2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--专题强化练3　平面向量基本定理及坐标表示(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
专题强化练3　平面向量基本定理及坐标表示
1.(2022清华大学附中质检)已知向量a=(1,2),b=(-1,2),那么与2a-b共线的一个向量的坐标是(　　)
A.(6,4)　　　B.(4,6)　　　
C.(0,4)　　　D.(1,6)
2.(2021北京模拟)如图,每个小方格的边长都是1,=λ+μ(λ,μ∈R),则λμ的值为(　　)
A.1　　　B.　　　C.-　　　D.-
3.(多选题)已知向量i=(1,0), j=(0,1),对坐标平面内的任一向量a,下列说法错误的是(　　)
A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)
B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2
C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点O
D.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)
4.已知点O是△ABC内部一点,并且满足2=0,△OAC的面积为S1,△ABC的面积为S2,则=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
5.(2023河南洛阳栾川第一高级中学入学测试)已知AB是☉O的直径,C,D是半圆弧上的两个三等分点,设=b,则=(　　)
A.a+b　　　B.a-b　　　C.a+b　　　D.a-b
6.(2023广东清远期末)在平行四边形ABCD中,E是线段BD的中点,若,则m-n=　　　　.
7.(2022安徽江淮十校联考)已知向量a=(2,-1),b=(5,3),若(a-kb)∥(a+b),则k=　　　　.
8.(2022浙江精诚联盟联考)设=(4,2b),a>0,b>0,若以A,B,C三点为顶点不能构成三角形,则的最小值为　　　　.
9.(2022广东广州五中段考)如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC,M为AB上靠近B的三等分点,OM交AC于点D,P为线段BC上的一个动点.
(1)用和表示;
(2)设=λ+μ,求实数λ,μ的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练3　平面向量基本定理及坐标表示
1.A 2.C 3.BCD 4.A 5.A
1.A　2a-b=(2,4)-(-1,2)=(3,2)=(6,4),故选A.
2.C　建立如图所示的平面直角坐标系:
可得A(0,0),D(1,2),B(2,1),C(4,-1),
所以=(4,-1),
由,得(1,2)=λ(2,1)+μ(4,-1)=(2λ+4μ,λ-μ),则
所以λμ=-.故选C.
3.BCD　由平面向量基本定理,可知A中说法正确;对于B,如a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B中说法错误;因为向量可以平移,所以a的坐标是不是(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C中说法错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D中说法错误.
4.A　∵2=0,
∴2().
设AC的中点为M,BC的中点为N,
则2,∴点O在线段MN上,且,
∴S△OAC=2S△OMC=2×S△CMN=S△ABC,即.故选A.
5.A　连接OC,OD,CD.∵C,D是半圆弧上的两个三等分点,
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°,又OC=OD,∴△COD为等边三角形,∴CD=OB,∠ODC=60°,
∴CD∥AB.
又AB是☉O的直径,∴AB=2OB,
∴CD=a,∴=b+a.故选A.
6.答案　-3
解析　∵四边形ABCD为平行四边形,E为BD的中点,∴E为AC的中点,
∴,∴m=-1,n=2,
∴m-n=-1-2=-3.
7.答案　-1
解析　由题意得a-kb=(2-5k,-1-3k),a+b=(7,2),∵(a-kb)∥(a+b),
∴2(2-5k)+7(1+3k)=0,解得k=-1.
8.答案　2+2
解析　=(2,2b+2),若以A,B,C三点为顶点不能构成三角形,则A,B,C三点共线,所以1×(2b+2)-2×(3-a)=0,化简得a+b=2,
所以≥2+2,当且仅当,即b=2时等号成立.故的最小值为2+2.
9.解析　(1)因为M为AB上靠近B的三等分点,所以).
因为CB∥OA,且CB=OA,所以,
所以.
(2)以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系:
设OA=2,则A(2,0),C(0,1),B(1,1),O(0,0),
因为点P在线段CB上运动,所以设其坐标为(m,1),0≤m≤1,
则=(m,1),
由可得1=2λ+μm,1=-λ+μ,
则μ=,λ=μ-1,
因为m∈[0,1],所以m+2∈[2,3],
故μ∈,λ∈.
方法总结　对于几何图形中的向量的线性运算问题,常建立适当的平面直角坐标系,将问题转化为向量的坐标运算问题来求解.
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