∠F=90°，
∵AE=AP=1，
∴△AEP是等腰直角三角形，，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠EAB+∠BAP=90°，
∵正方形ABCD，
∴∠DAP+∠BAP=90°，AD=AB，
∴∠DAP=∠EAB，
在△APD和△AEB中
∴△APD≌△AEB（SAS）
∴PD=BE，∠AEB=∠APD，
∵∠APD=180°-∠APE=180°-45°=135°，
∴∠AEB=135°=∠AEP+∠BEP，
∴∠BEP=90°，
∴；
∵∠BEF=180°-90°-45°=45°，
∴，
∴点B到直线AE的距离为.
故答案为：A.
【分析】延长AE，过点B作BF⊥AE于点F，易证△AEP是等腰直角三角形，可得到∠AEP=∠APE=45°，同时可求出EP的长，利用正方形的性质和余角的性质可证得AD=AB，∠DAP=∠EAB，利用SAS证明△APD≌△AEB，利用全等三角形的性质可证得PD=BE，∠AEB=∠APD，再证明∠BEP=90°，利用勾股定理求出BE的长，同时可证得∠BEF=45°，然后利用解直角三角形求出BF的长，即可得到点B到直线AE的距离.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：m3-16m=m（m2-16）=m（m+4）（m-4）.
故答案为：m（m+4）（m-4）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式.
12．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360÷60＝6，
故答案是：6.
【分析】根据多边形的外角和=360°可求解.
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：当y=-1时， ，
解之：x=2，
∴两函数图象的交点坐标为（2，-1），
∴不等式的解集为x＜2.
故答案为x＜2.
【分析】将y=-1代入正比例函数解析式，可求出对应的x的值，可得到两函数的交点坐标，再观察图象可得到不等式的解集.
14．【答案】4.8
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵菱形ABCD，
∴OB=BD=8，OC=AC=6，AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠PFO=∠EOF=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF=OP，
当OP⊥BC时，OP的值最小即EF的值最小，
∵即，
解之：OP=4.8，
∴EF的最小值为4.8.
故答案为：4.8.
【分析】利用菱形的性质可求出OB，OC的长，同时可证得∠BOC=90°，利用垂直的定义可证得∠PEO=∠PFO=∠EOF=90°，可推出四边形PEOF是矩形，利用矩形的性质可证得EF=OP，要使EF的值最小，利用垂线段最短可知当OP⊥BC时，OP的值最小即EF的值最小；利用三角形的面积公式求出OP的值，即可求解.
15．【答案】解：原式
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】将括号里的分式通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，约分化简.
16．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的运算；负整数指数幂
【解析】【分析】此题的运算顺序为：先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.
17．【答案】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
18．【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】在方程两边同时乘以x（x-2）（右边的1不能漏乘），将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验可得方程的根.
19．【答案】解：如图所示：过点A作BE的垂线，交BC于点D，点D即为所求.
.
【知识点】作图-垂线
【解析】【分析】过A作BE的垂线交BC于点D，点D即为所求.
20．【答案】证明：平分，
，
，，
，，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】利用角平分线的定义可证得∠CBD=∠ABD，利用垂直的定义和余角的性质可证得∠CDB=∠CMD，利用等角对等边可证得CM=CD，由此可证得结论.
21．【答案】证明：连接BD交AC于点O，
∵ABCD是正方形，
∴AP=CO，BO=DO，AC⊥BD，
∴OF=OE，
∴四边形DEBF是菱形．
【知识点】菱形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】连接BD交AC于点O，先根据正方形的性质得到AP=CO，BO=DO，AC⊥BD，进而结合题意运用菱形的判定即可求解。
22．【答案】（1）解：设第一批大樱桃每公斤进价为元，则第二批大樱桃每公斤进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：第一批大樱桃每公斤进价为元．
（2）解：设剩余的大樱桃每公斤售价打折，
依题意得：，
解得：．
答：剩余大樱桃每公斤售价最少打折．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）关键已知条件为：第二批所购公斤数是第一批的2倍，但进价比第一批每公斤多了5元，这里包含两个等量关系，再设未知数，列方程求解即可.
（2）设剩余的大樱桃每公斤售价打y折，根据要使第二批大樱桃的销售利润不少于320元，可得到关于y的方程，解方程求出y的值.
23．【答案】（1）；
（2）解：当四边形是矩形时，，
所以，解得：．
故秒时四边形是矩形；
（3）解：存在秒时，四边形为菱形，
理由：四边形为平行四边形时，，
所以，
解得：此时，．
过点作于点，则四边形是矩形．
，，
在中，，
，
平行四边形是菱形，
当时，四边形为菱形．
【知识点】坐标与图形性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵AB∥OC，点B的坐标为（15，8），
∴点M的纵坐标为8，
∵动点从点沿方向以每秒个长度单位的速度运动，t=2
∴点M（2，8）；
∵动点从点沿的方向以每秒个长度单位的速度运动，
∴NC=2×2=4，
∴ON=21-4=17，
∴点N（17，0）.
故答案为：（2，8），（17，0）.
【分析】（1）利用AB∥OC及点B的坐标，可得到点M的纵坐标，再利用点M的运动方向、速度和时间可得到点M的横坐标，即可得到点M的坐标；利用点N的运动方向、速度和时间，可得到NC的长，由此可得到ON的长，即可得到点N的坐标.
（2）利用矩形的判定可知当AM=ON时四边形AONM是矩形，可得到关于t的方程，解方程求出t的值.
（3）利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知BM=CN，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到CN的长；过点B作BD⊥OC于点D，易证四边形AODB是矩形，利用矩形的性质可求出相关线段的的长，利用勾股定理求出BC的长，即可得到CN的长，据此可求解.
1 / 1陕西省西安二十三中2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 的倒数是-2023.
故答案为：A.
【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商.
2．（2020九上·红桥期末）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
B．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项符合题意；
C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此逐一判断即可.
3．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，
∴-2a＜-2b，故A不符合题意；
B、∵a＞b，
∴a+c＞b+c，故B符合题意；
C、∵a＞b，当b＞0时，
∴ab＜b2，
若b=0时，ab=b2，,故C不符合题意；
D、∵a＞b，
∴，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用不等式的性质3，可对A作出判断；利用不等式的性质1可对B作出判断；利用不等式的性质2可对D作出判断；利用不等式的性质2和3，可对C作出判断.
4．（2022·陕西）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】单项式乘单项式，积的系数等于原来两个单项式的系数的积，它的各个变数字母的幂指数，等于在原来两个单项式中相应的变数字母的幂指数的和，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式，据此计算.
5．在中，，，的对边分别记为，，，由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．：：：：
C． D．：：：：
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理
【解析】【解答】解：A、∵，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
解之：∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故A不符合题意；
B、设a=3x，b=4x，c=6x，
∵a2+b2=25x2，c2=36x2，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，故B符合题意；
C、∵a2=c2-b2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故C不符合题意；
D、设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，
∵∠A+∠B+∠C=180°即x+2x+3x=180°，
解之：x=30°，
∴最大的角的度数为∠C=3×30°=90°，
∴△ABC是直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用直角三角形的定义：有一个角是90°的三角形是直角三角形，利用三角形的内角和定理可对A，D作出判断；利用勾股定理的逆定理可对B，C作出判断.
6．若分式有意义，则应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式有意义，
∴x（x-1）≠0，
∴x≠0且x-1≠0
∴x≠0且x≠1.
故答案为：D.
【分析】利用分式有意义的条件为：分母不等于0，可得到关于x的不等式，然后求出x的取值范围.
7．（2018九上·平顶山期末）在一个不透明的盒子里，装有5个黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将其摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，请估计盒子中白球的个数是（ ）
A．10个 B．15个 C．20个 D．25个
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵共试验40次，其中有10次摸到黑球，
∴白球所占的比例为1﹣=0.75，
设盒子中共有白球x个，则=0.75，
解得：x=15．
故选B．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
8．下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形的对角线平分对角
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一个角是直角的菱形是正方形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、 平行四边形的对角线互相平分，故A不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故B不符合题意；
C、有一个角是直角的菱形是正方形，故C符合题意；
D、 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质，可对A作出判断；利用矩形，正方形，菱形的判定定理分别对B，C，D作出判断.
9．如图，中，，是边的垂直平分线，分别交、于点、，连接，若恰好为的平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BA=BC，
∴∠BAC=∠C，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC=∠B，
设∠BAD=∠DAC=∠B=x，则∠C=∠BAC=2x，
∵∠C+∠BAC+∠B=180°即2x+2x+x=180°，
解之：x=36°，
∴∠B=36°.
故答案为：C.
【分析】利用等边对等角可证得∠BAC=∠C，利用线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及角平分线的定义可证得∠BAD=∠DAC=∠B，设∠BAD=∠DAC=∠B=x，利用三角形的内角和定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠B的度数.
10．如图，在正方形外取一点，连接，，过点作的垂线交于点若，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长AE，过点B作BF⊥AE于点F，
∵AP⊥AE，
∴∠PAE=90°，∠F=90°，
∵AE=AP=1，
∴△AEP是等腰直角三角形，，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠EAB+∠BAP=90°，
∵正方形ABCD，
∴∠DAP+∠BAP=90°，AD=AB，
∴∠DAP=∠EAB，
在△APD和△AEB中
∴△APD≌△AEB（SAS）
∴PD=BE，∠AEB=∠APD，
∵∠APD=180°-∠APE=180°-45°=135°，
∴∠AEB=135°=∠AEP+∠BEP，
∴∠BEP=90°，
∴；
∵∠BEF=180°-90°-45°=45°，
∴，
∴点B到直线AE的距离为.
故答案为：A.
【分析】延长AE，过点B作BF⊥AE于点F，易证△AEP是等腰直角三角形，可得到∠AEP=∠APE=45°，同时可求出EP的长，利用正方形的性质和余角的性质可证得AD=AB，∠DAP=∠EAB，利用SAS证明△APD≌△AEB，利用全等三角形的性质可证得PD=BE，∠AEB=∠APD，再证明∠BEP=90°，利用勾股定理求出BE的长，同时可证得∠BEF=45°，然后利用解直角三角形求出BF的长，即可得到点B到直线AE的距离.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11．因式分解 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：m3-16m=m（m2-16）=m（m+4）（m-4）.
故答案为：m（m+4）（m-4）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式.
12．（2021八下·拱墅期中）若多边形的每一个外角都等于60°，则该多边形的边数是 .
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360÷60＝6，
故答案是：6.
【分析】根据多边形的外角和=360°可求解.
13．在平面直角坐标系中，一次函数均为常数与正比例函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：当y=-1时， ，
解之：x=2，
∴两函数图象的交点坐标为（2，-1），
∴不等式的解集为x＜2.
故答案为x＜2.
【分析】将y=-1代入正比例函数解析式，可求出对应的x的值，可得到两函数的交点坐标，再观察图象可得到不等式的解集.
14．如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且不与写、重合．过作于，于，连接，则的最小值等于 ．
【答案】4.8
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵菱形ABCD，
∴OB=BD=8，OC=AC=6，AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠PFO=∠EOF=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF=OP，
当OP⊥BC时，OP的值最小即EF的值最小，
∵即，
解之：OP=4.8，
∴EF的最小值为4.8.
故答案为：4.8.
【分析】利用菱形的性质可求出OB，OC的长，同时可证得∠BOC=90°，利用垂直的定义可证得∠PEO=∠PFO=∠EOF=90°，可推出四边形PEOF是矩形，利用矩形的性质可证得EF=OP，要使EF的值最小，利用垂线段最短可知当OP⊥BC时，OP的值最小即EF的值最小；利用三角形的面积公式求出OP的值，即可求解.
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
15．化简：．
【答案】解：原式
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】将括号里的分式通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，约分化简.
四、解答题（本大题共8小题，共53.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的运算；负整数指数幂
【解析】【分析】此题的运算顺序为：先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.
17．解不等式组：．
【答案】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
18．解方程：．
【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】在方程两边同时乘以x（x-2）（右边的1不能漏乘），将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验可得方程的根.
19．（2021·渭滨模拟）如图，已知 ，点 为边 上一点，请用尺规在 边上作一点 ，使得 （要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）
【答案】解：如图所示：过点A作BE的垂线，交BC于点D，点D即为所求.
.
【知识点】作图-垂线
【解析】【分析】过A作BE的垂线交BC于点D，点D即为所求.
20．如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点．
求证：是等腰三角形；
【答案】证明：平分，
，
，，
，，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】利用角平分线的定义可证得∠CBD=∠ABD，利用垂直的定义和余角的性质可证得∠CDB=∠CMD，利用等角对等边可证得CM=CD，由此可证得结论.
21．（2023八下·双辽期末）已知：如图，E，F是正方形的对角线上的两点，且．求证：四边形是菱形．
【答案】证明：连接BD交AC于点O，
∵ABCD是正方形，
∴AP=CO，BO=DO，AC⊥BD，
∴OF=OE，
∴四边形DEBF是菱形．
【知识点】菱形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】连接BD交AC于点O，先根据正方形的性质得到AP=CO，BO=DO，AC⊥BD，进而结合题意运用菱形的判定即可求解。
22．某水果店第一次用元购进一批大樱桃，很快售完；又用元购进第二批大樱桃，所购公斤数是第一批的倍，但进价比第一批每公斤多了元．
（1）求第一批大樱桃每公斤进价多少元？
（2）若以每公斤元的价格销售第二批大樱桃，售出后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批大樱桃的销售利润不少于元，剩余的大樱桃每公斤售价至少打几折利润售价进价？
【答案】（1）解：设第一批大樱桃每公斤进价为元，则第二批大樱桃每公斤进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：第一批大樱桃每公斤进价为元．
（2）解：设剩余的大樱桃每公斤售价打折，
依题意得：，
解得：．
答：剩余大樱桃每公斤售价最少打折．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）关键已知条件为：第二批所购公斤数是第一批的2倍，但进价比第一批每公斤多了5元，这里包含两个等量关系，再设未知数，列方程求解即可.
（2）设剩余的大樱桃每公斤售价打y折，根据要使第二批大樱桃的销售利润不少于320元，可得到关于y的方程，解方程求出y的值.
23．如图，在平面直角坐标系中，四边形的点在坐标原点上，点在轴上，，点的坐标为，点的坐标为，动点从点沿方向以每秒个长度单位的速度运动，动点从点沿的方向以每秒个长度单位的速度运动．点、同时出发，一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为秒．
（1）当时，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）当为何值时，四边形是矩形？
（3）运动过程中，四边形能否为菱形？若能，求出的值；若不能说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：当四边形是矩形时，，
所以，解得：．
故秒时四边形是矩形；
（3）解：存在秒时，四边形为菱形，
理由：四边形为平行四边形时，，
所以，
解得：此时，．
过点作于点，则四边形是矩形．
，，
在中，，
，
平行四边形是菱形，
当时，四边形为菱形．
【知识点】坐标与图形性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵AB∥OC，点B的坐标为（15，8），
∴点M的纵坐标为8，
∵动点从点沿方向以每秒个长度单位的速度运动，t=2
∴点M（2，8）；
∵动点从点沿的方向以每秒个长度单位的速度运动，
∴NC=2×2=4，
∴ON=21-4=17，
∴点N（17，0）.
故答案为：（2，8），（17，0）.
【分析】（1）利用AB∥OC及点B的坐标，可得到点M的纵坐标，再利用点M的运动方向、速度和时间可得到点M的横坐标，即可得到点M的坐标；利用点N的运动方向、速度和时间，可得到NC的长，由此可得到ON的长，即可得到点N的坐标.
（2）利用矩形的判定可知当AM=ON时四边形AONM是矩形，可得到关于t的方程，解方程求出t的值.
（3）利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知BM=CN，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到CN的长；过点B作BD⊥OC于点D，易证四边形AODB是矩形，利用矩形的性质可求出相关线段的的长，利用勾股定理求出BC的长，即可得到CN的长，据此可求解.
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