2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--2　直观图(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第六章　立体几何初步
§2　直观图
基础过关练
题组一　水平放置的平面图形的直观图画法
1.关于平面图形的“斜二测画法”,下列说法正确的是(　　)
A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x'轴,长度变为原来的
B.相等的角在直观图中仍然相等
C.在画与直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时,∠x'O'y'必须是45°
D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同
2.(2022上海华东师范大学第二附属中学月考)如图所示,在水平放置的△ABC的直观图中,A1B1=B1C1,A1D1是B1C1边上的中线,由图形可知在△ABC中,下列四个结论中正确的是(　　)
A.AB=BC=AC　　　B.AD⊥BC
C.AC>AD>AB　　　D.AC>AD>AB=BC
3.画出下图所示水平放置的直角梯形的直观图.
题组二　空间几何体的直观图
4.已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m.如果按1∶500的比例尺画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(　　)
A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D.4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
5.画出一个三棱台,其上、下底面分别是边长为1,2的正三角形,高为2.
题组三　平面图形的直观图的有关计算
6.(多选题)(2022浙北G2联盟期中联考)已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,该平行四边形的一边长为4,则此正方形的面积可能为(　　)
A.16　　　B.64
C.32　　　D.无法确定
7.(2022福建南安第六中学段考)如图,若斜边长为2的等腰直角△A'B'C'(B'与O'重合)是水平放置的△ABC的直观图,则△ABC的面积为　　　　.
　　
8.放置在平面直角坐标系xOy中的正方形ABCO如图所示,点B的坐标为(4,4),则由斜二测画法画出水平放置的该正方形的直观图中,顶点B'到x'轴的距离为　　　　.
答案与分层梯度式解析
第六章　立体几何初步
§2　直观图
基础过关练
1.D 2.C 4.C 6.AB
1.D　根据斜二测画法的规则,平行于x轴或在x轴上的线段,其长度在直观图中不变,平行于y轴或在y轴上的线段,其长度在直观图中变为原来的,并且∠x'O'y'为45°或135°,角的大小在直观图中会发生改变.故选D.
2.C　根据斜二测画法,把直观图中的△A1B1C1还原成原图形,如图所示:
△ABC为直角三角形,AB⊥BC,且AB=2BC,AC>AD>AB.故选C.
3.解析　(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图①所示.
(2)画相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,在x'轴上截取O'B'=OB,在y'轴上截取O'D'=OD,过点D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取D'C',使得D'C'=DC,连接B'C',如图②.
(3)所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直观图,如图③.
解题关键　在画水平放置的平面图形的直观图时,关键之一是选取适当的平面直角坐标系,一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上,以便于画点,不平行于坐标轴的线段可以通过平行于坐标轴的线段来作出.关键之二是确定多边形顶点的位置,借助平面直角坐标系确定顶点后,只需把这些顶点顺次连接即可.
4.C　按比例尺缩小后,长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别变为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm,再结合直观图,对应的尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.故选C.
5.解析　(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°,∠yOz=90°.
(2)画下底面.以O为线段中点,在x轴上取线段AB,使AB=2,在y轴上取线段OC,使OC=.连接BC,CA,则△ABC确定的面为下底面的直观图.
(3)画上底面.在z轴上取OO',使OO'=2,过点O'作O'x'∥Ox,O'y'∥Oy,建立坐标系x'O'y'.在坐标系x'O'y'中,类似步骤(2)的画法得上底面的直观图对应的图形△A'B'C'.
(4)连线成图.连接AA',BB',CC',去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台ABC-A'B'C'即为要画的三棱台的直观图(如图②所示).
6.AB　根据题意,正方形的直观图如图所示:
①若直观图中平行四边形的边A'B'=4,则原正方形的边长为4,该正方形的面积为16;②若直观图中平行四边形的边A'D'=4,则原正方形的边长为8,该正方形的面积为64.
7.答案　4
解析　解法一:因为△A'B'C'为等腰直角三角形,A'B'=2,所以A'C'=B'C'=2.
△ABC的直观图如图所示:
则AB=4,BC=2,
则S△ABC=.
解法二:因为△A'B'C'为等腰直角三角形,A'B'=2,所以A'C'=B'C'=2,
所以S△A'B'C'=×2×2=2.
由平面图形的面积与其直观图形的面积之间的关系,可得S△ABC=2S△A'B'C'=2.
8.答案　
解析　用斜二测画法画出的直观图如图所示,作B'E⊥x'轴于点E,在Rt△B'EC'中,B'C'=2,∠B'C'E=45°,所以B'E=B'C'sin 45°=2×.
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