24.4.1弧长和扇形面积 课件（共33张PPT）

24.4.1 弧长和扇形面积
人教版九年级上册
知识回顾
回忆圆的知识，半径为 r 的圆，周长是多少？面积是多少？
周长：????=????????或????=2????????.
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面积：????=????????2.
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教学目标
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.
新知导入
下图是学校操场的环形跑道，你会计算跑道一圈的长度吗？
新知探究
一、探究弧长计算公式：
1.什么是弧长？
弧长就是弧的长度。
2.如何计算弧长？
新知探究
(1) 圆心角是180°，占整个周角的 180360 ，因此它所对的弧长是圆周长的_____.
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(2) 圆心角是90°，占整个周角的 90360 ，因此它所对的弧长是圆周长的______.
?
(3) 圆心角是45°，占整个周角的 45360 ，因此它所对的弧长是圆周长的______.
?
(4) 圆心角是n°，占整个周角的 ????360 ，因此它所对的弧长是圆周长的______.
?
思考：下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?
O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
新知探究
在半径为 R 的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C = 2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是 2????????360，即 ????????180 .
于是n°的圆心角所对的弧长为 ????=????????????180 .
?
在弧长公式中，R，n，l 三个量，可以做到知二求一：????=180????????????， ????=180???????????? .
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扇形的周长公式：C扇形 = 2R+????=2????+????????????180 .
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新知典例
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
因此所要求的展直长度L≈2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度约为2970mm．
l=100×900×????180=500????≈1570mm，
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例1
新知练习
1. 如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧 .已知半径OA＝60 cm，∠AOB＝108°，则管道的长度(即AB的长)为多少？(结果保留π)
解：设 的长为l cm.
∵R＝60 cm，n°＝108°，
答：管道的长度为36 π cm.
新知探究
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
二、探究扇形面积公式：
如何求扇形的面积？
新知探究
下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?
(1) 圆心角是180°，占整个周角的 180360 ，因此扇形面积是圆的面积的_____.
?
(2) 圆心角是90°，占整个周角的 90360 ，因此扇形面积是圆的面积的______.
?
(3) 圆心角是45°，占整个周角的 45360 ，因此扇形面积是圆的面积的______.
?
(4) 圆心角是n°，占整个周角的 ????360 ，因此扇形面积是圆的面积的______.
?
O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
新知探究
扇形面积公式
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
扇形面积公式中的“n”和弧长公式中的“n”一样，表示“1°”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位.
新知探究
圆心角大小不变时，对应的扇形面积与半径有关，半径越长，面积越大.
圆的半径不变时，扇形面积与圆心角有关， 圆心角越大，面积越大.
扇形的面积与哪些因素有关？
O
A
B
D
C
E
F
●
O
A
B
C
D
●
扇形的面积与圆心角、半径有关.
新知探究
比较弧长( )公式和扇形面积( )公式,你能发现它们的异同点吗？
三、探究弧长与扇形面积的关系：
新知探究
你能用弧长表示扇形面积吗？
新知探究
新知典例
如图，两个同心圆被两条半径截得的 的长度为5π， 的长度为7π，AC＝4，求阴影部分的面积(ABDC的面积)．
例2
解：设圆心角为n°，则 的长
答：阴影部分的面积为24π.
的长
∴S阴影＝
新知探究
(1) 截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01m）
(2) 水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
线段DC.过点O作OD垂直于AB并交圆O于C.
例3
新知探究
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01m）
(3) 要求图中阴影部分的面积，应该怎么算？
阴影部分面积=扇形OAB的面积- △OAB的面积
例3
新知探究
解：如图，连接OA,OB,过点O作弦AB的垂线，垂足为D,交????????于点C,连接AC.
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∵ OC＝0.6, DC＝0.3, ∴ OD＝OC- DC＝0.3，
∴ OD＝DC.
又 AD ⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线，
∴AC＝AO＝OC.
　从而 ∠AOD＝60?, ∠AOB=120?.
有水部分的面积：S＝S扇形OAB - SΔOAB
新知探究
弓形的面积可以看成是扇形面积和三角形面积的和或差，实际应用时，可根据具体图形选用对应的公式：
1.如图(1)，弓形ADB的面积小于圆面积的一半，此时 S弓形 = S扇形OAB - S△OAB .
2.如图(2)，弓形ADB的面积大于圆面积的一半，此时 S弓形 = S扇形OADB +S△OAB .
3.如图(3)，弓形ADB的面积等于圆面积的一半，此时 S弓形 = 12 S圆 .
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新知练习
2.
如图，已知扇形OAB的半径为10，∠AOB=60°，
求图中阴影部分的面积。
阴影面积
扇形OAB面积
三角形OAB面积
圆心角
半径
底
高
C
新知探究
解：过点O作OC⊥AB于点C,
新知练习
3.如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO=45 cm， CO=5 cm，当AC绕点O顺时针旋转90°时，则雨刷器AC扫过的区城(阴影部分)的面积为 cm2(结果保留π).
500π
解：∵OA=OA′，OC=OC′，AC=A′C′，
∴△AOC≌△A′OC′，
∴雨刷器AC扫过的面积=扇形AOA′的面积-扇形COC′的面积
=452?524×π
=500π(cm2).
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新知小结
在求解阴影部分面积的问题中，如果所求的阴影部分是不规则图形，可以采取各种方法，将阴影部分面积转化为几个规则图形面积的和或差的形式.与圆有关的阴影部分面积的问题，往往需要利用扇形面积公式或弓形面积的计算公式.
不规则图形面积的求解方法
课堂总结
弧长
计算公式：
扇形
定义
公式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
课堂练习
1．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，那么半径为2的“等边扇形”的面积为(　　)
　A．π　　　　B．1　　　　C．2　　　　D.
2．如图，直径AB为6的半圆，绕点A逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．6π　　 　B．5π　 　 　C．4π　　 　D．3π
C
A
课堂练习
3.一个扇形的弧长为4，半径为3，则这个扇形的面积为 ____．
课堂练习
4.如图，点A、B、C在⊙O上，⊙O的半径为9， 的长为2π，则∠ACB的大小是 .
20°
课堂练习
5.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线 l 上，将矩形ABCD沿直线 l 作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1的位置时，则点A经过的路线长为 .
解：点A的运动路径如图所示.∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，
∴BC=AD=3，∠ADC=90°，对角线AC(BD)=5．
∵根据旋转的性质知，∠ADA′=90°，AD=A′D=BC=3，
∴点A第一次翻滚到点A′位置时，则点A经过的路线长为 90????×3180=3????2 ．
?
课堂练习
同理，点A′翻滚到点A″位置时，则点A经过的路线长为 90????×4180 =2π．
点A″翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为 90????×5180=5????2 ．
则当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为 3????2+2π+ 5????2?=6π．
?
5.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线 l 上，将矩形ABCD沿直线 l 作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1的位置时，则点A经过的路线长为 .
6π
谢谢
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