2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--第一章　三角函数复习提升(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽略轴线角致错
1.(2022黑龙江齐齐哈尔龙江一中月考)设角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,则“角α的终边在第二或第三象限”是“cos α<0”的(　　)
A.充分不必要条件　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　D.既不充分也不必要条件
易错点2　角度制与弧度制在同一表达式中混用而致错
2.(2022广西龙胜中学期中)下列与角的终边相同的角的集合的表示中正确的是(　　)
A.{α|α=2kπ+45°(k∈Z)}
B.
C.{α|α=k·360°-315°(k∈Z)}
D.
易错点3　应用三角函数的定义时考虑不全面而致错
3.(2021陕西西安第一中学月考)已知角α的终边上一点P(m,
-)(m≠0),且cos α=,则m=　　　　.
4.已知角α的终边过点P(-3m,m)(m≠0),则sin α=　　　　　　　　.
5.已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则sin α+cos α+tan α的值为　　　　　　　　.
易错点4　利用诱导公式时,未对整数k进行分类讨论而致错
6.(2023上海南洋模范中学期中)已知n∈Z,化简:sin=　　　　.
7.化简(n∈Z)的结果为　　　　　　.
易错点5　忽略三角函数的定义域、值域致错
8.(2022北京二中段考)函数y=sin x+sin2x-1的值域为　　　　　　.
9.设sin α+sin β=,则y=sin α+sin2β-1的最大值为　　　　.
易错点6　图象变换中忽视自变量x的系数和平移的方向而致错
10.(2022黑龙江大庆外国语学校开学考试)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,得到的图象对应的解析式为(　　)
A.y=sin 2x　　　B.y=sin
C.y=sin　　　D.y=cos 2x
11.函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,为了得到f(x)的图象,只需将g(x)=cos 2x的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
思想方法练
一、函数与方程思想
1.(2021上海金山中学期末)已知一扇形的周长为20,当这个扇形的面积最大时,半径r的值为　　　　.
2.已知函数g(x)=cos+1,x∈.
(1)求g(x)的值域;
(2)若方程 g2(x)+(2-m)g(x)+3-m=0有解,求实数m的取值范围.
二、数形结合思想
3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=a(0A.[6kπ,6kπ+3],k∈Z
B.[6kπ-3,6kπ],k∈Z
C.[6k,6k+3],k∈Z
D.[6k-3,6k],k∈Z
4.设函数f(x)=sin,若函数y=f(x)+a(a∈R)恰有三个零点x1,x2,x3(x1三、转化与化归思想
5.(2023广东广州大学附属中学期末改编)已知函数f(x)=sin-1,若对任意x∈,不等式[f(x)]2-af(x)+a+1≤0恒成立,求实数a的取值范围.
6.(2021黑龙江双鸭山一中第二次月考)已知函数f(x)=sin(ω>0),且函数f(x)的最小正周期为.
(1)求f的值及函数f(x)图象的对称中心;
(2)若函数g(x)=m+1-f(x)在上恰有两个零点,求实数m的取值范围.
四、分类讨论思想
7.化简:sin(k∈Z).
8.已知函数y=asin+b在x∈上的值域为[-5,1],求a,b的值.
五、数学建模思想
9.(2023吉林松原实验高级中学期末)某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24,单位:时)而出现周期性变化.一天内某时的浪高数据如下表所示:
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0
(1)试在下面所给的坐标系中描出所给点;
(2)从y=at+b,y=Asin(ωt+φ)+b,y=Acos(ωt+φ)中选择一个合适的函数模型来拟合y与t的关系,并求出该拟合函数模型的解析式;
(3)如果确定在一天内的7时至19时之间,当浪高不低于0.8米时才可进行训练,试安排恰当的训练时间.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.A 2.C 10.A 11.B
1.A　若角α的终边在第二或第三象限,则cos α<0,充分性成立;
若cos α<0,则角α的终边在第二或第三象限,或在x轴负半轴上,必要性不成立.
故“角α的终边在第二或第三象限”是“cos α<0”的充分不必要条件.故选A.
易错警示　由角的象限可以确定三角函数值的符号;反过来,由三角函数值的符号确定角的范围时,要注意轴线角这种特殊情况,防止遗漏导致解题错误.
2.C　=405°=720°-315°,故与其终边相同的角的集合为αα=+2kπ,k∈Z或{α|α=-315°+k·360°,k∈Z}.故选C.
易错警示　角的集合的表示中,角度制与弧度制不能混用.
3.答案　±
解析　由题意知x=m,y=-,
∴r=.
∵cos α=,
∴r=,
解得m=±.
4.答案　或-
解析　由题意可得,|OP|=|m|(O为坐标原点).
当m>0时,|OP|=m,则sin α=;
当m<0时,|OP|=-m,则sin α=.
故sin α的值为或-.
5.答案　-或-
解析　由题意,可在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),
则点P到原点的距离r==5|t|,
当t>0时,r=5t,由三角函数的定义知,
sin α=,cos α=,tan α=,
此时sin α+cos α+tan α=-;
当t<0时,r=-5t,由三角函数的定义知,
sin α=,cos α=,tan α=-,
此时sin α+cos α+tan α=.
综上,sin α+cos α+tan α的值为-或-.
易错警示　(1)当角终边上的点的坐标含有参数时,要注意参数的取值范围;(2)若角的终边在一条直线ax+by=0上,要注意角在不同象限内的情况.
6.答案　±
解析　当n=2k,k∈Z时,sin=sin ;当n=2k+1,k∈Z时,sin=sin .
故答案为±.
易错警示　未对整数n进行n为奇数与n为偶数的分类,或者分类后不能正确利用诱导公式易导致错误.
7.答案　(-1)n+1sin α(n∈Z)
解析　①当n=2k(k∈Z)时,
原式==-sin α.
②当n=2k+1(k∈Z)时,
原式=
==sin α.
所以化简所得的结果为(-1)n+1sin α(n∈Z).
8.答案　
解析　y=sin x+sin2x-1=,
∵-1≤sin x≤1,
∴当sin x=-时,ymin=-,当sin x=1时,ymax=1,
∴所求值域为.
9.答案　
解析　由sin α+sin β=,得sin α=-sin β,因为-1≤sin α=-sin β≤1,-1≤sin β≤1,所以-≤sin β≤1,所以y=sin α+sin2β-1=-sin β+sin2β-1=.因为-≤sin β≤1,所以当sin β=-时,y取得最大值,最大值为.
易错警示　解与三角函数有关的最值问题时,要注意正、余弦函数的有界性.
10.A　将函数y=sin个单位长度,得到函数y=sin=sin 2x的图象.
11.B　由题图可知A=1,,
∴T=π,从而ω==2,
∴f(x)=sin(2x+φ).
将代入f(x)=sin(2x+φ),得sin+2kπ(k∈Z),
∴φ=+2kπ(k∈Z).
∵|φ|<,
∴函数f(x)的解析式为f(x)=sin.
又f(x)=sin
=cos,
∴只需将g(x)=cos 2x的图象向右平移个单位长度即可得到f(x)的图象.故选B.
易错警示　三角函数图象平移变换中的注意事项
(1)将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左(右)平移k个单位长度后,得到的图象对应的解析式为y=sin[ω(x±k)+φ],而不是y=sin(ωx±k+φ).
(2)不同名三角函数要先化成同名三角函数,再进行图象的变换.
思想方法练
1.答案　5
解析　设该扇形的弧长为l,则l=20-2r,
所以扇形的面积S=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25.
构造面积S关于半径r的函数,利用二次函数的相关知识解决问题.
由l>0得02. 解析　(1)当x∈时,4x+,则cos,
所以g(x)=cos+1∈,
即 g(x)的值域为.
(2)因为当x∈时,g(x)∈,
所以g(x)+1∈1,,g(x)+1≠0.
因为g2(x)+(2-m)g(x)+3-m=0,
所以m=,
令s=g(x)+1,则g(x)=s-1,则 m=,s∈.
通过分离参数及变量代换,将m表示成关于s的函数,转化为研究函数m=s+的性质,体现了函数与方程思想.
结合对勾函数的性质,知m=s+在[1,)上单调递减,在上单调递增,又当s=1时,m=3,当s=时,m=2,当s=时,m=,
所以m=s+.
思想方法　函数与方程思想,就是根据已知条件建立函数关系或列方程(组),并借助函数知识或方程知识解决问题.在本章中,主要体现在以下方面:(1)构造方程(组)求三角函数值;(2)构造方程(组)确定三角函数解析式中的参数;(3)构造方程(组)解决扇形的弧长、面积问题;(4)利用函数思想求三角函数的最值、求扇形弧长或面积的最值.
3.D　依题意可在同一平面直角坐标系中画出y=f(x)的大致图象与直线y=a,如图所示.
由图象知T=8-2=6,当x=3时, f(x)取得最大值,当x=6时, f(x)取得最小值,因此f(x)的单调递减区间为[6k+3,6k+6],k∈Z,即[6k-3,6k],k∈Z.故选D.
由图象得到函数的周期及取最值时x的值,进而得到函数的单调递减区间.
4.答案　
解析　已知函数f(x)=sin,
令4x++kπ,k∈Z,可得x=,k∈Z,
∵x∈,
∴令k=0,可得f(x)图象的一条对称轴方程为x=,
令k=1,可得f(x)图象的一条对称轴方程为x=.
∵函数y=f(x)+a(a∈R)恰有三个零点x1,x2,x3(x1∴y=f(x)的图象与直线y=-a恰有三个交点,
将函数的零点个数问题转化为函数的图象与直线的交点个数问题,再利用数形结合求解.
在同一平面直角坐标系中画出函数y=f(x)的图象与直线y=-a,如图所示:
由图象及上述分析可知,x1,x2关于直线x=对称,x2,x3关于直线x=对称,即x1+x2=,所以x1+2x2+x3=.
思想方法　解决与三角函数有关的问题时,常利用数形结合思想实现图象与性质的有机结合,如解决函数零点、方程根的问题时,一方面,可利用图象确定函数零点或方程根的范围、个数;另一方面,可利用图象的对称性寻求函数零点之间或方程根之间的数量关系.
5.解析　由x∈,可得2x+,
故sin,故f(x)∈,
设t=f(x),则t∈,原不等式等价于t2-at+a+1≤0.
通过换元,将[f(x)]2-af(x)+a+1≤0恒成立问题转化为t2-at+a+1≤0恒成立问题,即转化为简单熟悉的一元二次不等式恒成立问题.
设h(t)=t2-at+a+1,t∈,
则只要h(t)的最大值小于或等于零即可,
故满足
解得a≤-1,
即实数a的取值范围为(-∞,-1].
6.解析　(1)∵函数f(x)=sin(ω>0),且函数f(x)的最小正周期为,
∴ω=2,∴f(x)=sin,
∴f =sin =0.
令4x-=kπ(k∈Z),得x=(k∈Z),
故函数f(x)图象的对称中心为,k∈Z.
(2)若函数g(x)=m+1-f(x)在上恰有两个零点,
则f(x)=上恰有两个解,
即sin上恰有两个解,
∴函数y=sin的图象和直线y=上恰有两个交点.
将函数的零点个数问题转化为方程解的个数问题,再将方程解的个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题,从而利用图象解决问题.
当x∈时,4x-,
作出y=sin的图象(图略),
由图可知,<1,
解得-1≤m<,
故实数m的取值范围为.
思想方法　转化与化归思想在三角函数中的运用常体现在:将任意角的三角函数化为锐角三角函数进行求值;将y=Asin(ωx+φ)的图象化为y=Asin t的图象,研究其性质;将未知角的三角函数化为已知角的三角函数,进行恒等变形等.
7.解析　原式=sin+coskπ+-α(k∈Z).
分k为奇数和k为偶数两种情况讨论,体现了分类讨论思想.
当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),
则原式=sin+cos(2n+1)π+
=sin
=sin
=sin
=sin=0;
当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),
则原式=sin+cos2nπ+
=-sin
=-sin
=-sin=0.
综上所述,原式=0.
8.解析　因为x∈,
所以2x+,
所以sin.
分a>0和a<0两种情况讨论,体现了分类讨论思想.
当a>0时,
当a<0时,
所以
思想方法　当所研究的问题中包含多种情况,但不能用统一的方法、统一的式子进行解决时,可分类进行解决.与三角函数有关的问题常受到角的范围或参数的影响,往往需要进行分类讨论.
9.解析　(1)描点如下.
(2)结合(1)中的图形,选择合适的函数模型,从而求解相应的函数解析式.
由(1)中所描点可知,应选择y=Asin(ωt+φ)+b.
不妨令A>0,ω>0,|φ|<π.
由已知得,函数的最大值为1.4,最小值为0.6,周期T=12,
则A=,
所以y=+1,将(3,1.4)代入可得,+1=0.4cos φ+1=1.4,
所以cos φ=1,则φ=2kπ,k∈Z.又|φ|<π,所以φ=0.
所以该拟合函数模型的解析式为y=sin t+1(0≤t≤24).
(3)令y=sin t+1≥0.8,
则sin t≥-,
由正弦函数的图象及其性质可得-+2kπ≤t≤+2kπ,k∈Z,
所以-1+12k≤t≤7+12k,k∈Z.
当k=0时,-1≤t≤7,又0≤t≤24,所以0≤t≤7;
当k=1时,11≤t≤19,又0≤t≤24,所以11≤t≤19;
当k=2时,23≤t≤31,又0≤t≤24,所以23≤t≤24.
综上所述,0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24.
由题意可知,应在一天内的11时到19时之间训练.
思想方法　在实际问题中常常涉及与三角函数模型有关的问题,求解时先要根据题中条件合理选择或构建相应的模型,再结合已知条件求解.
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