2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--专题强化练7　复数四则运算的综合应用(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
专题强化练7　复数四则运算的综合应用
1.(多选题)(2021山东师范大学附属中学期中)下列结论正确的是(　　)
A.若复数z1,z2互为共轭复数,则z1·z2为实数
B.若复数z1,z2(z1≠z2)满足|z1|=|z2|,则z1,z2互为共轭复数
C.若复数z满足∈R,则z∈R
D.对任意的复数z,都有z2≥0
2.(2023江西炎德英才长郡十八校联盟联考)已知复数z1,z2满足:z1在复平面内对应的点为(-2,1),且|z1·z2|=,则z2不可能是下列的(　　)
A.1　　　B.1+i　　　C.i　　　D.i
3.(2022辽宁重点高中协作体联考)设z=1+i(i为虚数单位),若z+(a∈R)为实数,则a的值为(　　)
A.2　　　B.-2　　　C.1　　　D.-1
4.(2022河南商丘联考)若复数z=(m∈R,i为虚数单位)的实部和虚部相等,则z=(　　)
A.-3+3i　　　B.-3-3i
C.3+3i　　　D.3-3i
5.(多选题)(2023河南驻马店段考)已知复数z1,z2是关于z的方程3z2-az+b=0(a,b∈R,a>0)的两个根,且z1·z2=,则(　　)
A.z1与z2互为共轭复数
B.a-b=2
C.a2+b2=5
D.|
6.(2021江苏苏州实验中学、木渎中学、太仓中学联考)若复数(1+i)(a-i)(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第三象限,则实数a的取值范围是　　　　.
7.(2023福建泉州监测)已知复数z满足(1+i)z=a(a>0),|z|=,则a=　　　　.
8.(2021山西吕梁联考)已知z1=a+2i,z2=3+4i(i为虚数单位).
(1)若为纯虚数,求实数a的值;
(2)若|z1-|<|z1|(其中是复数z2的共轭复数),求实数a的取值范围.
9.在复平面内,复数z1,z2所对应的点分别为Z1,Z2,O为坐标原点,i是虚数单位.
(1)若z1=1+2i,z2=3-4i,计算z1·z2与·;
(2)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),求证:|·|≤|z1·z2|,并指出向量满足什么条件时该不等式取等号.
　
答案与分层梯度式解析
专题强化练7　复数四则运算的综合应用
1.AC 2.B 3.A 4.C 5.ACD
1.AC　A项,设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,∴z1·z2=a2+b2,为实数,故A正确;
B项,复数z1=1++i满足|z1|=|z2|,但z1,z2不互为共轭复数,故B错误;
C项,设z=a+bi(a,b∈R),则,若∈R,则b=0,∴z∈R,故C正确;
D项,若z=i,则z2=i2=-1<0,故D错误.
故选AC.
2.B　由题意可知z1=-2+i.设z2=a+bi(a,b∈R),
则z1·z2=(-2+i)(a+bi)=(-2a-b)+(a-2b)i,
又|z1·z2|=,
所以(-2a-b)2+(a-2b)2=5,所以a2+b2=1,
根据选项可知,z2不可能是1+i.故选B.
3.A　因为z=1+i,所以z+i,
因为z+(a∈R)为实数,所以1-=0,解得a=2.
4.C　根据题意得z==-m+3i,
因为复数z的实部和虚部相等,所以-m=3,所以z=3+3i.
5.ACD　一元二次方程的复数根互为共轭复数,故A正确;
由题意得,z1+z2=,z1·z2=,所以b=1,
又(z1+z2)2=+2z1·z2+,a>0,
所以a=2,所以a-b=2-1=1,a2+b2=22+12=5,故B错误,C正确;
(z1-z2)2=-2z1·z2+,
所以|z1-z2|=,所以|,故D正确.
6.答案　(-∞,-1)
解析　(1+i)(a-i)=a+1+(a-1)i,
由题意得解得a<-1.
故答案为(-∞,-1).
7.答案　2
解析　由题意得,z=i,a>0,
因此|z|=,解得a=2.
8.解析　(1)由z1=a+2i,z2=3+4i,
得i.
因为为纯虚数,所以
所以a=-.
(2)由z1=a+2i,z2=3+4i,得z1-=(a+2i)-(3-4i)=(a-3)+6i,
又因为|z1-|<|z1|,所以,
即(a-3)2+36,
故实数a的取值范围为.
9.解析　(1)z1·z2=(1+2i)(3-4i)=11+2i.
∵=(3,-4),
∴=-5.
(2)∵z1=a+bi,z2=c+di,
∴z1·z2=(ac-bd)+(ad+bc)i,
∴|z1·z2|2=(ac-bd)2+(ad+bc)2.
∵=(c,d),
∴=ac+bd,
∴||2=(ac+bd)2,
∴|z1·z2|2-||2=(ac-bd)2+(ad+bc)2-(ac+bd)2=(ad+bc)2-4ac·bd=(ad-bc)2≥0,
∴||≤|z1·z2|,当且仅当ad=bc,即时取等号.
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