2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--2.1　复数的加法与减法(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第五章　复数
§2　复数的四则运算
2.1　复数的加法与减法
基础过关练
题组一　复数的加减运算及应用
1.(2023贵州毕节部分学校联考)已知z1=1+i,z2=2-2i,则z1+2z2=(　　)
A.4　　　B.5+3i　　　C.4-3i　　　D.5-3i
2.(2022广东华南师大附中期中)若(a+3i)+(2-i)=5+bi,则a+b=(　　)
A.-4　　　B.7　　　C.-8　　　D.5
3.(2023福建龙岩一级校联盟期末)已知复数z=(1+i)+λ(1-i)是纯虚数,则实数λ=(　　)
A.-1　　　B.1　　　C.-2　　　D.2
4.(2023浙江新高考研究测试)若z+=2,则|z|+2的实部可能是(　　)
A.3　　　B.1　　　C.3i　　　D.i
5.(2022安徽鼎尖联盟联考)复数z满足z=2+3i-3,则|z|=(　　)
A.5　　　B.　　　C.10　　　D.
6.(多选题)已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,1),则(　　)
A.z-1是实数　　　B.z-1是虚数
C.z-i是实数　　　D.z+i是纯虚数
7.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设z=z1-z2,若z=13-2i,则z1=　　　,z2=　　　.
8.已知i为虚数单位,计算:
(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)];
(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).
题组二　复数加减法的几何意义
9.(2021吉林长春第二实验中学月考)已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　B.第二象限
C.第三象限　　　D.第四象限
10.(2022江苏苏州吴江汾湖高级中学期中)在复平面内,O是原点,表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则表示的复数为　(　　)
A.2+8i　　　B.-6-6i
C.4-4i　　　D.-4+2i
11.如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别为z1,z2,则z1+z2=　　　　.
12.已知复数z1=2+ai,z2=a+i(a∈R),且复数z1-z2在复平面内对应的点位于第二象限,则a的取值范围是　　　　.
13.设向量在复平面内分别与复数z1=5+3i,z2=4+i对应,试计算z1-z2,并把它对应的向量在复平面内表示出来.
能力提升练
题组一　复数的加减运算的应用
1.(2022北京人大附中期中)若z1,z2为复数,则“z1+z2是实数”是“z1,z2互为共轭复数”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(多选题)(2022河北邢台名校联盟月考)若z-,则z可能为(　　)
A.1-7i　　　B.1+7i
C.-1-7i　　　D.-1+7i
3.若复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)满足|z-2i|=|z|,写出一个满足条件的复数z:　　　　.
4.(2023上海交通大学附属中学开学考试)已知z=3+4i,若实数a,b满足z+a+b|z|=0,则a+b=　　　　.
5.(2022江苏连云港期中)已知复数z1=cos θ+isin θ,z2=1-i,其中i是虚数单位,则|z1-z2|的最大值为　　　　.
题组二　复数加减法的几何意义的应用
6.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是(　　)
A.等腰三角形　　　B.直角三角形
C.等边三角形　　　D.等腰直角三角形
7.(多选题)复数z满足|z-1|=|z+3|,则|z|(　　)
A.有最大值　　　B.无最大值
C.有最小值　　　D.无最小值
8.(2021广东佛山阶段性检测)已知|z|=1,则|z-1+i|的最大值是　　　　.
9.(2022重庆十一中期中)已知复数z1=1+(10-a2)i,z2=(2a-5)i,a>0,+z2∈R.
(1)求实数a的值;
(2)若z∈C,|z-z2|=2,求|z|的取值范围.
10.(2022河北邯郸期中)在①z在复平面内对应的点在直线x-y=0上,②z>0,③z为纯虚数这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答.
已知复数z=(m2-5m+6)+(m2-9)i(m∈R).
(1)若　　　　,求m的值;
(2)若z0=z+5m-3,且|z0|=6,求|z0-(sin θ+icos θ)|(θ∈R)的最大值.
答案与分层梯度式解析
第五章　复数
§2　复数的四则运算
2.1　复数的加法与减法
基础过关练
1.D 2.D 3.A 4.A 5.D 6.BC 9.B 10.C
1.D　z1+2z2=1+i+2(2-2i)=5-3i.
2.D　由已知得(a+2)+2i=5+bi,
所以所以a+b=5.
3.A　z=(1+i)+λ(1-i)=1+λ+(1-λ)i,
根据题意得解得λ=-1.
4.A　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,则z+=a+bi+a-bi=2,解得a=1,所以z=1+bi,
所以|z|+2+2)-2bi,
则|z|+2+2,易知+2≥3,结合选项可知选A.
5.D　设z=a+bi(a,b∈R),则a+bi=2(a-bi)+3i-3=(2a-3)+(3-2b)i,
∴.
6.BC　由题意可得,复数z=-1+i,
则z-1=-2+i,所以A不正确,B正确;
z-i=-1,所以C正确;
z+i=-1+2i不是纯虚数,所以D不正确.故选BC.
7.答案　5-9i;-8-7i　
解析　z=z1-z2=[(3x+y)+(y-4x)i]-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i,
∴
∴z1=5-9i,z2=-8-7i.
8.解析　(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)=-4+4i.
(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.
9.B　由已知得z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i,
因此复数z在复平面内对应的点为(-1,1),位于第二象限.故选B.
10.C　由题意得=(3,2)-(-2,1)-(1,5)=(4,-4),故表示的复数为4-4i.
11.答案　2
解析　由已知得,=(2,-1),
则=(0,1)+(2,-1)=(2,0),
所以z1+z2=2+0i=2.
12.答案　(2,+∞)
解析　z1-z2=(2-a)+(a-1)i,
因为复数z1-z2在复平面内对应的点位于第二象限,所以解得a>2.
13.解析　z1-z2=(5+3i)-(4+i)=(5-4)+(3-1)i=1+2i.
记z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,则Z1(5,3),Z2(4,1),故=(1,2)即为z1-z2所对应的向量,如图所示:
能力提升练
1.B 2.AC 6.B 7.BC
1.B　设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).
若z1+z2是实数,则z1+z2=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i∈R,故b+d=0,即b=-d,
由于a,c不一定相等,故z1,z2不一定互为共轭复数,故充分性不成立;
若z1,z2互为共轭复数,则z2=a-bi,故z1+z2=2a∈R,故必要性成立.
因此“z1+z2是实数”是“z1,z2互为共轭复数”的必要不充分条件.
2.AC　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
由题意可得
解得所以z=1-7i或z=-1-7i.
3.答案　z=1+i(答案不唯一)
解析　∵z=a+bi,∴z-2i=a+(b-2)i.
由|z-2i|=|z|知,,解得b=1,
故只需b=1,即z=a+i(a可为任意实数)均满足题意,可取z=1+i.
4.答案　-
解析　因为z=3+4i,
所以=5,
又z+a+b|z|=0,
所以3+4i+a(3-4i)+5b=0,
即(3+3a+5b)+(4-4a)i=0,
所以
解得
所以a+b=-.
5.答案　+1
解析　由题意得,z1-z2=(cos θ-1)+(sin θ+1)i,
所以|z1-z2|=+1,当θ-+2kπ,k∈Z,即θ=+2kπ,k∈Z时取等号.故答案为+1.
6.B　由题可得,复数z1对应向量,复数z2对应向量,
则|z1+z2|=||.
依题意有||,
∴以OA,OB为邻边所作的平行四边形是矩形,
∴△AOB是直角三角形.故选B.
7.BC　因为|z-1|=|z+3|,
所以z在复平面内对应的点的集合是以点(1,0),(-3,0)为端点的线段的垂直平分线,
故|z|可看作该垂直平分线上的点与坐标原点间的距离,其最小值等于坐标原点到该直线的距离,无最大值.
所以|z|有最小值,无最大值.故选BC.
8.答案　3
解析　∵|z|=1,∴z在复平面内对应的点在以原点为圆心,1为半径的圆上,
又∵|z-1+i)|表示单位圆上一点与点(1,-)之间的距离,
∴|z-1++1=2+1=3.
9.解析　(1)因为z1=1+(10-a2)i,z2=(2a-5)i,a>0,
所以+z2=1-(10-a2)i+(2a-5)i=1+(a2+2a-15)i,
因为+z2∈R,所以a2+2a-15=0,
解得a=-5或a=3,因为a>0,所以a=3.
(2)由(1)知z2=i,
因为|z-z2|=2,所以z在复平面内对应的点的集合是以(0,1)为圆心,2为半径的圆.
故|z|可看作复数z在复平面内对应的点到坐标原点的距离,
所以2-1≤|z|≤2+1,即1≤|z|≤3.
故|z|的取值范围为[1,3].
规律总结　设动点P,定点A,B分别为复数z,z1,z2在复平面内对应的点,则:
(1)|z-z1|的几何意义为点P到点A的距离.
(2)复数方程|z-z1|=r(r>0)表示的图形是以点A为圆心,r为半径的圆.特别地,|z|=r表示的图形是以原点为圆心,r为半径的圆.
(3)复数方程|z-z1|=|z-z2|表示的图形为线段AB的垂直平分线.
(4)复数方程|z-z1|+|z-z2|=|AB|表示的图形为线段AB.
10.解析　(1)选择①,若z在复平面内对应的点在直线x-y=0上,
则m2-5m+6-(m2-9)=0,解得m=3.
选择②,若z>0,则解得m=-3.
选择③,若z为纯虚数,则解得m=2.
(2)因为z0=z+5m-3=(m2+3)+(m2-9)i,且|z0|=6,
所以(m2+3)2+(m2-9)2=72,所以m2=3,所以z0=6-6i.
因为|sin θ+icos θ|=1,
所以sin θ+icos θ在复平面内对应的点在以坐标原点为圆心,1为半径的圆上,
所以|z0-(sin θ+icos θ)|表示点(6,-6)与圆上的点的距离,故其最大值为6+1.
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