2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--2.2　复数的乘法与除法(含解析)

中小学教育资源及组卷应用平台
2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第五章　复数
§2　复数的四则运算
2.2　复数的乘法与除法
*2.3　复数乘法几何意义初探
基础过关练
题组一　复数的乘法及运算律
1.(2023广东名校联盟联考)复数z=(1+9i)(8+5i)在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　B.第二象限 C.第三象限　　　D.第四象限
2.(多选题)下面关于复数z=i(-1+i)(i是虚数单位)的叙述中正确的是(　　)
A.z的虚部为-i　　　B.|z|=
C.z2=2i　　　D.z的共轭复数为1+i
3.(2021四川成都树德中学适应性考试)若复数z满足z2=3+4i(i为虚数单位),且z在复平面内对应的点位于第三象限,则|z|为(　　)
A.5　　　B.3　　　C.　　　D.
4.(2022浙江七彩阳光联盟联考)已知复数z=3-2i(i为虚数单位)是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,则p+q=　　　　.
5.已知z∈C,i为虚数单位,解方程z·-3i·=1+3i.
题组二　复数的除法运算
6.(2023辽宁凌源开学抽测)若=2-yi(x,y∈R,i为虚数单位),则x-y=(　　)
A.4　　　B.2　　　C.-4　　　D.-2
7.(多选题)(2022山西晋中平遥二中期中)若复数z满足(1+i)z=3+i(其中i是虚数单位),复数z的共轭复数为,则(　　)
A.|z|=
B.复数z的实部是2
C.复数z的虚部是1
D.复数在复平面内对应的点位于第一象限
8.(2022湖北黄冈月考)若复数z满足z=+i2 022(i为虚数单位),则z的虚部为(　　)
A.-2　　　B.-2i
C.2　　　D.2i
9.已知z1=5+10i,z2=3-4i,,则z=　　　　.
题组三　复数乘法的几何意义
10.设复数z1=3+4i对应的向量为,复数z2=-8+6i对应的向量为,则(　　)
A.将按逆时针方向旋转,再伸长为原来的2倍得到
B.将按顺时针方向旋转,再伸长为原来的2倍得到
C.将按逆时针方向旋转,再压缩为原来的得到
D.将按顺时针方向旋转,再压缩为原来的得到
能力提升练
题组一　复数的混合运算
1.(2021山东青岛第一中学期中)已知i为虚数单位,则下列与i相等的是(　　)
A.　　　B.(1-i)(1+i)
C.　　　D.i+i2+i3+i4+…+i2 021
2.(2022湖北武汉部分重点中学期中)已知i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若z=,则的虚部为(　　)
A.　　　B.i　　　C.-　　　D.-i
3.(多选题)已知复数z=为z的共轭复数,则下列结论正确的是(　　)
A.z的虚部为i
B.|z|=1
C.z3为纯虚数
D.在复平面内对应的点在第四象限
4.若f(n)=(n∈N+),则f(n)的所有取值构成的集合为　　　　.
5.若复数z满足·,且·>0,则|z|=　　　　.
题组二　复数运算中的参数问题
6.(2021湖南永州模拟)复数z=(a-2i)(1+i),a∈R,i是虚数单位.若||=4,则a=(　　)
A.2　　　B.-2　　
C.0　　　D.±2
7.(2022安徽合肥六中期中)设i是虚数单位,若复数(a∈R)的实部与虚部相等,则复数z1=1+i和复数z2=a-4i在复平面内对应的点之间的距离是　　　　.
8.(2022上海丰华高级中学期末)已知复数z是方程x2+2x+2=0的解.
(1)求z;
(2)若Im z>0,且=b-i(a,b∈R,i为虚数单位),求|a+bi|.
9.(2022广东广州外国语学校期中)已知复数z=m-i(m∈R),且·(1+3i)为纯虚数(是z的共轭复数).
(1)求m的值;
(2)若复数在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第五章　复数
§2　复数的四则运算
2.2　复数的乘法与除法
*2.3　复数乘法几何意义初探
基础过关练
1.B 2.BC 3.C 6.B 7.ABD 8.A 10.A
1.B　因为z=(1+9i)(8+5i)=8+5i+72i+45i2=-37+77i,所以z在复平面内对应的点为(-37,77),位于第二象限.
2.BC　因为复数z=i(-1+i)=-1-i,所以z的虚部为-1,故A错误;
|z|=,故B正确;
z2=(-1-i)2=2i,故C正确;
z的共轭复数为-1+i,故D错误.
故选BC.
3.C　设z=a+bi,a,b∈R,
则z2=a2-b2+2abi=3+4i,则a2-b2=3,ab=2,
又z在复平面内对应的点位于第三象限,
所以a=-2,b=-1,即z=-2-i,故|z|=.
故选C.
4.答案　7
解析　解法一:由题意知(3-2i)2+p(3-2i)+q=0,即9-12i+4i2+3p-2pi+q=0,
整理得5+3p+q-(12+2p)i=0,
故故p+q=7.
解法二:由题意得实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个虚根分别为3-2i和3+2i.
由根与系数的关系得
解得故p+q=7.
5.解析　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
原方程即(a+bi)(a-bi)-3(a-bi)i=1+3i,
即a2+b2-3b-3ai=1+3i,
由复数相等的定义得
解得
所以z=-1或z=-1+3i.
方法归纳　简单的复数方程的解法
(1)利用复数的四则运算求解.
(2)利用根与系数的关系求解.
(3)待定系数法:设z=a+bi(a,b∈R),代入方程,利用复数相等的定义列出关于a,b的方程组(复数问题实数化)求解.
6.B　∵=2-yi,∴x-xi=4-2yi,∴x=4,y=2,∴x-y=2.
7.ABD　∵(1+i)z=3+i,∴z=,故A正确;复数z的实部为2,故B正确;复数z的虚部为-1,故C错误;复数在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象限,故D正确.
8.A　由题得z=+i2 020×i2=-1-2i-1=-2-2i.所以z的虚部为-2.故选A.
方法技巧　计算复数的乘积要用到复数单位i的乘方,i有如下性质:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈N.
9.答案　5-i
解析　,
∴z=i.
10.A　因为-8+6i=(3+4i)·2i,所以z2=z1·2i,所以将,再伸长为原来的2倍得到.
能力提升练
1.D 2.A 3.BD 6.D
1.D　=-i,故A不符合;
(1-i)(1+i)=12-i2=1+1=2,故B不符合;
=-i,故C不符合;
i+i2+i3+i4+…+i2 021=[i+(-1)+(-i)+1]+…+[i+(-1)+(-i)+1]+i=i,故D符合.
故选D.
2.A　因为z=i,
所以i,则.
3.BD　由题可得z=i,所以z的虚部为,A错误;
|z|==1,B正确;
因为z=i,所以z3=i=-1,即z3为实数,C错误;
因为z=i,所以i,
所以,位于第四象限,D正确.故选BD.
4.答案　{-2,0,2}
解析　因为f(n)==in+(-i)n=in×[1+(-1)n],
所以当n为奇数时,f(n)=0;
当n为偶数时,f(n)=in×[1+(-1)n]=2in,其值为2或-2.
故f(n)的所有取值构成的集合为{-2,0,2}.
5.答案　
解析　由,
得z·,即|z|2+,
可得|z|=或|z|=.
又>0,
∴z·>2,即|z|2+>2,
∴|z|=或|z|=都满足题意.
6.D　∵z=(a-2i)(1+i)=a+2+(a-2)i,
∴=a+2-(a-2)i,
∴|=4,解得a=±2,
故选D.
7.答案　
解析　,
根据题意得2a-1=a+2,所以a=3,
因此z1,z2在复平面内对应的点之间的距离是|z1-z2|=|(1+i)-(3-4i)|=
|-2+5i|=.
8.解析　(1)x2+2x+2=(x+1)2+1=0,即(x+1)2=-1,
即x+1=±i,解得x=-1±i,即z=-1±i.
(2)由(1)知,z=-1±i,
因为Im z>0,所以z=-1+i,则=-1-i,
所以i=b-i,
所以
所以|a+bi|=|4-i|=.
9.解析　(1)因为复数z=m-i,所以=m+i,
则·(1+3i)=(m+i)·(1+3i)=m-3+(3m+1)i.
因为·(1+3i)为纯虚数,
所以解得m=3.
(2)由(1)知m=3,所以z=3-i,
所以i,
因为复数在复平面内对应的点位于第一象限,
所以解得a>3.
故实数a的取值范围为(3,+∞).
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)