2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--专题强化练5　正、余弦定理的综合应用(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
专题强化练5　正、余弦定理的综合应用
1.(2022四川绵阳南山中学月考)在△ABC中,已知sin2A+2sin2B=sin2C,则该三角形的形状为　　(　　)
A.锐角三角形　　　B.直角三角形
C.钝角三角形　　　D.不能确定
2.(2021湖南邵阳邵东一中期末)设点G是△ABC的重心,且2sin∠ABC·+3sin∠BAC·+2sin∠ACB·=0,则cos∠ACB=(　　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.
3.(多选题)(2022广东梅州月考)在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是(　　)
A.b=10,A=45°,C=70°
B.b=45,c=48,B=60°
C.a=14,b=16,A=45°
D.a=7,b=5,A=80°
4.(2023河南安阳月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且asin A-csin C=(b-c)sin B.若D是BC边的中点,且AD=4,则△ABC面积的最大值为(　　)
A.16　　　B.32-16
C.64　　　D.32+16
5.(2022河北任丘第一中学月考)已知△ABC是等边三角形,点D在边AC的延长线上,且AD=3CD,BD=2,则CD=　　　　,sin∠ABD=　　　　.
6.(2021河南南阳期末)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若
sin B+2sin Acos C=0,则cos B的最小值为　　　　　.
7.(2022河南部分重点中学三联)一辆汽车以每小时40千米的速度在公路上(假设公路是笔直的,不考虑公路的宽度)由东向西行驶,在A处看建筑物P在汽车的北偏西60°方向上,1小时后,汽车行驶到B处,在B处看建筑物P在汽车的北偏西15°方向上,则建筑物P距离该公路
　　　　千米.参考数据:sin 75°=
8.(2022安徽宣城二调)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,=1,△ABC的外接圆的面积为3π.
(1)求角B的大小;
(2)求△ABC的周长的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练5　正、余弦定理的综合应用
1.C 2.B 3.BC 4.B
1.C　由已知及正弦定理得a2+2b2=c2,所以cos C=<0,因为02.B　因为点G是△ABC的重心,所以=0.由题意及正弦定理得2b·+3a·+2c·=0,所以2b·()+3a·+2c·=0,
即(3a-2b)+2b·+2c·=0,
故2b=2c=3a-2b,即b=c,a=b.
由余弦定理的推论得,
cos∠ACB=.
3.BC　选项A,因为A=45°,C=70°,所以B=65°,三角形的三个角是确定的值,又b=10,为定值,故只有一解;
选项B,由正弦定理可知,
结合选项知sin B选项C,由正弦定理可知,
结合选项知sin A选项D,由正弦定理可知,
结合选项知sin A>sin B,所以角B仅有一解.
故选BC.
4.B　因为asin A-csin C=(b-c)sin B,所以由正弦定理可得a2-c2=b2-bc,所以b2+c2-a2=bc,
由余弦定理的推论可得cos∠BAC=,
因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=.
因为D是BC边的中点,所以,
则.因为AD=4,∠BAC=,所以16=bc≥bc,所以bc≤64(2-),当且仅当b=c时等号成立.
所以S△ABC=bcsin∠BAC≤16(2-,即△ABC面积的最大值为32-16.故选B.
5.答案　2;
解析　由题意得AC=2CD.在△BCD中,∠BCD=180°-60°=120°,BD=2,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD,即(2)2=(2CD)2+CD2-2·2CD·CD·cos 120°,解得CD=2(负值舍去),则AD=6.由正弦定理得,即,
解得sin∠ABD=.
6.答案　
解析　∵sin B+2sin Acos C=0,
∴b+2a·=0,可得a2+2b2-c2=0,
则cos B=,
当且仅当,即时取等号,
故cos B的最小值为.
7.答案　10+10
解析　如图,过点P作PC⊥AB,交AB的延长线于点C,
由题意得AB=40千米,∠PAB=30°,∠PBA=105°,
则∠APB=45°,∠PBC=75°.
在△PBA中,由正弦定理可得,
则PB=(千米).
因为PC⊥AB,所以∠PCB=90°,
所以PC=20·sin 75°=(10+10)千米,
即建筑物P距离该公路(10+10)千米.
8.解析　(1)由=1,可得c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),化简得ac=a2+c2-b2,
所以cos B=,
又B∈(0,π),所以B=.
(2)设△ABC外接圆的半径为R.
因为πR2=3π,所以R=,
由正弦定理得,解得b=3,
所以ac=a2+c2-9=(a+c)2-2ac-9,
所以(a+c)2-9=3ac≤(a+c)2,
所以a+c≤6,当且仅当a=c=3时取等号,
又根据三角形中两边之和大于第三边可得a+c>b=3,所以3又因为b=3,所以6即△ABC的周长的取值范围为(6,9].
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