2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--1.2　复数的几何意义(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第五章　复数
§1　复数的概念及其几何意义
1.2　复数的几何意义
基础过关练
题组一　复数与复平面内的点的对应关系
1.已知复数z=-i,则z在复平面内对应的点Z的坐标为(　　)
A.(0,-1)　　　B.(-1,0)
C.(0,0)　　　D.(-1,-1)
2.(多选题)设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论中正确的是(　　)
A.z在复平面内对应的点在第一象限
B.z一定是虚数
C.z在复平面内对应的点在实轴上方
D.z一定是实数
3.若复数z1与z2=-3-i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称,则z1=(　　)
A.-3i　　　B.-3+i　　
C.3+i　　　D.3-i
4.已知关于x的不等式mx2-nx+p>0(m,n,p∈R)的解集为(-1,2),则复数m+pi在复平面内对应的点位于第　　　　象限.
5.已知i为虚数单位,当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:
(1)位于第四象限
(2)在实轴负半轴上
(3)位于上半平面(含实轴)
题组二　复数与平面向量的对应关系
6.(2022陕西宝鸡陈仓检测)在复平面内,已知复数z=3+4i对应的点Z关于原点O的对称点为Z1,则向量对应的复数为(　　)
A.-3-4i　　　B.4+3i　　　
C.-4-3i　　　D.-3+4i
7.在复平面内,已知O为坐标原点,点Z1,Z2分别对应复数z1=4+3i,z2=2a-3i(a∈R).若⊥,则a=　　　　.
8.在复平面内画出复数z1=1-i,z2=-i,z3=-2,z4=2+2i对应的向量,并求出各复数的模.
9.(2021河南郑州期末)已知四边形ABCD为复平面内的平行四边形,O为坐标原点,向量对应的复数为5,对应的复数为-2-3i,对应的复数为-6+4i.
(1)求点D对应的复数;
(2)试判断A,B,C,D四点是否在同一个圆上,并证明你的结论.
题组三　复数的模
10.(多选题)下列命题中正确的是(　　)
A.复数的模是非负实数
B.复数等于零的充要条件是它的模等于零
C.若a∈R,a≠-3,则(a+3)i是纯虚数
D.复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|
11.(2023河南豫南名校联考)设复数z在复平面内对应的点为(0,a),若|z|=2,则a=(　　)
A.2i　　　B.i　　　C.±2　　　D.±
12.(2022重庆好教育联盟联考)已知复数z的实部和虚部均不等于0,写出一个满足|z|=3的复数:z=　　　　.
13.已知3-4i=x+yi(x,y∈R),则|1-5i|,|x-yi|,|y+2i|的大小关系为　　　　　　　　.
14.(2022河南焦作期中)已知复数z=a+bi(a,b∈R).
(1)若ab≠0,且=1,求|z|的最小值;
(2)若a=m-3,b=m2-4m-5,且z在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限,求实数m的取值范围.
15.已知复数z1=i.设z∈C,试问在复平面内,满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点的集合是什么图形
题组四　共轭复数
16.(2022北京延庆质检)已知复数z=-2-3i,则在复平面内,对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　B.第二象限
C.第三象限　　　D.第四象限
17.在复平面内,复数z=1+i的共轭复数对应的向量为(　　)
18.(2021湖北六校联考)复数z对应的向量与a=(3,4)共线,其在复平面内对应的点Z位于第三象限,且|z|=10,则=(　　)
A.6+8i　　　B.6-8i　　　
C.-6-8i　　　D.-6+8i
答案与分层梯度式解析
第五章　复数
§1　复数的概念及其几何意义
1.2　复数的几何意义
基础过关练
1.A 2.BC 3.B 6.A 10.ABC 11.C 16.B 17.C
18.D
1.A　复数z=-i的实部为0,虚部为-1,故z在复平面内对应的点Z的坐标为(0,-1).
2.BC　∵2t2+5t-3=(t+3)(2t-1)的值可正,可负,可为0,t2+2t+2=(t+1)2+1≥1,∴排除A、D,故选BC.
3.B　复数z1与z2=-3-i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称,则它们的实部相等,虚部互为相反数,所以z1=-3+i.故选B.
4.答案　二
解析　∵mx2-nx+p>0(m,n,p∈R)的解集为(-1,2),
∴
∴复数m+pi在复平面内对应的点(m,p)位于第二象限.
5.解析　(1)要使复数z在复平面内对应的点位于第四象限,需满足
∴∴-7(2)要使复数z在复平面内对应的点在实轴负半轴上,需满足
∴∴m=4.
(3)要使复数z在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴),需满足m2+3m-28≥0,解得m≥4或m≤-7.
6.A　易知复数z=3+4i对应的点Z的坐标为(3,4),
∴点Z关于原点O的对称点为Z1(-3,-4),
∴向量=(-3,-4),∴向量对应的复数为-3-4i,故选A.
7.答案　　
解析　因为z1=4+3i,z2=2a-3i(a∈R),所以=(2a,-3),因为,所以4×2a-3×3=0,即a=.
8.解析　如图,复数z1,z2,z3,z4分别对应复平面内的点Z1(1,-1),Z2,Z3(-2,0),Z4(2,2),对应的向量分别为.
各复数的模分别为
|z1|=,
|z2|==1,
|z3|==2,
|z4|=.
9.解析　(1)由题意知,=(-6,4).
设D(x,y),则=(x-5,y).
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴,即(x-5,y)=(-6,4),
∴x=-1,y=4,故D(-1,4),
则点D对应的复数为-1+4i.
(2)A,B,C,D四点在同一个圆上.证明如下:
∵=-2×(-6)+(-3)×4=0,
∴,即AB⊥BC,
∴平行四边形ABCD为矩形,
∴A,B,C,D四点在同一个圆上.
10.ABC　根据复数的模的定义可知A,B正确;根据复数的定义可知C正确;复数z1,z2可以为虚数,虚数不能比较大小,但复数的模可以比较大小,所以D错误.故选ABC.
11.C　因为复数z在复平面内对应的点为(0,a),
所以z=ai,
又|z|=2,所以=2,解得a=±2.
故选C.
12.答案　2+i(答案不唯一)
解析　设z=a+bi(a,b∈R且a,b≠0),则|z|==3,故a2+b2=9,且a≠0,b≠0,
所以a,b满足a2+b2=9,且a≠0,b≠0即可,如z=2+i.
13.答案　|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|
解析　由3-4i=x+yi(x,y∈R),得x=3,y=-4.
∴|x-yi|=|3+4i|==5,
|y+2i|=|-4+2i|=.
易得|1-5i|=,
∵2,∴|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|.
14.解析　 (1)因为=1,
所以|z|2=a2+b2=(a2+b2)+1≥2+2=4,当且仅当a2=b2=2时,等号成立,所以|z|的最小值为2.
(2)当z在复平面内对应的点位于第二象限时,解得m<-1;
当z在复平面内对应的点位于第四象限时,解得3综上,实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(3,5).
15.解析　|z1|=|=2,
|z2|==1.
∵|z2|≤|z|≤|z1|,∴1≤|z|≤2,其对应的点的集合是以原点O为圆心,1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环的边界),如图中阴影部分所示.
16.B　由z=-2-3i,可得=-2+3i,在复平面内,复数对应的点为(-2,3),位于第二象限.
17.C　复数z=1+i的共轭复数为1-i,其在复平面内对应的向量=(1,-1).
18.D　设复数z=x+yi,x,y∈R,则=(x,y),
∵复数z对应的向量与a=(3,4)共线,
∴4x-3y=0①,由|z|=10得x2+y2=100②,
由①②可得x=6,y=8或x=-6,y=-8.
∵z在复平面内对应的点Z位于第三象限,∴z=-6-8i,∴=-6+8i.故选D.
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