2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--2.1　两角和与差的余弦公式及其应用(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第四章　三角恒等变换
§2　两角和与差的三角函数公式
2.1　两角和与差的余弦公式及其应用
基础过关练
题组一　对两角和与差的余弦公式的理解
1.下列结论中正确的是(　　)
A.对任意角α,β,有cos(α-β)=cos α-cos β
B.对任意角α,β,有cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β
C.存在角α,β,使cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β成立
D.不存在角α,β,使cos(α+β)=cos α+cos β成立
2.满足sin αsin β=-cos αcos β的一组值可能是(　　)
A.α=β=90°　　　B.α=130°,β=40°
C.α=18°,β=72°　　　D.α=140°,β=40°
3.(2022江苏宿迁期中)cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α等于(　　)
A.sin(2α-β)　　　B.cos(2α-β)　　　
C.cos β　　　D.-cos β
题组二　给角求值问题
4.cos 的值为(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
5.(2023江苏盐城阜宁期中)cos 50°cos 20°+cos 40°sin 20°的值为(　　)
A.-　　　B.　　　C.　　　D.-
6.(2022黑龙江七台河勃利高级中学月考)计算的结果为(　　)
A.1　　　B.　　　 C.　　　D.2
7.(1)求sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°的值;
(2)求cos 15°+sin 15°的值.
题组三　给值求值问题
8.(2021天津红桥期中)已知α∈,cos α=,则cos=(　　)
A.　　　B.1-
C.-　　　D.-1+
9.(2023江苏无锡期末)已知sin(30°+α)=,60°<α<150°,则cos α的值为(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
10.(2022湖北部分普通高中联合体联考)已知第四象限角α,β满足cos α=,cos(α+β)=-,则cos β的值为(　　)
A.　　　B.-　　　C.　　　D.-
11.(2021四川资阳、雅安等九市二模)若cos,α为锐角,则cos=(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
12.(2021安徽淮南一模)在△ABC中,若sin A=,cos B=,则cos C=(　　)
A.　　　B.　　　
C.或　　　D.-
13.(2021安徽师范大学附属中学模拟)已知角α的顶点为原点,始边与x轴非负半轴重合,点P(-,1)在角α的终边上,则cos=　　　　.
14.(2022江西宜春铜鼓中学月考)若sin α=cos,则tan α的值为　　　　.
15.(2022上海奉贤中学调研)《周髀算经》中给出了弦图,所谓的弦图(如图)是一个由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形,若图中直角三角形的两锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形的面积之比为1∶25,则cos(α-β)的值为　　　　.
题组四　给值求角问题
16.(2022广西桂林奎光学校期中)若cos αcos β=-sin αsin β,且α∈,β∈,
则α-β等于(　　)
A.-　　　B.-　　　
C.　　　D.
17.(2023海南华侨中学模拟)已知α,β∈,sin α=,sin β=,则α+β=(　　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.或
18.(2022上海奉城高级中学月考)已知cos α=,cos(α+β)=-,0<α<,0<β<.求:
(1)sin(α+β)的值;
(2)角β的大小.
答案与分层梯度式解析
第四章　三角恒等变换
§2　两角和与差的三角函数公式
2.1　两角和与差的余弦公式及其应用
基础过关练
1.C 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C 8.A 9.B
10.A 11.A 12.A 16.A 17.A
1.C　A,B显然不正确;当α=0时,一定有cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β成立,故C选项正确;当α=时,cos(α+β)=cos α+cos β,故D不正确.
2.B　由sin αsin β=-cos αcos β可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°,k∈Z,只有B选项符合.
3.C　cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=cos[(α-β)-α]=cos(-β)=cos β.
4.C　cos =cos cos -sin sin .
5.C　cos 50°cos 20°+cos 40°sin 20°=cos 50°cos 20°+sin 50°sin 20°=cos(50°-20°)=cos 30°=.故选C.
6.C　.故选C.
7.解析　(1)原式=sin(270°-25°)·sin(90°+35°)+sin(180°-25°)·sin 35°=-cos 25°·cos 35°+sin 25°·sin 35°=-cos(25°+35°)=-cos 60°=-.
(2)cos 15°+sin 15°=cos 60°cos 15°+sin 60°·sin 15°=cos(60°-15°)=
cos 45°=.
8.A　因为α∈,cos α=,所以sin α=,
于是cos=cos αcos -sin αsin.
9.B　因为60°<α<150°,所以90°<30°+α<180°,
又sin(30°+α)=,
所以cos(30°+α)=-,
所以cos α=cos[(30°+α)-30°]=cos(30°+α)cos 30°+sin(30°+α)sin 30°=
-.
10.A　因为α,β是第四象限角,所以sin α<0,角α+β的终边在x轴下方,
又cos α=,
所以sin α=-,
sin(α+β)=-,
所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.
11.A　由cos,α为锐角,得sin,则cos.故选A.
12.A　因为A,B,C为△ABC的内角,所以A,B,C∈(0,π).
因为cos B=,所以sin B=.又因为sin A因为sin A=,所以cos A=,
所以cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)
=sin Asin B-cos Acos B=.
13.答案　-
解析　由题及三角函数的定义可得cos α=-,
sin α=,
∴cos=cos αcos +sin αsin .
14.答案　
解析　因为sin α=cos,
所以sin α=cos αcos-sin αsin ,
即sin α=cos α-sin α,
所以sin α=cos α,即tan α=.
15.答案　
信息提取　①弦图是一个由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形;②直角三角形的两锐角分别为α,β;③小正方形与大正方形的面积之比为1∶25;④求cos(α-β)的值.
数学建模　本题以古代数学文化——弦图为背景,建立三角变换模型,可利用边角之间的关系及两角差的余弦公式求解.
解析　设大正方形的边长为1,由小正方形与大正方形的面积之比为1∶25,得小正方形的边长为,则cos α-sin α=①,sin β-cos β=②.
由题图可得cos α=sin β,sin α=cos β,
①×②可得=cos αsin β+sin αcos β-cos αcos β-sin αsin β=sin2β+cos2β-cos(α-β)=1-cos(α-β),
解得cos(α-β)=.
16.A　因为cos αcos β=-sin αsin β,所以cos αcos β+sin αsin β=,即cos(α-β)=,
又α∈,β∈,
所以α-β∈(-π,0),
所以α-β=-.
17.A　因为α,β∈,sin α=,sin β=,
所以cos α=,
cos β=,
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,而0<α+β<π,所以α+β=.
18.解析　(1)因为0<α<,所以0<α+β<π,
又因为cos(α+β)=-,
所以sin(α+β)=.
(2)因为cos α=,
所以 sin α=,
所以cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=-,
因为0<β<,所以β=.
方法总结　利用两角和与差的余弦公式解决“给值求值”“给值求角”问题的具体策略:
(1)当已知三角函数值的角有两个时,所求角一般表示为这两个角的和或差的形式;
(2)当已知三角函数值的角只有一个时,应着眼于所求角与该角的和或差的关系,然后应用诱导公式把所求角转化为已知角.
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