广东省广州市黄埔军校纪念中学2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023八下·天河期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·大冶期末）代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·天河期末）一组数据2，4，5，3，2的中位数是（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．5
4．（2023八下·荔湾期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·礼泉期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AC=14，则OB的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．2
6．（2023八下·天河期末）如图，点在正方形的内部，连接，，若，，，则正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·咸阳模拟）正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八下·荔湾期末）在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位后恰好经过原点，则的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
9．（2023九上·黄埔开学考）当时，一次函数的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共1小题，共3.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10．（2023九上·黄埔开学考）如图，正方形的顶点，别在轴、轴上，，，若的中点恰好落在轴上，此时恰好也垂直于轴，交轴于点，连接判断：；是等边三角形；；其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（2022·广州）在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同， 方差分别为，，则考核成绩更为稳定的运动员是 （填“甲”、“乙”中的一个）
12．（2022八下·涿州期末）△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠C=68°，则∠AED= ．
13．（2019九上·高州期末）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为 ．
14．（2023九上·黄埔开学考）如图，在 中，的平分线交于，，则的度数为 ．
15．（2023八下·荔湾期末）在平面直角坐标系中，已知，，作的垂直平分线交轴于点，则点坐标为 ．
16．（2023九上·黄埔开学考）如图，正方形的边长为，为对角线上动点，过作于，于；连接，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023九上·黄埔开学考）
（1）计算：；
（2）解方程：．
18．（2023九上·黄埔开学考）已知，，求代数式的值．
19．（2023九上·黄埔开学考）如图，在平行四边形中，，分别是，上一点，，交于点求证：．
20．（2021·广州）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3；5；3；6；3；4；4；5；2；4；5；6；1；3；5；5；4；4；2；4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数 1 2 3 4 5 6
人数 1 2 a 6 b 2
（1）表格中的 ， ；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 ，中位数为 ；
（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．
21．（2023八下·荔湾期末）在平面直角坐标系中，过点的直线交轴正半轴于点，已知．
（1）求点的坐标；
（2）点是轴上一点，且的面积为4，求直线的解析式．
22．（2021八下·荔湾期末）“地摊经济”已成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如下信息：
甲商品 乙商品
进价（元/件） 65 5
售价（元/件） 90 10
小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）小明用不超过3500元资金一次性购进甲、乙两种商品，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若要求甲、乙商品全部销售完后获得的利润不少于1250元，请说明当x为何值时利润最大，最大利润是多少？
23．（2021·广州）如图，在四边形ABCD中， ，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作 的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若 ，且 ，证明： 为等边三角形．
24．（2023九上·黄埔开学考）如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且、相交于点．
（1）当点运动到中点时，证明：四边形是平行四边形；
（2）当时，求的长．
25．（2023九上·黄埔开学考）如图，已知平面直角坐标系中，、，现将线段绕点顺时针旋转得到点，连接
（1）求出直线的解析式；
（2）若动点从点出发，沿线段以每分钟个单位的速度运动，过作交轴于，连接设运动时间为分钟，当四边形为平行四边形时，求的值．
（3）为直线上一点，在坐标平面内是否存在一点使得以、 、、为顶点的四边形为菱形？若存在，求出此时的坐标；若不存在请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、是最简二次根式，C符合题意；
D、，D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式.
2．【答案】B
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知x+1＞0，
解之：x≥-1.
故答案为：B
【分析】利用分式有意义的条件：分母不等于0，二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
3．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：根据中位数的定义可得，中位数为3，
故答案为：B.
【分析】将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间的两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)叫做这组数据的中位数.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 不能合并，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C符合题意；
D、 ，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A、D作出判断；利用二次根式的乘法法则进行计算，可对B作出判断；利用二次根式的除法法则，可对C作出判断.
5．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AC=BD=14，
∴OB=BD=7.
故答案为：A
【分析】利用矩形的对角线互相平分且相等，可求出BD的长，即可得到OB的长.
6．【答案】C
【知识点】正方形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：，，，
，
四边形是正方形，
，
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求得AC的长，再计算正方形的面积.
7．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，且经过第一、三象限.
观察选项，只有A选项正确.
故答案为：A.
【分析】y=kx（k≠0），当k>0时，图象过一、三象限；当k<0时，图象过二、四象限；
y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限.
8．【答案】B
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：设平移后的函数解析式为y=2x+b-2，
∵直线y=2x+b-2经过原点，
∴b-2=0
解之：b=2.
故答案为：B.
【分析】利用一次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式，再将点（0，0）代入平移后的函数解析式可求出b的值.
9．【答案】C
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解： ， ，
∵-3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=1，y最大值=-3×1+b=18，
解得：b=21
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的性质求解即可.
10．【答案】A,C
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠CBF+∠ABO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBF，
∴△ABO≌△BCF（ASA），
∴AE=BF，∠AEB=∠CFB，故①正确；
∵∠CFB=∠GFD，∠GFD+∠GDF=90°，
∴∠AEB+∠GDC=90°，故③正确；
∵E是BC的中点，
∴设BE=CE=x，则AB=BC=2x，AE=x，
△ABE的面积=·x·OB=·2x·x，
∴OB=x，
在Rt△AOB中，AO=4，
∴42+（x）2=（2x）2，
解得：x=，
∴AB=2，故④错误，
∵AB=AD=2≠AO=4，
∴△ADO不是等边三角形，故②错误；
∴正确的结论有①③；
故答案为：A、C.
【分析】证明△ABO≌△BCF（ASA），可得AE=BF，∠AEB=∠CFB，故①正确；由∠CFB=∠GFD，∠GFD+∠GDF=90°，可得∠AEB+∠GDC=90°，故③正确；设BE=CE=x，则AB=BC=2x，AE=x，利用△ABE的面积不变，可求出OB=x，在Rt△AOB中，利用勾股定理建立关于x方程并解之得x=，即得AB=2，故④错误，由AB=AD=2≠AO=4，即可判断②.
11．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，，且平均成绩相同
∴射击成绩较稳定的运动员是乙，
故答案为：乙．
【分析】先求出，再根据平均成绩相同作答即可。
12．【答案】68°或68度
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，
∵∠C＝68°，
∴∠AED＝∠C＝68°．
故答案是：68°．
【分析】根据三角形中位线定理可得DE∥BC，利用平行线的性质可得∠AED＝∠C=68°.
13．【答案】3
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，且∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=3，
∵四边形ACEF是正方形，
∴AC=EF=3
故答案为：3
【分析】由菱形的性质可得AB=BC，且∠B=60°，可得AC=AB=3，由正方形的性质可得AC=EF=3．
14．【答案】120°
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴∠AEB=180°-∠BED=30°，
在 中 ，AD∥BC，
∴∠EBC=∠AEB=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC=60°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠ABC=120°，
故答案为：120°.
【分析】由邻补角的定义可得∠AEB=180°-∠BED=30°，由平行四边形的性质可得AD∥BC，利用平行线的性质可得∠EBC=∠AEB=30°，根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠EBC=60°，再根据平行线的性质即可求解.
15．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵点A（8，0），点B（0，4），
∴OA=8，OB=4，
∵DC垂直平分AB，
∴BC=AC，
设OC=x，则AC=BC=8-x，
∵OB2+OC2=BC2即42+x2=（8-x）2
解之：x=3，
∴点C（3，0）
故答案为：（3，0）.
【分析】连接BC，利用点A、B的坐标可求出OA、OB的长，利用线段垂直平分线的性质可证得BC=AC，设OC=x，可表示出BC的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点C的坐标.
16．【答案】2
【知识点】垂线段最短；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，PC，在正方形中，∠C=90°，AC⊥BD，
∵，，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
欲求EF的最小值，即求PC的最小值，当CP⊥BD时，CP值最小，
正方形的边长为，
∴AC=×=4，
∴CP值最小值为AC=2，
∴EF的最小值为2，
故答案为：2.
【分析】连接AC，PC，易证四边形PECF是矩形，可得PC=EF，欲求EF的最小值，即求PC的最小值，当CP⊥BD时，CP值最小，求出此时CPDE长即可.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：，
，
或，
，．
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根二次根式的性质先化简，再计算加减即可；
（2）利用因式分解法解方程即可.
18．【答案】解：，
当，时，
．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】将原式化为，再代入计算即可.
19．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
在与中，
，
≌，
．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，可得，根据AAS证明△AOE≌△COF，利用全等三角形的对应边相等即得结论.
20．【答案】（1）4；5
（2）4次；4次
（3）解：20人中，参加4次志愿活动的有6人，所占百分比为 ，
所以，
∴该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为： （人）
答：该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为90人．
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）根据所给数据可知，参加3次志愿活动的有4人，参加5次志愿活动的有5人，
所以，a=4，b=5
故答案为：4，5；
（2）完成表格如下
次数 1 2 3 4 5 6
人数 1 2 4 6 5 2
由表格知，参加4次志愿活动的的人数最多，为6人，
∴众数是4次
20个数据中，最中间的数据是第10，11个，即4，4，
∴中位数为 （次）
故答案为：4次；4次；
【分析】（1）求出参加3次志愿活动的有4人，参加5次志愿活动的有5人，即可作答；
（2）根据众数和中位数的定义，结合表格中的数据计算求解即可；
（3）求出 该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为 90人，作答即可。
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点B在y轴的正半轴上，
∴
（2）解：∵点是轴上一点，且的面积为4，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴或．
当直线过点时，
设直线的解析式为，
把代入，得
∴．
∴．
当直线过点时，
设直线的解析式为，
把代入，得
∴．
∴．
综上可知，直线的解析式为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用点A的坐标，可求出OA的长，再利用勾股定理求出OB的长，由点B在y轴的正半轴，可得到点B的坐标.
（2）利用点C在y轴上（正半轴或负半轴），根据△ABC的面积为4，可得到关于BC的方程，解方程求出BC的长，可得到点C的坐标；设直线AC的函数解析式为y=k1x+7，分别将点C的两个坐标代入，可求出对应的k1的值，即可得到直线AC的函数解析式.
22．【答案】（1）解：由题意可得：小明购进甲商品x件，则乙商品 件，
则 ，
即y与x之间的函数关系式：
（2）解：由题意可得： ，
∴解之得： ，
又∵ ，
∴ ；
（3）解：由题意可得： ，
∴解得： ，
∴ ，
∵由（1）可知利润为： ，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，有最大利润．
∴利润最大值为 元．
【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据求解即可；
（2）先求出 ， 再求解即可；
（3）先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
23．【答案】（1）解：如图，AF平分 ，
（2）解：∵ ，且 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵AF平分 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
又∵
∴ 为等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）先求出∠BEC=30°，再求出∠BEF=60°，最后证明求解即可。
24．【答案】（1）证明：连接，，如图所示：
，
为中点，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：作，设，如图所示，
，
四边形是菱形，
，
∽，
，
，
在中，，，
，，
，，
在中，，，，
，
即，
整理得：，
解得：，舍去，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，，由E为中点，可得，由菱形的性质可得EF∥CD，根据平行四边形的判定即证结论；
（2）作，设，证明∽，利用相似三角形的对应边成比例可得FG=2m，在中，，，可得，，在中，，，，利用勾股定理建立关于m方程并解之即可.
25．【答案】（1）解：如图中，作轴于．
、，
，，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
设直线的解析式为，则有，
解得，
．
（2）解：如图中，
四边形是平行四边形，
，
直线的解析式为：，
，
，
，，
，
，
，
时，四边形是平行四边形．
（3）解：如图中，
如图中，当为菱形的边时，可得菱形，菱形菱形，
连接交于，
，
直线的解析式为，
由，解得，
，
，
，
，
直线的解析式为，
，设，
，
，
可得，，
当为菱形的对角线时，可得菱形，点在线段的垂直平分线上，
易知线段的垂直平分线的解析式为，
由，解得，
综上所述，满足条件的点坐标为或或或
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）作轴于．由A、B的坐标可得OA=1，OC=2，证明≌，可得，，即得B（3，1），利用待定系数法求出直线BC解析式即可；
（2）先求出CM的长，利用时间=路程÷速度即可求解；
（3）分两种情况：当为菱形的边时，可得菱形，菱形菱形当和为菱形的对角线时，可得菱形，点在线段的垂直平分线上，据此分别画出图形，再求解即可.
1 / 1广东省广州市黄埔军校纪念中学2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023八下·天河期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、是最简二次根式，C符合题意；
D、，D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式.
2．（2023八下·大冶期末）代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知x+1＞0，
解之：x≥-1.
故答案为：B
【分析】利用分式有意义的条件：分母不等于0，二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
3．（2023八下·天河期末）一组数据2，4，5，3，2的中位数是（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．5
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：根据中位数的定义可得，中位数为3，
故答案为：B.
【分析】将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间的两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)叫做这组数据的中位数.
4．（2023八下·荔湾期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 不能合并，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C符合题意；
D、 ，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A、D作出判断；利用二次根式的乘法法则进行计算，可对B作出判断；利用二次根式的除法法则，可对C作出判断.
5．（2023九上·礼泉期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AC=14，则OB的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．2
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AC=BD=14，
∴OB=BD=7.
故答案为：A
【分析】利用矩形的对角线互相平分且相等，可求出BD的长，即可得到OB的长.
6．（2023八下·天河期末）如图，点在正方形的内部，连接，，若，，，则正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：，，，
，
四边形是正方形，
，
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求得AC的长，再计算正方形的面积.
7．（2023·咸阳模拟）正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，且经过第一、三象限.
观察选项，只有A选项正确.
故答案为：A.
【分析】y=kx（k≠0），当k>0时，图象过一、三象限；当k<0时，图象过二、四象限；
y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限.
8．（2023八下·荔湾期末）在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位后恰好经过原点，则的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：设平移后的函数解析式为y=2x+b-2，
∵直线y=2x+b-2经过原点，
∴b-2=0
解之：b=2.
故答案为：B.
【分析】利用一次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式，再将点（0，0）代入平移后的函数解析式可求出b的值.
9．（2023九上·黄埔开学考）当时，一次函数的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解： ， ，
∵-3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=1，y最大值=-3×1+b=18，
解得：b=21
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的性质求解即可.
二、多选题（本大题共1小题，共3.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10．（2023九上·黄埔开学考）如图，正方形的顶点，别在轴、轴上，，，若的中点恰好落在轴上，此时恰好也垂直于轴，交轴于点，连接判断：；是等边三角形；；其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠CBF+∠ABO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBF，
∴△ABO≌△BCF（ASA），
∴AE=BF，∠AEB=∠CFB，故①正确；
∵∠CFB=∠GFD，∠GFD+∠GDF=90°，
∴∠AEB+∠GDC=90°，故③正确；
∵E是BC的中点，
∴设BE=CE=x，则AB=BC=2x，AE=x，
△ABE的面积=·x·OB=·2x·x，
∴OB=x，
在Rt△AOB中，AO=4，
∴42+（x）2=（2x）2，
解得：x=，
∴AB=2，故④错误，
∵AB=AD=2≠AO=4，
∴△ADO不是等边三角形，故②错误；
∴正确的结论有①③；
故答案为：A、C.
【分析】证明△ABO≌△BCF（ASA），可得AE=BF，∠AEB=∠CFB，故①正确；由∠CFB=∠GFD，∠GFD+∠GDF=90°，可得∠AEB+∠GDC=90°，故③正确；设BE=CE=x，则AB=BC=2x，AE=x，利用△ABE的面积不变，可求出OB=x，在Rt△AOB中，利用勾股定理建立关于x方程并解之得x=，即得AB=2，故④错误，由AB=AD=2≠AO=4，即可判断②.
三、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（2022·广州）在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同， 方差分别为，，则考核成绩更为稳定的运动员是 （填“甲”、“乙”中的一个）
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，，且平均成绩相同
∴射击成绩较稳定的运动员是乙，
故答案为：乙．
【分析】先求出，再根据平均成绩相同作答即可。
12．（2022八下·涿州期末）△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠C=68°，则∠AED= ．
【答案】68°或68度
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，
∵∠C＝68°，
∴∠AED＝∠C＝68°．
故答案是：68°．
【分析】根据三角形中位线定理可得DE∥BC，利用平行线的性质可得∠AED＝∠C=68°.
13．（2019九上·高州期末）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为 ．
【答案】3
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，且∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=3，
∵四边形ACEF是正方形，
∴AC=EF=3
故答案为：3
【分析】由菱形的性质可得AB=BC，且∠B=60°，可得AC=AB=3，由正方形的性质可得AC=EF=3．
14．（2023九上·黄埔开学考）如图，在 中，的平分线交于，，则的度数为 ．
【答案】120°
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴∠AEB=180°-∠BED=30°，
在 中 ，AD∥BC，
∴∠EBC=∠AEB=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC=60°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠ABC=120°，
故答案为：120°.
【分析】由邻补角的定义可得∠AEB=180°-∠BED=30°，由平行四边形的性质可得AD∥BC，利用平行线的性质可得∠EBC=∠AEB=30°，根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠EBC=60°，再根据平行线的性质即可求解.
15．（2023八下·荔湾期末）在平面直角坐标系中，已知，，作的垂直平分线交轴于点，则点坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵点A（8，0），点B（0，4），
∴OA=8，OB=4，
∵DC垂直平分AB，
∴BC=AC，
设OC=x，则AC=BC=8-x，
∵OB2+OC2=BC2即42+x2=（8-x）2
解之：x=3，
∴点C（3，0）
故答案为：（3，0）.
【分析】连接BC，利用点A、B的坐标可求出OA、OB的长，利用线段垂直平分线的性质可证得BC=AC，设OC=x，可表示出BC的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点C的坐标.
16．（2023九上·黄埔开学考）如图，正方形的边长为，为对角线上动点，过作于，于；连接，则的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】垂线段最短；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，PC，在正方形中，∠C=90°，AC⊥BD，
∵，，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
欲求EF的最小值，即求PC的最小值，当CP⊥BD时，CP值最小，
正方形的边长为，
∴AC=×=4，
∴CP值最小值为AC=2，
∴EF的最小值为2，
故答案为：2.
【分析】连接AC，PC，易证四边形PECF是矩形，可得PC=EF，欲求EF的最小值，即求PC的最小值，当CP⊥BD时，CP值最小，求出此时CPDE长即可.
四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023九上·黄埔开学考）
（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）解：
；
（2）解：，
，
或，
，．
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根二次根式的性质先化简，再计算加减即可；
（2）利用因式分解法解方程即可.
18．（2023九上·黄埔开学考）已知，，求代数式的值．
【答案】解：，
当，时，
．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】将原式化为，再代入计算即可.
19．（2023九上·黄埔开学考）如图，在平行四边形中，，分别是，上一点，，交于点求证：．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
在与中，
，
≌，
．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，可得，根据AAS证明△AOE≌△COF，利用全等三角形的对应边相等即得结论.
20．（2021·广州）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3；5；3；6；3；4；4；5；2；4；5；6；1；3；5；5；4；4；2；4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数 1 2 3 4 5 6
人数 1 2 a 6 b 2
（1）表格中的 ， ；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 ，中位数为 ；
（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．
【答案】（1）4；5
（2）4次；4次
（3）解：20人中，参加4次志愿活动的有6人，所占百分比为 ，
所以，
∴该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为： （人）
答：该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为90人．
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）根据所给数据可知，参加3次志愿活动的有4人，参加5次志愿活动的有5人，
所以，a=4，b=5
故答案为：4，5；
（2）完成表格如下
次数 1 2 3 4 5 6
人数 1 2 4 6 5 2
由表格知，参加4次志愿活动的的人数最多，为6人，
∴众数是4次
20个数据中，最中间的数据是第10，11个，即4，4，
∴中位数为 （次）
故答案为：4次；4次；
【分析】（1）求出参加3次志愿活动的有4人，参加5次志愿活动的有5人，即可作答；
（2）根据众数和中位数的定义，结合表格中的数据计算求解即可；
（3）求出 该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为 90人，作答即可。
21．（2023八下·荔湾期末）在平面直角坐标系中，过点的直线交轴正半轴于点，已知．
（1）求点的坐标；
（2）点是轴上一点，且的面积为4，求直线的解析式．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点B在y轴的正半轴上，
∴
（2）解：∵点是轴上一点，且的面积为4，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴或．
当直线过点时，
设直线的解析式为，
把代入，得
∴．
∴．
当直线过点时，
设直线的解析式为，
把代入，得
∴．
∴．
综上可知，直线的解析式为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用点A的坐标，可求出OA的长，再利用勾股定理求出OB的长，由点B在y轴的正半轴，可得到点B的坐标.
（2）利用点C在y轴上（正半轴或负半轴），根据△ABC的面积为4，可得到关于BC的方程，解方程求出BC的长，可得到点C的坐标；设直线AC的函数解析式为y=k1x+7，分别将点C的两个坐标代入，可求出对应的k1的值，即可得到直线AC的函数解析式.
22．（2021八下·荔湾期末）“地摊经济”已成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如下信息：
甲商品 乙商品
进价（元/件） 65 5
售价（元/件） 90 10
小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）小明用不超过3500元资金一次性购进甲、乙两种商品，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若要求甲、乙商品全部销售完后获得的利润不少于1250元，请说明当x为何值时利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意可得：小明购进甲商品x件，则乙商品 件，
则 ，
即y与x之间的函数关系式：
（2）解：由题意可得： ，
∴解之得： ，
又∵ ，
∴ ；
（3）解：由题意可得： ，
∴解得： ，
∴ ，
∵由（1）可知利润为： ，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，有最大利润．
∴利润最大值为 元．
【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据求解即可；
（2）先求出 ， 再求解即可；
（3）先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
23．（2021·广州）如图，在四边形ABCD中， ，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作 的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若 ，且 ，证明： 为等边三角形．
【答案】（1）解：如图，AF平分 ，
（2）解：∵ ，且 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵AF平分 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
又∵
∴ 为等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）先求出∠BEC=30°，再求出∠BEF=60°，最后证明求解即可。
24．（2023九上·黄埔开学考）如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且、相交于点．
（1）当点运动到中点时，证明：四边形是平行四边形；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：连接，，如图所示：
，
为中点，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：作，设，如图所示，
，
四边形是菱形，
，
∽，
，
，
在中，，，
，，
，，
在中，，，，
，
即，
整理得：，
解得：，舍去，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，，由E为中点，可得，由菱形的性质可得EF∥CD，根据平行四边形的判定即证结论；
（2）作，设，证明∽，利用相似三角形的对应边成比例可得FG=2m，在中，，，可得，，在中，，，，利用勾股定理建立关于m方程并解之即可.
25．（2023九上·黄埔开学考）如图，已知平面直角坐标系中，、，现将线段绕点顺时针旋转得到点，连接
（1）求出直线的解析式；
（2）若动点从点出发，沿线段以每分钟个单位的速度运动，过作交轴于，连接设运动时间为分钟，当四边形为平行四边形时，求的值．
（3）为直线上一点，在坐标平面内是否存在一点使得以、 、、为顶点的四边形为菱形？若存在，求出此时的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：如图中，作轴于．
、，
，，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
设直线的解析式为，则有，
解得，
．
（2）解：如图中，
四边形是平行四边形，
，
直线的解析式为：，
，
，
，，
，
，
，
时，四边形是平行四边形．
（3）解：如图中，
如图中，当为菱形的边时，可得菱形，菱形菱形，
连接交于，
，
直线的解析式为，
由，解得，
，
，
，
，
直线的解析式为，
，设，
，
，
可得，，
当为菱形的对角线时，可得菱形，点在线段的垂直平分线上，
易知线段的垂直平分线的解析式为，
由，解得，
综上所述，满足条件的点坐标为或或或
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）作轴于．由A、B的坐标可得OA=1，OC=2，证明≌，可得，，即得B（3，1），利用待定系数法求出直线BC解析式即可；
（2）先求出CM的长，利用时间=路程÷速度即可求解；
（3）分两种情况：当为菱形的边时，可得菱形，菱形菱形当和为菱形的对角线时，可得菱形，点在线段的垂直平分线上，据此分别画出图形，再求解即可.
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