4.5 相似三角形判定定理的证明 同步课件(共27张PPT)九年级数学上册（北师大版）

(共27张PPT)
第四章 图形的相似
4.5 相似三角形判定定理的证明
学习目标
了解相似三角形判定定理的证明过程，发展推理能力.
重点
相似三角形判定定理的证明.
难点
判定定理的证明，如何添加辅助线.
【提问1】平行线分线段成比例定理及推论是什么？
【提问2】相似三角形的判定方法有哪些？
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
三角形相似判定定理1：
两角分别相等的两个三角形相似.
三角形相似判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三角形相似判定定理3：
三边成比例的两个三角形相似.
【证明】 如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？尝试证明？
证明：在△ADE与△ABC中,∠A∠A
∵ DE∥BC ∴
F
过E点做AB边平行线，与BC边交于点F
∵ DE∥BC， EF∥AB ∴ ，
∵ 四边形BDEF是平行四边形∴ DE=BF ∴
∴ = 而
则△ADE∽△ABC
【证明】 如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC延长线于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？尝试证明？
证明：在△ADE与△ABC中,∠DA∠BAC
∵ DE∥BC ∴
过D点做AC边平行线，与BC边延长线交于点F
∵ DE∥BC， AC∥DF ∴ ，
∵ 四边形CEDF是平行四边形∴ DE=CF ∴
∴ = 而
则△ADE∽△ABC
F
几何语言：
∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC.
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
三角形相似判定定理4：
【证明】两角分别相等的两个三角形相似.
如图,在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，∠B=∠B'，求证：△ABC ∽△A'B'C'.
证明：在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A'B',过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B,∠AED=∠C，
过点D作DF∥AC，交BC于点F，则 ∴
∵DE∥BC，DF∥AC ∴四边形DFCE是平行四边形
∴DE=CF ， ，
而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C,∴△ADE∽△ABC
∵∠A=∠A’, ∠ADE=∠B’， AD=A’B’,
∴△ADE≌△A'B’C’ ∴△ABC∽△A'B'C'.
A
B
C
A'
B'
C'
D
E
F
三角形相似判定定理1：
两角分别相等的两个三角形相似.
几何语言：
∵∠A=∠A’,∠B=∠B’
∴△ABC∽△A’B’C’
A
C
B
C'
B'
A'
【证明】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
在△ABC和△A’B’C’中，如果∠A =∠A’， ，求证：△ABC∽△A'B'C.
证明:在线段AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE//BC,交AC于点E,
则∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴△ABC ∽△ADE
∵ ， AD=A'B', AE=
而∠A =∠A’ ∴△ADE≌△A'BC ∴△ABC∽△A'B'C'.
A
B
C
A'
B'
C'
D
E
三角形相似判定定理2：
几何语言：
∵∠A=∠A’,
∴△ABC∽△A’B’C’
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
A
C
B
C'
B'
A'
【证明】三边对应成比例两三角形相似.
在△ABC和△A'B'C'中，如果 ，求证：△ABC∽△A'B'C'.
A
B
C
A'
B'
C'
D
E
证明:在线段AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE//BC,交AC于点E,
则∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴△ABC ∽△ADE =
∵ ， AD=A'B', AE=
同理∴△ADE≌△A'BC ∴△ABC∽△A'B'C'.
三角形相似判定定理3：
几何语言：
∵
∴△ABC∽△A’B’C’
三边成比例的两个三角形相似.
A
C
B
C'
B'
A'
【证明】如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中, ,求证？
=k，则= ’，= ’
∴= =k
∴
直角三角形相似判定定理1：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
几何语言：
在Rt△ABC 和Rt△A’B’C’中，
若∠B=∠B’=90°且，
则Rt△ABC∽Rt△A’B’C’
【证明】直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.
已知：如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高.求证：△ABC∽△CBD∽△ACD
证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∵∠CDA=∠ACB=90°
∵∠A=∠A
∵△ACD∽△ABC
同理△CBD∽△ABC
∴△ACD∽△ABC∽△ACD
在Rt△ABC中，
∵CD⊥AB，
∴△ABC∽△CBD∽△ACD．
直角三角形相似判断：直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.
几何语言：
1. 如图，点是的边上的一点，点为上的一点，若，，求证：．
【详解】证明：，
，

，
，
．
2．如图，在中和中，，，，和相似吗？为什么？
【详解】解：和相似，理由如下：
∵，
∴，
∴
又∵，
∴和相似．
3．图①、图②为4×6的正方形网格，△ABC的顶点都在格点上，在图①、图②中各画一个与△ABC相似的三角形，所画三角形顶点都在格点上，且有一个顶点为点B：所画三角形与△ABC不全等，且彼此之间也不全等．
【详解】解：如图所示
图①中，分别为的中点，则
∴
图②中，，
∴∴
又∵∴
4．如图，在中，E是边上的任意点（不与A重合），连接BE交于点O．
(1)求证：；
(2)若E是的中点，且，求的长度．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，∴
∴
4．如图，在中，E是边上的任意点（不与A重合），连接BE交于点O．
(1)求证：；
(2)若E是的中点，且，求的长度．
（2）解：∵E是的中点，∴，
∵四边形为平行四边形，∴，
∴，即，
∵∴，
∵，∴，解得：．
5．如图，在正三角形中，是边上任意一点，且．
(1)求证：；
(2)若AB=3，，求的长．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
又，
，
，
；
5．如图，在正三角形中，是边上任意一点，且．
(1)求证：；
(2)若AB=3，，求的长．
（2）解：是等边三角形，AB=3，，
，，
由（1）知，，即，
，．
6．在和中，．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由．
(1)，；
【详解】（1）解：在和中，．
∵∴，
∴，
∴和相似，理由是：有两组角对应相等的两个三角形相似；
6．在和中，．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由．
(2)，，，；
（2）解：在和中，．
∵，，则，
∴和相似，理由是：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
6．在和中，．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由．
(3)，BC=4，，；
（3）解：在和中，．
∵，，则，但，
∴和不相似，理由是：有两边对应成比例且夹角不相等的两个三角形不相似；
6．在和中，．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由．
(4)，，，．
（4）解：在和中，．
在中，，，
∴，
∵，，则，
∴和相似，理由是：有斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似；