2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--专题强化练4　数量积及其性质(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
专题强化练4　数量积及其性质
1.(多选题)下列等式中恒成立的是(　　)
A.a·b=b·a
B.λa·b=a·(λb)
C.(a·b)2=a2·b2
D.|a|2-|b|2=(a+b)·(a-b)
2.(2021山东省实验中学期中)已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则|a+b|=　(　　)
A.　　　B.2　　　C.3　　　D.4
3.已知b的模为1,且b在a方向上的投影数量为,则a与b的夹角θ=(　　)
A.30°　　　B.60°　　　C.120°　　　D.150°
4.(2023浙江绍兴嵊州调测)已知△ABC是边长为1的等边三角形,D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=EF,则·的值为(　　)
A.-　　　B.　　　
C.　　　D.1
5.(2023江西省重点中学联考)已知两个非零向量a,b满足a⊥(a-2b),且,则a,b的夹角为(　　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.
6.(2023山东潍坊期末)如图所示,A,B,C,D是正弦函数y=sin x图象上的四个点,且在A,C两点处函数值最大,在B,D两点处函数值最小,则()·()=　　　　.
7.(2023天津十二区重点学校模拟)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国传统民间艺术之一.有一个正八边形窗花隔断如图1所示,从窗花图中抽象出的几何图形的示意图如图2所示.在正八边形ABCDEFGH中,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为　　　　;若正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点,则·的最小值为　　　　.
图1图2
8.在平行四边形ABCD中,∠DAB=,边AB,AD的长分别为2,1,若M,N分别是边BC,CD上的点,且满足,则·的取值范围是　　　　.
9.(2021福建南平月考)如图,在四边形ABCD中,AB=CD=1,∠B≠∠C,点M和点N分别是边AD和BC的中点,延长BA和CD,分别交NM的延长线于点P,Q,则()·()的值为　　　　.
答案与分层梯度式解析
专题强化练4　数量积及其性质
1.ABD 2.A 3.A 4.B 5.A
1.ABD　对于A,由向量数量积的交换律可得a·b=b·a,故恒成立;
对于B,根据向量数量积与数乘的结合律,可得λa·b=a·(λb),故恒成立;
对于C,由向量的数量积的运算公式,可得(a·b)2=|a|2·|b|2cos2,a2·b2=|a|2·|b|2,所以不恒成立;
对于D,(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,所以恒成立.故选ABD.
2.A　∵a∥b,∴1×m-2×(-2)=0,∴m=-4,∴b=(-2,-4),a+b=(1,2)+(-2,
-4)=(-1,-2),
∴|a+b|=.故选A.
3.A　因为|b|=1,b在a方向上的投影数量为|b|×cos θ=1×cos θ=,所以cos θ=,又因为0°≤θ≤180°,所以a与b的夹角θ=30°.故选A.
4.B　如图.
由题意得AE⊥BC,所以=0,
则)··(|cos ,故选B.
5.A　∵a⊥(a-2b),∴a·(a-2b)=a2-2a·b=0,
∴a2=2a·b.
又=,∴|a+b|=|a-b|,
∴a2+2a·b+b2=3a2-6a·b+3b2,
∴a2+b2=4a·b,又a2=2a·b,
∴b2=2a·b,∴a2=b2,∴|a|=|b|,
∴cos===.
∵∈[0,π],∴=.故选A.
6.答案　12π2
解析　由题中正弦函数的图象可得,O(0,0),A,
所以,
所以=(6π,0),
所以()·()=2π×6π=12π2.
故答案为12π2.
7.答案　
解析　建立如图所示的平面直角坐标系,设正八边形ABCDEFGH的中心O到各顶点的距离均为1,
则A(0,-1),E(0,1),C(1,0),F,即F,
∴,
又,
∴(0,2)=λ(1,1)+μ,
∴
∴λ+μ=.
分别延长GH与BA,交于点I,如图所示,
则根据向量数量积的定义与投影的相关概念可得,的最小值为-AB×AI,
又AB=AH=2,△HIA为等腰直角三角形,
∴AI=,
∴的最小值为-AB×AI=-2.
8.答案　[2,5]
解析　建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),A(0,0),D.
设=λ,λ∈[0,1],
则M,
所以λ=-λ2-2λ+5=-(λ+1)2+6,
因为λ∈[0,1],所以-(λ+1)2+6∈[2,5].
即的取值范围为[2,5].
9.答案　0
解析　解法一:由题意知P,Q,M,N四点共线,可设(λ∈R),
由题图可得
因为M,N分别为边AD,BC的中点,所以由①+②可得2+0,即),故()·()·(|2)=0.
解法二:由于这类求值问题的结果一般是一个定值,角度对答案无影响,所以不妨设特殊值简化运算.
设∠B=90°,∠C=60°,BC=2,以点B为原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(图略).过D作DD'⊥BC于D',则B(0,0),C(2,0),A(0,1),D,故M,N(1,0),所以,故·(=0.
由于P,Q,M,N四点共线,所以可设(λ∈R),故原式=λ×0=0.
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