2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第六章　立体几何初步
§1　基本立体图形
1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
基础过关练
题组一　球的结构特征
1.用一个平面任意截一个几何体,所得各截面都是圆面,则这个几何体一定是(　　)
A.圆柱　　　B.圆锥
C.球　　　D.圆台
2.(多选题)(2021重庆复旦中学期中)下列叙述正确的是(　　)
A.球的半径是球面上任意一点与球心的连线
B.球的直径是球面上任意两点间的连线
C.用一个平面截一个球,得到的是一个圆
D.不过球心的截面截得的圆面的半径小于球的半径
题组二　圆柱、圆锥、圆台的结构特征
3.下列说法正确的是(　　)
A.分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴旋转一周得到的两个圆柱是不同的圆柱
B.以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是圆台
C.一个几何体上、下两个面是全等的圆面,那么它一定是一个圆柱
D.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是圆锥
4.(多选题)(2022重庆西南大学附中月考)下列说法中,正确的是(　　)
A.在圆柱上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线
B.圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线
C.在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线
D.圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
题组三　简单组合体
5.(2022江西万安中学开学考试)将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括(　　)
A.一个圆台、两个圆锥
B.两个圆台、一个圆柱
C.两个圆柱、一个圆台
D.一个圆柱、两个圆锥
6.能旋转形成下图所示的几何体的平面图形是(　　)
7.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截面图形可能是　　　　.(填序号)
8.如图,在五边形ABCDE中,AB⊥AE,CD∥AE,∠AED<90°,∠ABC>90°,将五边形ABCDE绕AE所在直线旋转一周,能形成怎样的几何体
题组四　旋转体中的计算问题
9.(2022江西上饶四校联考)用一个平面截半径为3的球,截面面积为4π,则球心到截面的距离为(　　)
A.1　　　B.2　　　C.　　　D.
10.(2021广西南宁联考)若圆柱的轴截面是一个面积为S的正方形,则圆柱的底面积为(　　)
A.　　　B.　　　C.2πS　　　D.4πS
11.(2021山西长治二中期中)已知一块形状为正三棱柱(底面是正三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱)的实心木材ABC-A1B1C1,AB=AA1=2,若将该木材切割成一个球,则此球的半径的最大值为(　　)
A.　　　B.　　　C.1　　　D.2
12.(2022云南师大附中期中)在直角三角形ABC中,已知AC=2,BC=2,C=90°,以AC所在直线为旋转轴将△ABC旋转一周,AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥,则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为(　　)
A.4　　　B.4　　　C.8　　　D.8
13.(2021天津三中期中)用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥,截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4,截去的小圆锥的母线长是3,则圆台的母线长为　　　　.
14.用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成无缝隙、不重叠的圆柱的侧面,求相应圆柱的底面半径.
15.已知一个圆锥的高为2 cm,母线与轴的夹角为30°,求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.
答案与分层梯度式解析
第六章　立体几何初步
§1　基本立体图形
1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
基础过关练
1.C 2.AD 3.A 4.BD 5.D 6.A 9.C 10.A
11.C 12.D
1.C
2.AD　易知A正确;
球的直径一定过球心,故B不正确;
用平面截球,得到的是一个圆面,而不是一个圆,C不正确;
过球心的截面是半径最大的截面,且截面的半径就是球的半径,故D正确.
3.A　对于A,分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴旋转一周得到的两个圆柱的底面和高均不同,是两个不同的圆柱,故A正确;对于B,以垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转一周才能得到圆台,故B不正确;对于C,两个相同的圆台倒扣在一起,这个几何体的上、下两个面是全等的圆面,但该几何体不是圆柱,故C不正确;对于D,只有以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转一周所得的几何体才是圆锥,故D不正确.故选A.
方法总结　判断简单旋转体结构特征的方法:(1)明确其可由哪个平面图形旋转而成;(2)明确旋转轴是哪条直线.
4.BD　若在圆柱上、下底面圆周上各取的点的连线平行于轴,则是母线,否则不是,故A错误;
由圆锥母线的定义可知B正确;
圆台可看成是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的,圆台的母线可看成由此平面截圆锥的母线而得,根据圆锥母线的定义可知C错误;
因为圆柱的母线都平行于轴,所以圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的,故D正确.
5.D　将等腰梯形ABCD分割为直角三角形AED,直角三角形BFC和矩形ABFE,如图所示:
矩形ABFE绕其边EF所在直线旋转一周得到圆柱,直角三角形AED绕其直角边ED所在直线旋转一周得到圆锥,直角三角形BFC绕其直角边CF所在直线旋转一周得到圆锥,因此得到的几何体包括一个圆柱,两个圆锥.故选D.
6.A　A中图形旋转得到的是一个圆台与一个圆锥的组合体,符合题意;
B中图形旋转得到的是两个同底圆锥的组合体,不合题意;
C中图形旋转得到的是一个圆柱与一个圆锥的组合体,不合题意;
D中图形旋转得到的是两个圆锥与一个圆柱的组合体,不合题意.
故选A.
7.答案　①④
解析　当截面过底面直径时,截面如题图①;当截面不过底面直径时,截面如题图④.
8.解析　过点C,D作AE的垂线,垂足分别为F,G,则四边形ABCF是一个直角梯形,四边形CDGF是一个矩形,△DEG是一个直角三角形,所以五边形ABCDE绕AE所在直线旋转一周后,得到下图所示的几何体,它是圆台、圆柱、圆锥的组合体.
9.C　由截面面积为4π得截面圆的半径r=2,所以球心到截面的距离为.
10.A　易知圆柱的母线长等于底面圆的直径2R,由题意知2R×2R=S,则R2=,故圆柱的底面积为πR2=.
11.C　设△ABC的内切圆半径为r,
则r==1,因为2r<2,
所以当球的半径等于底面正三角形ABC内切圆的半径时,球的半径取得最大值,故此球的半径的最大值为1,故选C.
12.D　如图,
若圆锥任意两条母线为AB和AD,则截面为等腰三角形ABD,
∴截面面积为S△ABD=AB·AD·sin∠BAD.
∵AD=AB==4,是定值,
∴当sin∠BAD最大时截面面积最大.
由图可知,当截面为圆锥的轴截面时,∠BAD最大,为120°,
∴0°<∠BAD≤120°,∴sin∠BAD的最大值为1.
故截面面积最大为×42×1=8.故选D.
13.答案　9
解析　圆台的轴截面如图,设圆台的母线长为y,上、下底面圆的半径分别为x,4x,
根据相似三角形的性质得,解得y=9,
所以圆台的母线长为9.
14.解析　设圆柱的底面半径为r.
若矩形的长恰好为卷成圆柱底面的周长,则2πr=8,所以r=;
若矩形的宽恰好为卷成圆柱底面的周长,则2πr=4,所以r=.
综上,圆柱的底面半径为.
15.解析　由题意可画出圆锥的轴截面为下图所示的△SAB,圆锥的底面直径为AB,高为SO,母线为SA,则∠ASO=30°.
在Rt△SOA中,AO=SOtan 30°=2×(cm),
则S△SAB=(cm2).
所以圆锥的母线长为 cm,圆锥的轴截面的面积为 cm2.
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