河南省郑州市郑州高新技术产业开发区郑州枫杨外国语学校2023-2024学年九年级上学期数学入学考试试题
一、选择题（共10小题，共30分）
1．（2023·自贡）下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，A不符合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，B符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义即可求解。
2．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）已知，下列式子不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵x＜y，∴x＜y+10，故此选项中的不等式一定成立，故此选项不符合题意；
B、∵x＜y，∴x+2＜y+2，故此选项中的不等式一定成立，故此选项不符合题意；
C、∵x＜y，∴-2023x＞-2023y，故此选项中的不等式不成立，故此选项符合题意；
D、∵x＜y，∴x＜y，故此选项中的不等式一定成立，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一 一判断得出答案.
3．（2023七下·瑶海期末）若将中的x与y都扩大2倍，则这个代数式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍
C．扩大4倍 D．缩小到原来的
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵将中的x与y都扩大2倍， 可得：，
∴将中的x与y都扩大2倍，这个代数式的值扩大4倍，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
4．（2023九上·中牟开学考）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，∴带②④两块碎玻璃，就可以确定原来平行四边形玻璃的大小，能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃.
故答案为：C.
【分析】只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，平行四边形的四个顶点确定了，平行四边形也就确定了.
5．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：把 《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，由题意画出树状图为：
由图可得：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的共有2种等可能的结果数，
故P（ 抽取的两本恰好是《论语》和《大学》 ）=.
故答案为：B.
【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可得：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的共有2种等可能的结果数，从而根据概率公式即可算出答案.
6．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）为扎实推进"五育"并举工作，加强劳动教育，我校开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为千克，依题所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设第一批面粉采购量为x千克，则第二批面粉采购量为1.5x千克，第一批采购面粉的单价为元/千克，第二批采购面粉的单价为元/千克，
由题意，得 .
故答案为：A.
【分析】设第一批面粉采购量为x千克，则第二批面粉采购量为1.5x千克，根据总价除以数量等于单价分别表示出第一批采购面粉的单价为元/千克，第二批采购面粉的单价为元/千克，进而根据第二批采购面粉的单价比第一批采购面粉的单价提高了0.4元列出方程即可.
7．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程x2+mx-8=0中a=1，b=m，c=-8，
∴△=b2-4ac=m2-4×1×（-8）=m2+8，
∵m2≥0，
∴m2+8＞8，
∴△＞0，
∴关于x的一元二次方程x2+mx-8=0有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此算出原方程根的判别式的值，进而结合偶数次幂的非负性进行判断即可得出答案.
8．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）关于的不等式的解集如图所示，则等于（ ）
A．3 B．1 C．0 D．-3
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：x+m≥-1，
解得x≥-1-m，
由数轴可知该不等式的解集为x≥-2，∴-1-m=-2，解得m=1.
故答案为：B.
【分析】将m作为字母参数解出不等式的解集，进而根据数轴上表示不等式解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”读出该不等式的解集，从而即可得出关于字母m的方程，求解即可得出字母m的值.
9．（2023九上·中牟开学考）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ）
若，则点到的距离为；
；
点在的中垂线上；
若，则．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
由作图过程可得AD是∠BAC的角平分线，
又∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD，
故若CD=3cm，则DE=3cm，即点D到AB的距离为3cm，故①正确；
在Rt△BDE中，∵∠B=30°，
∴BD=2DE，
∴BD=2CD，故②正确；
∵△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠DAB=∠BAC=30°，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC，
∴S△ABC=S△ACD+S△ABD==3×4=12，故④正确，
综上正确的有①②③④，共4个.
故答案为：D.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由作图过程可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线上的点到角两边的距离相等可判断①；由含30直角三角形的性质可判断②；由等角对等边可得AD=BD，再根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可判断③；根据三角形的面积计算公式及S△ABC=S△ACD+S△ABD列式计算可判断④.
10．（2023九上·中牟开学考）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，边在轴的正半轴上轴，，，，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；探索图形规律；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，连接OB，过点C作CD⊥OA于点D，
在△AOB与△COB中，
∵OA=OC，OB=OB，AB=CB，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠AOB=∠COB=∠AOC=30°，
在Rt△AOB中，∠AOB=30°，AB=2，
∴OB=4，
∴OA=，
∴OC=，
在Rt△OCD中，∠CDO=90°，∠COD=60°，
∴∠OCD=30°，
∴OD=，
∴CD=，
∴C（）；
∵每次旋转90°，
∴第一次旋转结束后点C的坐标为，第二次旋转结束后点C的坐标为，第三次旋转结束后点C的坐标为（），第四次旋转结束后点C的坐标为，……
360°÷90°=4，
∴每旋转四次是一个循环，
而2023÷4=505……3，
∴第2023次循环结束时点C的位置和第三次循环结束时的位置相同，
∴第2023次旋转结束后点C的坐标为（）.
故答案为：B.
【分析】连接OB，过点C作CD⊥OA于点D，先用SSS判断出△AOB≌△COB，由全等三角形的对应角相等得∠AOB=∠COB=∠AOC=30°，进而根据含30°角直角三角形的性质求出OD的长，再根据勾股定理算出CD的长，可得点C的坐标；根据图形的旋转与坐标的关系求出前几次旋转结束后点C的坐标，进而根据每旋转四次是一个循环，可得第2023次循环结束时点C的位置和第三次循环结束时的位置相同，从而得出答案.
二、填空题（共5小题，共15分）
11．（2023九上·中牟开学考）请写出一个分式，并写出使其有意义的条件 ．
【答案】
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：开放性命题，答案不唯一，如.
故答案为：.
【分析】根据分母中含有字母的式子就是分式，分式有意义的条件是分母不为0，求解即可.
12．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）如图，在中，的平分线交AD于点的平分线交AD于点，若，则EF的长是 .
【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3，BC∥AD，
∴∠CBE=∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
同理CD=FD=3，
∴EF=AE+DF-AD=3+3-4=2.
故答案为：2.
【分析】由平行四边形性质得AB=CD=3，BC∥AD，进而根据角平分线的定义及平行线的性质可推出∠ABE=∠AEB，由等角对等边得AE=AB=3，同理CD=FD=3，最后根据EF=AE+DF-AD即可算出答案.
13．（2023九上·中牟开学考）如图，在中，，分别是和上的点，，，，且，则 ．
【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵AB=12cm，AB=AD+BD，
∴BD=AB-AD=（12-AD）cm，
∵ ，AE=6cm，EC=4cm，
∴，
解得AD=.
故答案为：.
【分析】由线段的和差得BD=AB-AD=（12-AD）cm，从而将各线段的长度代入比例式，求解可得AD的长.
14．（2023九上·中牟开学考）如图，已知函数与函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵函数y=-x+b与函数y=kx+7的图象交于点P（-2，3），
∴关于x的不等式-x+b≤kx+7的解集为x≥-2.
故答案为：x≥-2.
【分析】求关于x的不等式-x+b≤kx+7的解集，就是求函数y=-x+b的图象在函数y=kx+7的图象的下方部分相应的自变量的取值范围，从而结合交点坐标即可得出答案.
15．（2023九上·中牟开学考）如图，等边三角形的边长为，动点从点出发，沿的方向以的速度运动，动点从点出发，沿的方向以的速度运动，且动点，同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动那么运动到第 秒时，点，，以及的边上一点恰能构成一个平行四边形．
【答案】2或6
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，
①当0＜t＜时，点M、N、D的位置如图所示：
由题意得BM=3t，CN=2t，
∵△ABC是边长为10的等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC=10，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴DM=AN，DM∥AN，DN∥AB，
∴∠MDB=∠C=60°，∠NDC=∠B=60°，
∴∠NDC=∠C，∠B=∠BDM，
∴ND=NC=2t，BM=DM=3t，
∵DM+DN=AN+NC=AC=10，
∴3t+2t=10，
解得t=2；
②当≤t≤5时，点A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；
③当5＜t＜时，点M、N、D的位置如图，
由题意得：AM=3t-10，AN=2t-10，
∵△ABC是边长为10的等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC=10，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴DM=AN，DM∥AN，DN∥AB，
∴∠MDC=∠B=60°，∠NDB=∠C=60°，
∴∠NDB=∠B，∠C=∠CDM，
∴ND=BN=3t-10，AN=DM=2t-10，
∵DM+DN=AN+BN=AB=10，
∴3t-10+2t-10=10，
解得t=6；
④当≤t≤10，点M、N、D的位置如图，
由题意得：BN=20-2t，BM=30-3t，
∵△ABC是边长为10的等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴MN∥AC，
∴∠NMB=∠C=60°，
∴∠NMB=∠B=60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM=BN，即20-2t=30-3t，
解得t=10，
此时M与N重合，不能构成平行四边形，
综上所述，t的值为2或6.
故答案为：2或6.
【分析】分四种情况：①当0＜t＜时；②当≤t≤5时，点A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；③当5＜t＜时，点M、N、D的位置如图；④当≤t≤10，分别画出图形，从而根据等边三角形的性质及平行四边形的性质列出方程，求解即可.
三、解答题（共75分）
16．（2023九上·中牟开学考）
（1）因式分解：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：，
解不等式得，
解不等式得，
原不等式组得解集为．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）将（x-2y）看成一个整体，直接利用提取公因式法分解因式即可；
（2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
17．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律.
（2）请从甲、乙同学的解法中选择一种，写出完整的化简过程，然后从中挑选一个合适的数代入求值.
【答案】（1）②；③
（2）解：选择乙同学，
原式
分式有意义，或-2
当时，原式或时，原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）甲同学所做的变形是将分式通分，
所以甲同学解法的依据是分式的基本性质；
乙同学所做的变形是用括号外的因式与括号内的每一个加数相乘，所以乙同学解法的依据是乘法分配律；
故答案为：②，③；
【分析】（1）根据分式的基本性质及乘法分配律即可作答；
（2）选择乙同学解法，首先用括号外的因式与括号内的每一个加数相乘，然后将能分解因式的各个分子分别分解因式，进而约分化简，接着合并同类项得到最简形式，最后根据原分式有意义的条件判断出x只能取2或-2，从而将x=2或x=-2代入化简的最后结果计算可得答案.
18．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上.
（1）将沿轴方向向左平移3个单位后得到，画出；
（2）将绕顺时针旋转后得到，画出，并写出顶点，的坐标.
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1为所作；
（2）解：如图，△A1B2C2为所作；
.
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、C三点向左平移3个单位长度后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）利用方格纸的特点分别作出点B1、C1绕点A1顺时针旋转90°后得到的对应点B2、C2，再连接A1、B2、C2即可得出所求的三角形，进而根据A1、B2、C2三点的位置读出其坐标即可.
19．（2023·河南）如图，中，点D在边AC上，且．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：．
【答案】（1）如图：
（2）证明：平分
在和中
【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法进行作图；
（2）由角平分线的概念可得∠BAE=∠DAE，由已知条件可知AB=AD，利用SAS证明△BAE≌△DAE，据此可得结论.
20．（2023八下·青原期末）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同．
（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
（2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案．
【答案】（1）解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，
由题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
∴跳绳和毽子的单价分别是8元，5元，
答：跳绳和毽子的单价分别是8元，5元；
（2）解：设学校购买跳绳m根，则购买毽子个，花费为W，
由题意得，
∵跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，
∴，
∴，
∵，
∴W随着m的增大而增大，
∴当m=450时，W有最小值，
∴当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后利用一次函数的性质计算求解即可。
21．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）课本再现
思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（1）定理证明
为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程.
已知：在中，对角线，垂足为.
求证：是菱形.
（2）知识应用
如图2，在中，对角线AC和BD相交于点.求证：是菱形.
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
又，垂足为，
∴AC是BD的垂直平分线，
，
是菱形；
（2）证明：中，对角线AC和BD相交于点，
，
又，
在三角形AOD中，
即，
是菱形；
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得DO=BO，易得AC是BD的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AB=AD，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（2）由平行四边形的对角线互相平分得DO=BO=3，AO=CO=4，在△AOD中，利用勾股定理的逆定理判断出∠AOD=90°，从而根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论.
22．（2023九上·中牟开学考）已知：是等腰三角形，其中，，点为边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在点处，连接、．
（1）当时，如图，此时恰好平分，则和的数量关系是： ；
（2）当时：
请判断线段，，的数量关系，并根据图进行证明提示：过点作，交与；
若，在点的移动过程中，当是等腰三角形时，直接写出此时的面积．
【答案】（1）
（2）解：①，理由如下：
过点D作DF⊥BC，交AB与F，如图：
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
由旋转可得，
∴△BDE≌△FDA（SAS），
，
，
；
②当D与B重合时，此时AD=AC，如图，
，
，
，
；
当AC=CD时，如图：
，
，
，
由①可知，，
，
同①可得≌，
，
，
；
当AD=CD时，如图：
此时△ABE不存在，不符合题意；
综上所述，△ABE的面积为或．
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵AD平分∠EAC，
∴∠DAC=∠DAE，
由旋转可得DA=DE，∠ADE=120°，
∴∠E=（180°-∠ADE）=30°，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠C=（180°-∠BAC）=30°，
∴∠C=∠E，
在△ADE与△ADC中，
∵∠DAC=∠DAE，∠C=∠E，AD=AD，
∴△ADE≌△ADC（AAS），
∴AE=AC；
故答案为：AE=AC；
【分析】（1）由角平分线的定义得∠DAC=∠DAE，由旋转可得DA=DE，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可推出∠C=∠E，从而用AAS判断出△ADE≌△ADC，根据全等三角形的对应边相等可得AE=AC；
（2）①，理由如下：过点D作DF⊥BC，交AB与F，易得△BDF是等腰直角三角形，故BF=BD，BD=FD，由同角的余角相等得∠BDE=∠FDA，由旋转性质得DE=DA，从而由SAS判断出△BDE≌△FDA，得BF=AF，进而根据线段和差及等量代换可得结论；
②当D与B重合时，此时AD=AC，由旋转性质可得BE=AD=6，进而根据直角三角形面积计算公式计算即可；当AC=CD时，由等腰直角三角形性质先算出BC的长，然后根据BD=BC-CD求出BD的长，根据①的结论再求出BE的长，由△BDE≌△FDA可得∠DBE=∠DFA=135°，再根据角的和差求出∠ABE=90°，进而根据直角三角形面积计算方法可算出△ABE的面积；当AD=CD时，△ABE不存在，不符合题意，综上即可得出答案.
1 / 1河南省郑州市郑州高新技术产业开发区郑州枫杨外国语学校2023-2024学年九年级上学期数学入学考试试题
一、选择题（共10小题，共30分）
1．（2023·自贡）下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）已知，下列式子不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023七下·瑶海期末）若将中的x与y都扩大2倍，则这个代数式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍
C．扩大4倍 D．缩小到原来的
4．（2023九上·中牟开学考）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）为扎实推进"五育"并举工作，加强劳动教育，我校开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为千克，依题所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）关于的不等式的解集如图所示，则等于（ ）
A．3 B．1 C．0 D．-3
9．（2023九上·中牟开学考）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ）
若，则点到的距离为；
；
点在的中垂线上；
若，则．
A．个 B．个 C．个 D．个
10．（2023九上·中牟开学考）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，边在轴的正半轴上轴，，，，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，共15分）
11．（2023九上·中牟开学考）请写出一个分式，并写出使其有意义的条件 ．
12．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）如图，在中，的平分线交AD于点的平分线交AD于点，若，则EF的长是 .
13．（2023九上·中牟开学考）如图，在中，，分别是和上的点，，，，且，则 ．
14．（2023九上·中牟开学考）如图，已知函数与函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是 ．
15．（2023九上·中牟开学考）如图，等边三角形的边长为，动点从点出发，沿的方向以的速度运动，动点从点出发，沿的方向以的速度运动，且动点，同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动那么运动到第 秒时，点，，以及的边上一点恰能构成一个平行四边形．
三、解答题（共75分）
16．（2023九上·中牟开学考）
（1）因式分解：；
（2）解不等式组：．
17．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律.
（2）请从甲、乙同学的解法中选择一种，写出完整的化简过程，然后从中挑选一个合适的数代入求值.
18．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上.
（1）将沿轴方向向左平移3个单位后得到，画出；
（2）将绕顺时针旋转后得到，画出，并写出顶点，的坐标.
19．（2023·河南）如图，中，点D在边AC上，且．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：．
20．（2023八下·青原期末）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同．
（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
（2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案．
21．（2023九上·郑州高新技术产业开发开学考）课本再现
思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（1）定理证明
为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程.
已知：在中，对角线，垂足为.
求证：是菱形.
（2）知识应用
如图2，在中，对角线AC和BD相交于点.求证：是菱形.
22．（2023九上·中牟开学考）已知：是等腰三角形，其中，，点为边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在点处，连接、．
（1）当时，如图，此时恰好平分，则和的数量关系是： ；
（2）当时：
请判断线段，，的数量关系，并根据图进行证明提示：过点作，交与；
若，在点的移动过程中，当是等腰三角形时，直接写出此时的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，A不符合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，B符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义即可求解。
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵x＜y，∴x＜y+10，故此选项中的不等式一定成立，故此选项不符合题意；
B、∵x＜y，∴x+2＜y+2，故此选项中的不等式一定成立，故此选项不符合题意；
C、∵x＜y，∴-2023x＞-2023y，故此选项中的不等式不成立，故此选项符合题意；
D、∵x＜y，∴x＜y，故此选项中的不等式一定成立，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一 一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵将中的x与y都扩大2倍， 可得：，
∴将中的x与y都扩大2倍，这个代数式的值扩大4倍，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，∴带②④两块碎玻璃，就可以确定原来平行四边形玻璃的大小，能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃.
故答案为：C.
【分析】只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，平行四边形的四个顶点确定了，平行四边形也就确定了.
5．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：把 《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，由题意画出树状图为：
由图可得：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的共有2种等可能的结果数，
故P（ 抽取的两本恰好是《论语》和《大学》 ）=.
故答案为：B.
【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可得：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的共有2种等可能的结果数，从而根据概率公式即可算出答案.
6．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设第一批面粉采购量为x千克，则第二批面粉采购量为1.5x千克，第一批采购面粉的单价为元/千克，第二批采购面粉的单价为元/千克，
由题意，得 .
故答案为：A.
【分析】设第一批面粉采购量为x千克，则第二批面粉采购量为1.5x千克，根据总价除以数量等于单价分别表示出第一批采购面粉的单价为元/千克，第二批采购面粉的单价为元/千克，进而根据第二批采购面粉的单价比第一批采购面粉的单价提高了0.4元列出方程即可.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程x2+mx-8=0中a=1，b=m，c=-8，
∴△=b2-4ac=m2-4×1×（-8）=m2+8，
∵m2≥0，
∴m2+8＞8，
∴△＞0，
∴关于x的一元二次方程x2+mx-8=0有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此算出原方程根的判别式的值，进而结合偶数次幂的非负性进行判断即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：x+m≥-1，
解得x≥-1-m，
由数轴可知该不等式的解集为x≥-2，∴-1-m=-2，解得m=1.
故答案为：B.
【分析】将m作为字母参数解出不等式的解集，进而根据数轴上表示不等式解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”读出该不等式的解集，从而即可得出关于字母m的方程，求解即可得出字母m的值.
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
由作图过程可得AD是∠BAC的角平分线，
又∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD，
故若CD=3cm，则DE=3cm，即点D到AB的距离为3cm，故①正确；
在Rt△BDE中，∵∠B=30°，
∴BD=2DE，
∴BD=2CD，故②正确；
∵△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠DAB=∠BAC=30°，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC，
∴S△ABC=S△ACD+S△ABD==3×4=12，故④正确，
综上正确的有①②③④，共4个.
故答案为：D.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由作图过程可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线上的点到角两边的距离相等可判断①；由含30直角三角形的性质可判断②；由等角对等边可得AD=BD，再根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可判断③；根据三角形的面积计算公式及S△ABC=S△ACD+S△ABD列式计算可判断④.
10．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；探索图形规律；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，连接OB，过点C作CD⊥OA于点D，
在△AOB与△COB中，
∵OA=OC，OB=OB，AB=CB，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠AOB=∠COB=∠AOC=30°，
在Rt△AOB中，∠AOB=30°，AB=2，
∴OB=4，
∴OA=，
∴OC=，
在Rt△OCD中，∠CDO=90°，∠COD=60°，
∴∠OCD=30°，
∴OD=，
∴CD=，
∴C（）；
∵每次旋转90°，
∴第一次旋转结束后点C的坐标为，第二次旋转结束后点C的坐标为，第三次旋转结束后点C的坐标为（），第四次旋转结束后点C的坐标为，……
360°÷90°=4，
∴每旋转四次是一个循环，
而2023÷4=505……3，
∴第2023次循环结束时点C的位置和第三次循环结束时的位置相同，
∴第2023次旋转结束后点C的坐标为（）.
故答案为：B.
【分析】连接OB，过点C作CD⊥OA于点D，先用SSS判断出△AOB≌△COB，由全等三角形的对应角相等得∠AOB=∠COB=∠AOC=30°，进而根据含30°角直角三角形的性质求出OD的长，再根据勾股定理算出CD的长，可得点C的坐标；根据图形的旋转与坐标的关系求出前几次旋转结束后点C的坐标，进而根据每旋转四次是一个循环，可得第2023次循环结束时点C的位置和第三次循环结束时的位置相同，从而得出答案.
11．【答案】
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：开放性命题，答案不唯一，如.
故答案为：.
【分析】根据分母中含有字母的式子就是分式，分式有意义的条件是分母不为0，求解即可.
12．【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3，BC∥AD，
∴∠CBE=∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
同理CD=FD=3，
∴EF=AE+DF-AD=3+3-4=2.
故答案为：2.
【分析】由平行四边形性质得AB=CD=3，BC∥AD，进而根据角平分线的定义及平行线的性质可推出∠ABE=∠AEB，由等角对等边得AE=AB=3，同理CD=FD=3，最后根据EF=AE+DF-AD即可算出答案.
13．【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵AB=12cm，AB=AD+BD，
∴BD=AB-AD=（12-AD）cm，
∵ ，AE=6cm，EC=4cm，
∴，
解得AD=.
故答案为：.
【分析】由线段的和差得BD=AB-AD=（12-AD）cm，从而将各线段的长度代入比例式，求解可得AD的长.
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵函数y=-x+b与函数y=kx+7的图象交于点P（-2，3），
∴关于x的不等式-x+b≤kx+7的解集为x≥-2.
故答案为：x≥-2.
【分析】求关于x的不等式-x+b≤kx+7的解集，就是求函数y=-x+b的图象在函数y=kx+7的图象的下方部分相应的自变量的取值范围，从而结合交点坐标即可得出答案.
15．【答案】2或6
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，
①当0＜t＜时，点M、N、D的位置如图所示：
由题意得BM=3t，CN=2t，
∵△ABC是边长为10的等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC=10，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴DM=AN，DM∥AN，DN∥AB，
∴∠MDB=∠C=60°，∠NDC=∠B=60°，
∴∠NDC=∠C，∠B=∠BDM，
∴ND=NC=2t，BM=DM=3t，
∵DM+DN=AN+NC=AC=10，
∴3t+2t=10，
解得t=2；
②当≤t≤5时，点A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；
③当5＜t＜时，点M、N、D的位置如图，
由题意得：AM=3t-10，AN=2t-10，
∵△ABC是边长为10的等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC=10，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴DM=AN，DM∥AN，DN∥AB，
∴∠MDC=∠B=60°，∠NDB=∠C=60°，
∴∠NDB=∠B，∠C=∠CDM，
∴ND=BN=3t-10，AN=DM=2t-10，
∵DM+DN=AN+BN=AB=10，
∴3t-10+2t-10=10，
解得t=6；
④当≤t≤10，点M、N、D的位置如图，
由题意得：BN=20-2t，BM=30-3t，
∵△ABC是边长为10的等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴MN∥AC，
∴∠NMB=∠C=60°，
∴∠NMB=∠B=60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM=BN，即20-2t=30-3t，
解得t=10，
此时M与N重合，不能构成平行四边形，
综上所述，t的值为2或6.
故答案为：2或6.
【分析】分四种情况：①当0＜t＜时；②当≤t≤5时，点A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；③当5＜t＜时，点M、N、D的位置如图；④当≤t≤10，分别画出图形，从而根据等边三角形的性质及平行四边形的性质列出方程，求解即可.
16．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：，
解不等式得，
解不等式得，
原不等式组得解集为．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）将（x-2y）看成一个整体，直接利用提取公因式法分解因式即可；
（2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
17．【答案】（1）②；③
（2）解：选择乙同学，
原式
分式有意义，或-2
当时，原式或时，原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）甲同学所做的变形是将分式通分，
所以甲同学解法的依据是分式的基本性质；
乙同学所做的变形是用括号外的因式与括号内的每一个加数相乘，所以乙同学解法的依据是乘法分配律；
故答案为：②，③；
【分析】（1）根据分式的基本性质及乘法分配律即可作答；
（2）选择乙同学解法，首先用括号外的因式与括号内的每一个加数相乘，然后将能分解因式的各个分子分别分解因式，进而约分化简，接着合并同类项得到最简形式，最后根据原分式有意义的条件判断出x只能取2或-2，从而将x=2或x=-2代入化简的最后结果计算可得答案.
18．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1为所作；
（2）解：如图，△A1B2C2为所作；
.
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、C三点向左平移3个单位长度后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）利用方格纸的特点分别作出点B1、C1绕点A1顺时针旋转90°后得到的对应点B2、C2，再连接A1、B2、C2即可得出所求的三角形，进而根据A1、B2、C2三点的位置读出其坐标即可.
19．【答案】（1）如图：
（2）证明：平分
在和中
【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法进行作图；
（2）由角平分线的概念可得∠BAE=∠DAE，由已知条件可知AB=AD，利用SAS证明△BAE≌△DAE，据此可得结论.
20．【答案】（1）解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，
由题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
∴跳绳和毽子的单价分别是8元，5元，
答：跳绳和毽子的单价分别是8元，5元；
（2）解：设学校购买跳绳m根，则购买毽子个，花费为W，
由题意得，
∵跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，
∴，
∴，
∵，
∴W随着m的增大而增大，
∴当m=450时，W有最小值，
∴当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后利用一次函数的性质计算求解即可。
21．【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
又，垂足为，
∴AC是BD的垂直平分线，
，
是菱形；
（2）证明：中，对角线AC和BD相交于点，
，
又，
在三角形AOD中，
即，
是菱形；
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得DO=BO，易得AC是BD的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AB=AD，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（2）由平行四边形的对角线互相平分得DO=BO=3，AO=CO=4，在△AOD中，利用勾股定理的逆定理判断出∠AOD=90°，从而根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论.
22．【答案】（1）
（2）解：①，理由如下：
过点D作DF⊥BC，交AB与F，如图：
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
由旋转可得，
∴△BDE≌△FDA（SAS），
，
，
；
②当D与B重合时，此时AD=AC，如图，
，
，
，
；
当AC=CD时，如图：
，
，
，
由①可知，，
，
同①可得≌，
，
，
；
当AD=CD时，如图：
此时△ABE不存在，不符合题意；
综上所述，△ABE的面积为或．
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵AD平分∠EAC，
∴∠DAC=∠DAE，
由旋转可得DA=DE，∠ADE=120°，
∴∠E=（180°-∠ADE）=30°，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠C=（180°-∠BAC）=30°，
∴∠C=∠E，
在△ADE与△ADC中，
∵∠DAC=∠DAE，∠C=∠E，AD=AD，
∴△ADE≌△ADC（AAS），
∴AE=AC；
故答案为：AE=AC；
【分析】（1）由角平分线的定义得∠DAC=∠DAE，由旋转可得DA=DE，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可推出∠C=∠E，从而用AAS判断出△ADE≌△ADC，根据全等三角形的对应边相等可得AE=AC；
（2）①，理由如下：过点D作DF⊥BC，交AB与F，易得△BDF是等腰直角三角形，故BF=BD，BD=FD，由同角的余角相等得∠BDE=∠FDA，由旋转性质得DE=DA，从而由SAS判断出△BDE≌△FDA，得BF=AF，进而根据线段和差及等量代换可得结论；
②当D与B重合时，此时AD=AC，由旋转性质可得BE=AD=6，进而根据直角三角形面积计算公式计算即可；当AC=CD时，由等腰直角三角形性质先算出BC的长，然后根据BD=BC-CD求出BD的长，根据①的结论再求出BE的长，由△BDE≌△FDA可得∠DBE=∠DFA=135°，再根据角的和差求出∠ABE=90°，进而根据直角三角形面积计算方法可算出△ABE的面积；当AD=CD时，△ABE不存在，不符合题意，综上即可得出答案.
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