河南省郑州实验外国语学校2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·郑州开学考）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵b2-4ac=4-4×2×3=-20＜0，
∴原方程没有实数根.
故答案为：C.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程有没有实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；由此可求出b2-4ac的值，可作出判断.
2．（2023九上·郑州开学考）若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-8x+c=0，
x2-8x+16=-c+16即（x-4）2=-c+16=3c，
解之：c=4.
故答案为：C.
【分析】利用配方法将方程转化为（x-4）2=-c+16=3c，可得到关于c的方程，解方程求出c的值.
3．（2021九上·秦都月考）如图，在菱形ABCD中， ，对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，连接OE，则 的度数是（ ）
A．110° B．112° C．115° D．120°
【答案】C
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠CDO= ∠ADC= ∠ABC=25°，
∴∠DOC=90°，
∵点E是CD的中点，
∴OE=DE= CD，
∴∠DOE=∠CDO=25°，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°+25°=115°，
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，∠CDO=25°，然后根据直角三角形斜边中线的性质求出OE=DE，则由等腰三角形的性质求出∠DOE=25°，最后根据角的和差关系求∠AOE的度数即可.
4．（2023九上·郑州开学考）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程的两根分别为，，
∴m+n=4，mn=-1，
∴m+n-mn=4-（-1）=4+1=5.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根与系数可得到m+n，mn的值，然后整体代入求值即可.
5．（2023九上·郑州开学考）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上若线段，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AF于点D，交BG于点E，
∵ 五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴AF∥BG，DE=2CE=2，DC=3，
∴即
解之：AB=5.
故答案为：D.
【分析】过点C作CD⊥AF于点D，交BG于点E，利用已知可证得AF∥BG，DE=2CE=2，DC=3，利用平行线分线段成比例定理可求出AB的长.
6．（2023八下·铁西期末）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：
①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了，这种检测方法用到的数学根据是对角线相等的平行四边形是矩形，
故答案为：B
【分析】根据矩形的判定即可求解。
7．（2023九上·昆明开学考） 在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少年上学期每天书面作业平均时长为，经过年下学期和年上学期两次调整后，年上学期平均每天书面作业时长为设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】
根据题意可得：
即
故答案为：C
【分析】
第一次调整后的时间为，第二次调整后的时间为，根据题意列出方程即可。
8．如图，在菱形 中， ， ， 、 分别是边 、 中点，则 周长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连结AC，因为∠B＝60°，BA＝BC，所以△ABC是等边三角形，
因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以△AEF是等边三角形.
因为AB＝2，所以BE＝1，由勾股定理得AE＝ ，
所以△AEF的周长为 .
故答案为：B.
【分析】连结AC，由菱形的性质和已知条件易证△ABC是等边三角形，再根据E，F分别是边BC，CD的中点易证△AEF是等边三角形，在直角三角形ABE中，用勾股定理可求得AE的长，则等边三角形AEF的周长=3AE。
9．（2019八下·陆川期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．24 B． C． D．5
【答案】C
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴PC的最小值为： =4.8.
∴线段EF长的最小值为4.8.
故答案为：C.
【分析】根据有三个角是直角的四边形可判断四边形ECFP是矩形，由矩形的对角线相等可得EF=PC，当PC最小时，EF也最小，根据点到直线的距离中，垂线段最短可得当CP⊥AB时，PC最小，根据△ABC的面积相等即可求出PC的值，即线段EF的最小值 .
10．（2023九上·郑州开学考）如图，矩形中，是的中点，点为上的动点不与、重合，过作，垂足为，，垂足为，，，，，则与之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接PQ，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD=8，∠D=∠C=90°，AD=BC，
∵点P是DC的中点，
∴DP=PC=4，
∴，
∴S△APB=S矩形ABCD=×8×3=12，
∴，
∴y=4.8-x.
故答案为：A.
【分析】连接PQ，利用矩形的性质可证得AB=CD=8，∠D=∠C=90°，AD=BC，同时求出DP，PC的长，利用勾股定理求出AP，BP的长；再证明S△APB=S矩形ABCD，可求出△APB的面积，再根据S△APB=S△APQ+S△BPQ，利用三角形的面积公式求出y与x的函数解析式.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．（2023九上·郑州开学考）若关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 关于的方程是一元二次方程，
∴|m-1|=2且m-3≠0
解之：m1=3，m2=-1，m≠3，
∴m=-1.
故答案为：-1.
【分析】利用一元二次方程的定义：二次项系数不等于0，含未知数项的最高次数是2次，据此可得到关于m的方程和不等式，然后求出m的值.
12．（2023九上·郑州开学考）如图，矩形中，于，：：，则的度数等于 ．
【答案】18°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：设AC，BD交于点O，
∵矩形ABCD，
∴∠DAE+∠BAE=90°，OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，
∵∠DAE：∠BAE=3：2，
设∠DAE=3x，∠BAE=2x，
∴3x+2x=90°，
解之：x=18°，
∴∠BAE=2×18°=36°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AEO=90°，
∴∠ABO=∠BAO=90°-36°=54°，
∴∠AOE=180°-∠BAO-∠ABO=180°-54°-54°=72°，
∴∠EAC=90°-72°=18°.
故答案为：18°.
【分析】设AC，BD交于点O，利用矩形的性质可证得∠DAE+∠BAE=90°，OA=OB，利用等边对等角及已知条件可证得∠ABO=∠BAO，同时求出∠BAE的度数，垂直的定义可求出∠AEB=∠AEO=90°，利用三角形的内角和定理求出∠ABO，∠AOE的度数，即可求出∠EAC的度数.
13．（2023九上·郑州开学考）三角形两边的长分别是和，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 ．
【答案】10
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：x2-10x+24=0，
∴（x-6）（x-4）=0，
∴x-6=0或x-4=0，
解之：x=6或x=4，
当第三边长为6时，
∵2+4=6，不符合题意；
当第三边长为4时，该三角形的周长为2+4+4=10.
故答案为：10.
【分析】利用因式分解法求出方程的解，再利用三角形的三边关系定理，可求出三角形的周长.
14．（2019八下·洛阳期末）已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 .
【答案】5
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，
在△ABE和△DAF中，∵AB=AD，∠BAE=∠D，AE=DF，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA=90°，
∴∠DAF+∠BEA=90°，
∴∠AGE=∠BGF=90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH= BF，
∵BC=8，CF=CD-DF=8-2=6，
∴BF= =10，
∴GH= BF=5.
故答案为：5.
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°；然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知GH= BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案.
15．（2023九上·郑州开学考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴的负半轴、轴的正半轴上，点在边上，将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的处，且为等腰直角三角形，若，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵ 将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的处，
∴AE=AB，∠B=∠AED=90°，AO=BC=4，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∴∠AEO=180°-90°-45°=45°，
∴△AEO是等腰直角三角形，
∴AO=EO=4，
∴，
∴，
∴点D.
故答案为：.
【分析】利用折叠的性质和矩形的性质可证得AE=AB，∠B=∠AED=90°，AO=BC=4，利用等腰直角三角形的性质和判定可推出△AEO是等腰直角三角形，可求出OE的长；再利用勾股定理求出AE的长，可得到CO的长，同时可得到DC的长，即可得到点D的坐标.
三、解答题（本大题共5小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（2023九上·郑州开学考）解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：，
则，
，
，；
（2）解：，
则，
，
，
，
，；
（3）解：，
，
，
，，，
则，
，
，；
（4）解：，
则，
，
或，
，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程特点：可转化为x2=a（a≥0），由此利用直接开平方法解方程即可.
（2）观察方程特点：二次项系数为1，一次项系数为偶数，因此利用配方法解方程.
（3）将方程转化为一般形式，利用公式法求解即可.
（4）观察方程特点：方程两边含有公因式（x-2），因此利用因式分解法求出方程的解.
17．（2023八下·凤阳期末）关于的一元二次方程有两个不等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取最小整数时，求的值．
【答案】（1）解：由题意得：，
解得：且；
（2）解：由（1）知，最小整数为，
此时方程为：，
解得：，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不等的实数根，可得出根的判别式大于0，且要满足二次项系数不等于0，列出关于m的不等式，即可求得m的取值范围；
（2）根据（1）的解集，取它的最小整数解，代入原方程，再解方程求出未知数x的值即可。
18．（2023八下·夏津期末）2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
（2）若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？
【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，
，
解得：，（舍）
答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为
（2）解：设售价增加了x元．由题意可得：
，
，
，
解得：（舍），
∴售价（元/个）
答：该品牌头盔的售价应定为48元/个．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，根据4月份的销售量×（1+增长率）2=5月份的销售量，列出方程并解之即可；
（2）设售价增加了x元，根据总利润=单个的利润×销售量，列出方程并解之即可.
19．（2023九上·郑州开学考）如图，在中，，垂足是，是的外角的平分线，，垂足是，连接交于．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）求证：，；
（3）当满足 时，四边形为正方形．
【答案】（1）证明：，垂足是，
平分，，
，
是的外角平分线，
，
，
，
即，
又，
，
又，
，
四边形是矩形．
（2）证明：四边形是矩形，
，
，平分，
，
是的中位线，
即，．
（3）是等腰直角三角形
【知识点】矩形的性质；正方形的判定；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（3）∵四边形ADCE是正方形，
∴∠2=∠5=45°，
∴∠1=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
故答案为：等腰直角三角形.
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质可证得AD平分∠BAC，可推出∠1=∠2，∠3=∠4，可推出∠DAE=90°，利用垂直的定义可知∠ADC=∠AEC=90°，利用有三个角是直角的四边形是矩形，可证得结论.
（2）利用矩形的性质和等腰三角形的性质可证得点F和点D分别是AC和BC的中点，可推出DF是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得结论.
（3）利用正方形的性质可知∠2=∠5=45°，由∠1=∠2可证得∠BAC=90°，由此可知△ABC是等腰直角三角形.
20．（2023九上·郑州开学考）如图，在中，、为边上的两个动点，．
（1）若，，则与相似吗？为什么？
（2）若即、重合，则 时，∽；
（3）当和满足怎样的数量关系时，∽？请说明理由．
【答案】（1）解：结论：∽．
理由：，
，
，
，，
，
∽；
（2）90
（3）解：结论：．
理由：，
，
，
当时，则有∽，
，
，
，
在中，，
，
即．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（2）∵PC⊥AB，
∴∠PDA=∠PDB=90°，
∴∠A+∠APD=90°，
若△APC∽△PBD，
∴∠A=∠BPD，
∴∠BPD+∠APD=90°即∠APB=90°，
∴当∠APB=90°时△APC∽△PBD.
故答案为：90.
【分析】（1）利用已知可得到PC=PD=CD，利用等边对等角可证得∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，由此可推出∠ACP=∠BDP=120°，再证明∠A=∠BPD，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用垂直的定义可知∠PDA=∠PDB=90°，可证得∠A+∠APD=90°，要使△APC∽△PBD，若∠A=∠BPD，代入可证得∠APB=90°.
（3）利用等边对等角可证得∠PCD=∠PDC，利用邻补角的定义可证得∠PCA=∠PDB，当时，则有∽，利用相似三角形的对应角相等可知∠A=∠DPB，由此可推出∠PCD=∠APB-∠CPD，利用三角形的内角和定理可证得∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，由此可证得∠CPD与∠APB之间的数量关系.
1 / 1河南省郑州实验外国语学校2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·郑州开学考）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2．（2023九上·郑州开学考）若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·秦都月考）如图，在菱形ABCD中， ，对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，连接OE，则 的度数是（ ）
A．110° B．112° C．115° D．120°
4．（2023九上·郑州开学考）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·郑州开学考）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上若线段，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·铁西期末）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：
①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．（2023九上·昆明开学考） 在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少年上学期每天书面作业平均时长为，经过年下学期和年上学期两次调整后，年上学期平均每天书面作业时长为设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在菱形 中， ， ， 、 分别是边 、 中点，则 周长等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2019八下·陆川期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．24 B． C． D．5
10．（2023九上·郑州开学考）如图，矩形中，是的中点，点为上的动点不与、重合，过作，垂足为，，垂足为，，，，，则与之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．（2023九上·郑州开学考）若关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
12．（2023九上·郑州开学考）如图，矩形中，于，：：，则的度数等于 ．
13．（2023九上·郑州开学考）三角形两边的长分别是和，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 ．
14．（2019八下·洛阳期末）已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 .
15．（2023九上·郑州开学考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴的负半轴、轴的正半轴上，点在边上，将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的处，且为等腰直角三角形，若，则点的坐标是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（2023九上·郑州开学考）解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
17．（2023八下·凤阳期末）关于的一元二次方程有两个不等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取最小整数时，求的值．
18．（2023八下·夏津期末）2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
（2）若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？
19．（2023九上·郑州开学考）如图，在中，，垂足是，是的外角的平分线，，垂足是，连接交于．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）求证：，；
（3）当满足 时，四边形为正方形．
20．（2023九上·郑州开学考）如图，在中，、为边上的两个动点，．
（1）若，，则与相似吗？为什么？
（2）若即、重合，则 时，∽；
（3）当和满足怎样的数量关系时，∽？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵b2-4ac=4-4×2×3=-20＜0，
∴原方程没有实数根.
故答案为：C.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程有没有实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；由此可求出b2-4ac的值，可作出判断.
2．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-8x+c=0，
x2-8x+16=-c+16即（x-4）2=-c+16=3c，
解之：c=4.
故答案为：C.
【分析】利用配方法将方程转化为（x-4）2=-c+16=3c，可得到关于c的方程，解方程求出c的值.
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠CDO= ∠ADC= ∠ABC=25°，
∴∠DOC=90°，
∵点E是CD的中点，
∴OE=DE= CD，
∴∠DOE=∠CDO=25°，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°+25°=115°，
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，∠CDO=25°，然后根据直角三角形斜边中线的性质求出OE=DE，则由等腰三角形的性质求出∠DOE=25°，最后根据角的和差关系求∠AOE的度数即可.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程的两根分别为，，
∴m+n=4，mn=-1，
∴m+n-mn=4-（-1）=4+1=5.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根与系数可得到m+n，mn的值，然后整体代入求值即可.
5．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AF于点D，交BG于点E，
∵ 五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴AF∥BG，DE=2CE=2，DC=3，
∴即
解之：AB=5.
故答案为：D.
【分析】过点C作CD⊥AF于点D，交BG于点E，利用已知可证得AF∥BG，DE=2CE=2，DC=3，利用平行线分线段成比例定理可求出AB的长.
6．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了，这种检测方法用到的数学根据是对角线相等的平行四边形是矩形，
故答案为：B
【分析】根据矩形的判定即可求解。
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】
根据题意可得：
即
故答案为：C
【分析】
第一次调整后的时间为，第二次调整后的时间为，根据题意列出方程即可。
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连结AC，因为∠B＝60°，BA＝BC，所以△ABC是等边三角形，
因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以△AEF是等边三角形.
因为AB＝2，所以BE＝1，由勾股定理得AE＝ ，
所以△AEF的周长为 .
故答案为：B.
【分析】连结AC，由菱形的性质和已知条件易证△ABC是等边三角形，再根据E，F分别是边BC，CD的中点易证△AEF是等边三角形，在直角三角形ABE中，用勾股定理可求得AE的长，则等边三角形AEF的周长=3AE。
9．【答案】C
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴PC的最小值为： =4.8.
∴线段EF长的最小值为4.8.
故答案为：C.
【分析】根据有三个角是直角的四边形可判断四边形ECFP是矩形，由矩形的对角线相等可得EF=PC，当PC最小时，EF也最小，根据点到直线的距离中，垂线段最短可得当CP⊥AB时，PC最小，根据△ABC的面积相等即可求出PC的值，即线段EF的最小值 .
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接PQ，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD=8，∠D=∠C=90°，AD=BC，
∵点P是DC的中点，
∴DP=PC=4，
∴，
∴S△APB=S矩形ABCD=×8×3=12，
∴，
∴y=4.8-x.
故答案为：A.
【分析】连接PQ，利用矩形的性质可证得AB=CD=8，∠D=∠C=90°，AD=BC，同时求出DP，PC的长，利用勾股定理求出AP，BP的长；再证明S△APB=S矩形ABCD，可求出△APB的面积，再根据S△APB=S△APQ+S△BPQ，利用三角形的面积公式求出y与x的函数解析式.
11．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 关于的方程是一元二次方程，
∴|m-1|=2且m-3≠0
解之：m1=3，m2=-1，m≠3，
∴m=-1.
故答案为：-1.
【分析】利用一元二次方程的定义：二次项系数不等于0，含未知数项的最高次数是2次，据此可得到关于m的方程和不等式，然后求出m的值.
12．【答案】18°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：设AC，BD交于点O，
∵矩形ABCD，
∴∠DAE+∠BAE=90°，OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，
∵∠DAE：∠BAE=3：2，
设∠DAE=3x，∠BAE=2x，
∴3x+2x=90°，
解之：x=18°，
∴∠BAE=2×18°=36°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AEO=90°，
∴∠ABO=∠BAO=90°-36°=54°，
∴∠AOE=180°-∠BAO-∠ABO=180°-54°-54°=72°，
∴∠EAC=90°-72°=18°.
故答案为：18°.
【分析】设AC，BD交于点O，利用矩形的性质可证得∠DAE+∠BAE=90°，OA=OB，利用等边对等角及已知条件可证得∠ABO=∠BAO，同时求出∠BAE的度数，垂直的定义可求出∠AEB=∠AEO=90°，利用三角形的内角和定理求出∠ABO，∠AOE的度数，即可求出∠EAC的度数.
13．【答案】10
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：x2-10x+24=0，
∴（x-6）（x-4）=0，
∴x-6=0或x-4=0，
解之：x=6或x=4，
当第三边长为6时，
∵2+4=6，不符合题意；
当第三边长为4时，该三角形的周长为2+4+4=10.
故答案为：10.
【分析】利用因式分解法求出方程的解，再利用三角形的三边关系定理，可求出三角形的周长.
14．【答案】5
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，
在△ABE和△DAF中，∵AB=AD，∠BAE=∠D，AE=DF，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA=90°，
∴∠DAF+∠BEA=90°，
∴∠AGE=∠BGF=90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH= BF，
∵BC=8，CF=CD-DF=8-2=6，
∴BF= =10，
∴GH= BF=5.
故答案为：5.
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°；然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知GH= BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵ 将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的处，
∴AE=AB，∠B=∠AED=90°，AO=BC=4，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∴∠AEO=180°-90°-45°=45°，
∴△AEO是等腰直角三角形，
∴AO=EO=4，
∴，
∴，
∴点D.
故答案为：.
【分析】利用折叠的性质和矩形的性质可证得AE=AB，∠B=∠AED=90°，AO=BC=4，利用等腰直角三角形的性质和判定可推出△AEO是等腰直角三角形，可求出OE的长；再利用勾股定理求出AE的长，可得到CO的长，同时可得到DC的长，即可得到点D的坐标.
16．【答案】（1）解：，
则，
，
，；
（2）解：，
则，
，
，
，
，；
（3）解：，
，
，
，，，
则，
，
，；
（4）解：，
则，
，
或，
，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程特点：可转化为x2=a（a≥0），由此利用直接开平方法解方程即可.
（2）观察方程特点：二次项系数为1，一次项系数为偶数，因此利用配方法解方程.
（3）将方程转化为一般形式，利用公式法求解即可.
（4）观察方程特点：方程两边含有公因式（x-2），因此利用因式分解法求出方程的解.
17．【答案】（1）解：由题意得：，
解得：且；
（2）解：由（1）知，最小整数为，
此时方程为：，
解得：，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不等的实数根，可得出根的判别式大于0，且要满足二次项系数不等于0，列出关于m的不等式，即可求得m的取值范围；
（2）根据（1）的解集，取它的最小整数解，代入原方程，再解方程求出未知数x的值即可。
18．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，
，
解得：，（舍）
答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为
（2）解：设售价增加了x元．由题意可得：
，
，
，
解得：（舍），
∴售价（元/个）
答：该品牌头盔的售价应定为48元/个．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，根据4月份的销售量×（1+增长率）2=5月份的销售量，列出方程并解之即可；
（2）设售价增加了x元，根据总利润=单个的利润×销售量，列出方程并解之即可.
19．【答案】（1）证明：，垂足是，
平分，，
，
是的外角平分线，
，
，
，
即，
又，
，
又，
，
四边形是矩形．
（2）证明：四边形是矩形，
，
，平分，
，
是的中位线，
即，．
（3）是等腰直角三角形
【知识点】矩形的性质；正方形的判定；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（3）∵四边形ADCE是正方形，
∴∠2=∠5=45°，
∴∠1=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
故答案为：等腰直角三角形.
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质可证得AD平分∠BAC，可推出∠1=∠2，∠3=∠4，可推出∠DAE=90°，利用垂直的定义可知∠ADC=∠AEC=90°，利用有三个角是直角的四边形是矩形，可证得结论.
（2）利用矩形的性质和等腰三角形的性质可证得点F和点D分别是AC和BC的中点，可推出DF是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得结论.
（3）利用正方形的性质可知∠2=∠5=45°，由∠1=∠2可证得∠BAC=90°，由此可知△ABC是等腰直角三角形.
20．【答案】（1）解：结论：∽．
理由：，
，
，
，，
，
∽；
（2）90
（3）解：结论：．
理由：，
，
，
当时，则有∽，
，
，
，
在中，，
，
即．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（2）∵PC⊥AB，
∴∠PDA=∠PDB=90°，
∴∠A+∠APD=90°，
若△APC∽△PBD，
∴∠A=∠BPD，
∴∠BPD+∠APD=90°即∠APB=90°，
∴当∠APB=90°时△APC∽△PBD.
故答案为：90.
【分析】（1）利用已知可得到PC=PD=CD，利用等边对等角可证得∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，由此可推出∠ACP=∠BDP=120°，再证明∠A=∠BPD，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用垂直的定义可知∠PDA=∠PDB=90°，可证得∠A+∠APD=90°，要使△APC∽△PBD，若∠A=∠BPD，代入可证得∠APB=90°.
（3）利用等边对等角可证得∠PCD=∠PDC，利用邻补角的定义可证得∠PCA=∠PDB，当时，则有∽，利用相似三角形的对应角相等可知∠A=∠DPB，由此可推出∠PCD=∠APB-∠CPD，利用三角形的内角和定理可证得∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，由此可证得∠CPD与∠APB之间的数量关系.
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