2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--专题强化练1　函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换及应用(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
专题强化练1　函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换及应用
1.(2022湖南衡阳田家炳实验中学月考)将f(x)=2sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的(0<ω<1)倍,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位长度得到y=g(x)的图象.若y=g(x)的最小正周期为4π,则y=g(x)图象的对称轴方程不可能为(　　)
A.x=-π　　　B.x=π
C.x=-π　　　D.x=π
2.(2023山西太原进山中学校期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)
A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于直线x=-对称
B.f(x)的图象关于点对称
C.将函数y=2sin的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)的图象
D.若方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(-2,-]
3.(2021山西长治二中月考)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过点(0,1),且在上单调,将f(x)的图象向左平移π个单位长度之后与原来的图象重合,当x1,x2∈且x1≠x2时,f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=(　　)
A.-　　　B.-1　　　
C.1　　　D.-2
4.(2023河南漯河高级中学开学考试)已知函数f(x)=,把f(x)的图象向左平移个单位长度,纵坐标不变,可得到函数g(x)的图象,若g(x1)·g(x2)=2(x2>x1>0),则x1+x2的最小值为　　　　.
5. (2021上海浦东二模)将函数f(x)=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象.若函数g(x)在[0,b](b>0)上至少有2 021个零点,则b的最小值为　　　　.
6.(2023湖北武汉部分重点中学期末)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,若关于x的方程g(x)-m=0在区间上有两个不同的实数解,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练1　函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换及应用
1.A 2.D 3.C
1.A　将f(x)=2sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的(0<ω<1)倍,纵坐标不变,得到y=2sin 2ωx的图象,再将所得图象向左平移个单位长度得到y=g(x)=2sin的图象.
因为y=g(x)的最小正周期为4π,所以=4π,解得ω=,所以y=g(x)=2sin.
令+kπ,k∈Z,解得x=π+2kπ,k∈Z.
当k=0时,x=π;当k=-1时,x=-π;当k=1时,x=π.
令π,得k=- Z.故选A.
2.D　由题图可得A=2,,故ω=2,
所以f(x)=2sin(2x+φ),
又f=2,即sin=1,
所以+2kπ(k∈Z),
又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.
当x=-时,f(x)=f=0,
当x=-时,f(x)=f=-2,所以f(x)的图象关于直线x=-对称,关于点对称,故A,B错误;
将函数y=2sin个单位长度,得到函数y=2sin的图象,故C错误;
当x∈时,2x+,结合正弦函数的性质可知,当2x+,即x∈时,f(x)单调递减,
当2x+,即x∈时,f(x)单调递增,
因为f ,f =-2,f(0)=2sin ,
所以方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根时,m的取值范围是(-2,-],故D正确.
故选D.
3.C　由题设知, f(0)=2sin φ=1,即sin φ=,又|φ|<,而T=(n∈N+)且,即T≥(n∈N+),则n≤,故n=1,∴T==π,即ω=2,∴f(x)=2sin,当x∈时,-3π<2x+,则当且仅当2x+,即x=-时, f(x)取得最值,∵当x1,x2∈,且x1≠x2时,f(x1)=f(x2),∴,即x1+x2=-,∴f(x1+x2)=f =-2sin =1.故选C.
4.答案　
解析　由题意得g(x)=f,所以 x∈R,g(x)≤,
由g(x1)·g(x2)=2(x2>x1>0),得g(x1)=g(x2)=,或g(x1)=g(x2)=-,
若g(x1)=g(x2)=,则2x1++2mπ,k,m∈N,且m>k,
因此2x1+=π+2nπ,n∈N+,即x1+x2=+nπ,n∈N+,
故当n=1时,x1+x2取得最小值,且最小值为;
若g(x1)=g(x2)=-,则2x1++2m'π,k',m'∈N,且m'>k',
因此2x1+=3π+2n'π,n'∈N+,即x1+x2=+n'π,n'∈N+,
故当n'=1时,x1+x2取得最小值,且最小值为.
综上所述,x1+x2的最小值为.
5.答案　
解析　由题意得g(x)=f-1.
当x∈[0,b]时,2x+.
令g(x)=0,得sin,
∴方程sin在[0,b](b>0)上至少有2 021个根,
∴2b++2 020π,
解得b≥+1 010π=,
∴b的最小值为.
6.解析　(1)由题图可知 ,即T=π,
又ω>0,∴ω==2,则 f(x)=sin(2x+φ),
又f=1,
则sin=1,则 +2kπ,k∈Z,
∴φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|≤,
故f(x)=.
(2)由题意得g(x)=.
方程g(x)-m=0在区间上有两个不同的实数解,即直线y=m与函数 g(x)=在x∈上的图象有两个交点,
作出函数g(x)在上的图象,如图所示:
由图可知,当1≤m<时,二者有两个交点,
则实数m的取值范围为[1,).
解题模板　解决与三角函数有关的方程根的问题时,要充分运用函数的图象,一方面利用图象确定交点的个数和位置,另一方面利用图象的对称性寻求交点的横(纵)坐标间的数量关系,进而得出相关结论.
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