2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--2　从位移的合成到向量的加减法(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第二章　平面向量及其应用
§2　从位移的合成到向量的加减法
基础过关练
题组一　向量的加法运算及应用
1.(2023四川成都蓉城名校联盟期中)=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.0
2.(2022四川绵阳科学城一中月考)正六边形ABCDEF如图所示,则=(　　)
A.0　　　B.　　　
C.　　　D.
3.(多选题)(2022广东深圳盐田高级中学月考)如图,在平行四边形ABCD中,下列运算正确的是　　(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.=0
4.(多选题)设a=(),b是一个非零向量,则下列结论正确的有(　　)
A.a∥b　　　B.a+b=a
C.a+b=b　　　D.|a+b|<|a|+|b|
5.(2021黑龙江绥化一中段考)已知P为△ABC所在平面内一点,当成立时,点P位于(　　)
A.△ABC的边AB上
B.△ABC的边BC上
C.△ABC的内部
D.△ABC的外部
6.已知O为平面内任意一点,且,则四边形ABCD是(　　)
A.菱形　　　B.平行四边形
C.等腰梯形　　　D.矩形
7.已知正方形ABCD的边长为1,=c,则|a+b+c|等于　　　　.
题组二　向量的减法运算及应用
8.(2023陕西商洛期末)=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
9.(2022河南南阳联考)八卦是中国古老文化的深奥概念,其深邃的哲理解释了自然、社会现象.图1是八卦模型图,其轮廓为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中O为正八边形的中心,则=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
10.已知四边形ABCD为平行四边形,且=d,则(　　)
A.a+b+c+d=0　　　B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0　　　D.a-b-c+d=0
11.已知菱形ABCD的边长为1,则||=　　　.
12.(2022江西萍乡芦溪中学月考)已知=b,若||=5,且∠AOB=90°,则|a-b|=　　　　.
13.如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且=b,用a,b分别表示向量.
题组三　向量加减法的混合运算及应用
14.(2023陕西西安六十六中期中)在平行四边形ABCD中,=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
15.(多选题)如图,点B是平行四边形ACDE外一点,=c,则下列结论正确的是(　　)
A.=b+c　　　B.=c-a
C.=c-b　　　D.=c-b-a
16.在四边形ABCD中,,且||,则四边形ABCD是(　　)
A.梯形　　　B.菱形　　　
C.矩形　　　D.正方形
17.(多选题)下列式子中正确的是(　　)
A.　　　B.=0
C.　　　D.
18.已知||=7,则||的取值范围为　　　　.
19.(2021天津武清杨村第一中学月考)如图,在三角形ABC中,D是边BC的中点,E是边AB上一点,则=　　　　.
20.下列等式:a+0=a,a+b=b+a,a+(-a)=0,a+(-b)=a-b中正确的个数是　　　　.
21.如图,在 ABCD中,=b.
(1)用a,b表示;
(2)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在的直线互相垂直
(3)当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|
(4)a+b与a-b有可能为相等向量吗 为什么
能力提升练
题组　向量的加减运算及运用
1.已知非零向量 a与b反向,则下列等式中成立的是(　　)
A.|a|-|b|=|a-b|　　　B.|a+b|=|a-b|
C.|a|+|b|=|a-b|　　　D.|a|+|b|=|a+b|
2.(2023河南南阳一中月考)化简:(1),结果为零向量的个数是(　　)
A.1　　　B.2　　　
C.3　　　D.4
3.在△ABC中,若||,则△ABC一定是(　　)
A.钝角三角形　　　B.锐角三角形
C.直角三角形　　　D.不能确定
4.已知O为四边形ABCD所在平面内的一点,且向量满足等式,若E为AC的中点,则=(　　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.
5.已知点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上运动,且||=2,设||=y,若||,则x+y的最大值为(　　)
A.2　　　B.4
C.2　　　D.4
6.(2023河南洛阳宜阳第一高级中学月考)已知非零向量a,b满足:|a|=|b|=|a-b|,作=a+b,则∠AOB=　　　　.
7.若||=2,则||=　　　　.
8.(2021河南郑州九校联考)如图,在平面直角坐标系xOy中,两个非零向量与x轴非负半轴的夹角分别为和,向量满足=0,则与x轴非负半轴的夹角的取值范围是　　　　.
9.用向量法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面向量及其应用
§2　从位移的合成到向量的加减法
基础过关练
1.B 2.D 3.ACD 4.AC 5.D 6.B 8.D 9.B
10.B 14.D 15.ABC 16.C 17.BCD
1.B　,故选B.
2.D　因为多边形ABCDEF为正六边形,
所以,
所以.
3.ACD　由向量加法的平行四边形法则可得,A正确;
,B错误;
,C正确;
=0,D正确.
4.AC　a=(=0,
又b是一个非零向量,
所以a∥b成立,所以A正确;
a+b=0+b=b,所以B不正确,C正确;
由|a+b|=|b|,|a|+|b|=|b|,可得|a+b|=|a|+|b|,所以D不正确.故选AC.
5.D　如图,,根据平行四边形法则,可知点P在△ABC的外部.故选D.
6.B　由已知得,因此的模相等,方向相同,即AB=DC,AB∥DC,所以四边形ABCD是平行四边形.故选B.
7.答案　2
解析　由题意得a+b=c,且|c|=,
∴|a+b+c|=|2c|=2.
8.D　 .
9.B　 因为八边形ABCDEFGH为正八边形,O为中心,所以,所以.
10.B　由四边形ABCD为平行四边形,可得,即b-a=c-d,故a-b+c-d=0,故选B.
11.答案　1
解析　∵,
∴||=1.
12.答案　13
解析　∵||=5,且∠AOB=90°,
∴||2=169,即||=13,
∴|a-b|=||=13.
13.解析　依题意得=-b,=-a,=b-a,=a-b.
14.D　如图,在平行四边形ABCD中,
.故选D.
15.ABC　=b+c,A正确;=c-a,B正确;=c-b,C正确;=b+c-a,D错误.故选ABC.
16.C　∵,∴AB=DC,AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵||,
∴||,即该平行四边形的对角线相等,
故平行四边形ABCD为矩形.
17.BCD　,故选BCD.
18.答案　[3,17]
解析　因为,所以||,
又||||≤||≤||,
所以3≤||≤17,即3≤||≤17.
故答案为[3,17].
19.答案　0
解析　因为D是边BC的中点,所以,
所以=0.
故答案为0.
20.答案　3
21.解析　(1)=a+b,=a-b.
(2)由(1)知a+b=,a-b=.
当a+b,a-b所在的直线互相垂直时,AC⊥BD.
又∵四边形ABCD为平行四边形,∴四边形ABCD为菱形,即a,b应满足|a|=|b|.
(3)|a+b|=|a-b|,即||,
∴平行四边形ABCD为矩形,∴当a与b所在的直线互相垂直时,满足|a+b|=|a-b|.
(4)不可能, ABCD的两条对角线不可能平行,因此a+b与a-b不可能为共线向量,∴a+b与a-b不可能为相等向量.
能力提升练
1.C 2.C 3.C 4.B 5.C
1.C　非零向量a与b反向,则|a-b|=|a|+|b|,故选C.
2.C　(1)=0,符合题意;
(2)=0,符合题意;
(3),它不一定是零向量,不符合题意;
(4)=0,符合题意.
故运算结果为零向量的有3个.故选C.
3.C　以BC,BA为邻边作平行四边形ABCD,则,所以有||,故平行四边形ABCD为矩形,所以△ABC一定是直角三角形.
4.B　∵,
∴,即,
则四边形ABCD为平行四边形.
∵E为AC的中点,
∴E为对角线AC与BD的交点,
如图,则S△EAB=S△ECD=S△ADE=S△BCE,则.
故选B.
5.C　∵|=2,
∴x2+y2=4,∴(x+y)2=x2+y2+2xy≤2(x2+y2)=8,当且仅当x=y时取等号,
∴x+y≤2,即x+y的最大值为2,故选C.
6.答案　30°
解析　构造如图所示的平行四边形,使=a,=a+b,则=b,=a-b,
因为|a|=|b|=|a-b|,
所以△AOC为正三角形,
故∠COA=60°,
则平行四边形OABC为菱形,
故OB平分∠COA,
则∠AOB=30°.
7.答案　2
解析　∵||=2,
∴△ABC是边长为2的正三角形,
∴||为△ABC的边BC上的高的2倍,
∴|.
8.答案　
解析　由题意得,
由向量加法的几何意义得是以OA、OB为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量的相反向量,所以与x轴非负半轴的夹角的取值介于-和-与x轴非负半轴的夹角之间(不包含边界).由题意得,-与x轴非负半轴的夹角分别为.故与x轴非负半轴的夹角的取值范围为.
9.证明　如图,已知四边形ABCD的对角线交于O,且OA=OC,OB=OD,所以,所以,故BA与CD平行且长度相等.
所以四边形ABCD是平行四边形.
所以对角线互相平分的四边形是平行四边形.
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