2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--1.1　复数的概念(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第五章　复数
§1　复数的概念及其几何意义
1.1　复数的概念
基础过关练
题组一　复数的概念
1.(2022湖南宁乡三校联考)复数1-i的虚部为　　(　　)
A.i　　　B.1　　　C.　　　D.-
2.(2021江苏宿迁沭阳高中期中)若复数z=a-2+(2a+1)i(其中i是虚数单位)的实部与虚部相等,则实数a=(　　)
A.-3　　　B.-2　　　C.2　　　D.3
3.(2023湖南名校联盟检测)欧拉恒等式eiπ+1=0(i为虚数单位,e为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式,它是复分析中欧拉公式eix=cos x+isin x的特例:当自变量x=π时,eiπ=cos π+isin π=-1,得eiπ+1=0.根据欧拉公式,复数的虚部为(　　)
A.　　　B.-　　　C.-　　　D.
题组二　复数的分类
4.用C,R,I分别表示复数集、实数集、纯虚数集,且取全集为C,则下列结论成立的是(　　)
A.R∪I=C　　　B.R∩( CI)=
C. CR=I　　　D.( CR)∪( CI)=C
5.(2023贵州毕节诊断)已知复数z=a2+a+(a+1)i为纯虚数,则实数a的值为(　　)
A.0　　　B.0或-1　　　
C.1　　　D.-1
6.复数z=cos,且θ∈-,若z是实数,则θ的值为　　　　　　;若z为纯虚数,则θ的值为　　　　　　.
7.(2023福建厦门第一中学期中)已知复数z=m-3+(m2-9)i(i为虚数单位),若z≥0,则实数m的值为　　　　.
8.已知复数z=+(x2-2x-15)i,则实数x取什么值时,z是(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数
题组三　复数相等
9.(2021河南郑州期末)若复数z1=a-i,z2=1+bi(a,b∈R),z1=z2,则符合条件的点(a,b)(　　)
A.有1个　　　B.有2个
C.在直线y=x上　　　D.不确定
10.(2022上海宝山中学期中)已知复数z1=2x+(y-1)i(x,y∈R),z2=-4+5i,若z1=z2,则x+y=　　　　.
11.(2022湖北武汉四校联合体期中)已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R)和z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(λ∈R,θ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围为　　　　.
答案与分层梯度式解析
第五章　复数
§1　复数的概念及其几何意义
1.1　复数的概念
基础过关练
1.D 2.A 3.C 4.D 5.A 9.A
1.D
2.A　∵复数z=a-2+(2a+1)i(其中i是虚数单位)的实部与虚部相等,
∴a-2=2a+1 a=-3.故选A.
3.C　根据欧拉公式,可知+isin =cos -isin i,故复数的虚部为-.
4.D　复数集C,实数集R,虚数集,纯虚数集I之间的关系如图所示,分析可知选项D正确.
5.A　因为复数z=a2+a+(a+1)i为纯虚数,所以解得a=0.
6.答案　±;0
解析　z=cos=-sin θ+icos θ.
当z是实数时,cos θ=0,
∵θ∈;
当z为纯虚数时,
又θ∈,∴θ=0.
7.答案　3
解析　∵复数z=m-3+(m2-9)i(i为虚数单位),z≥0,
∴解得m=3.
8.解析　(1)当x满足即x=5时,z是实数.
(2)当x满足即x≠-3且x≠5时,z是虚数.
(3)当x满足即x=-2或x=3时,z是纯虚数.
9.A　由题意得a-i=1+bi,所以a=1,b=-1,即符合条件的点(a,b)为(1,-1),只有一个.故选A.
10.答案　4
解析　根据题意得所以x+y=4.
11.答案　
解析　∵z1=z2,∴m+(4-m2)i=2cos θ+(λ+3sin θ)i,∴
消去m得,4-4cos2θ=λ+3sin θ,
∴λ=4sin2θ-3sin θ=4,
∵θ∈R,∴-1≤sin θ≤1,
∴当sin θ=时,λmin=-;
当sin θ=-1时,λmax=7.
∴λ的取值范围为-≤λ≤7.
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