2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第四章　三角恒等变换
§2　两角和与差的三角函数公式
2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
基础过关练
题组一　给角求值问题
1.(2022江西赣州十九校期中联考)sin 78°·cos 18°-cos 78°cos 72°=(　　)
A.　　　B.　　　C.-　　　D.-
2.(2023湖北荆州沙市中学月考)已知α+β=- ,则(1-tan α)·(1-tan β)=(　　)
A.-1　　　B.0　　　C.1　　　D.2
3.(2022江苏苏州沙溪高级中学月考)=(　　)
A.-1　　　B.1　　　C.-　　　D.
4.=　　　　.
题组二　给值求值问题
5.(2021黑龙江佳木斯第一中学三模)已知cos α=-,α∈,则tan的值为(　　)
A.7　　　B.-7　　　C.　　　D.-
6.设向量a=(2tan α,tan β),向量b=(4,-3),且a+b=0,则tan(α+β)等于(　　)
A.　　　B.-　　　C.　　　D.-
7.(2023宁夏银川景博中学期末)已知α∈,β∈,
sin β=,sin(α+β)=,则sin α的值为(　　)
A.　　　B.-　　　
C.　　　D.-
8.已知0<α<<β<π,cos,sin(α+β)=,则sin的值为　　　　.
题组三　给值求角问题
9.(2023河北定州第二中学开学考试)已知sin α=,cos(α+β)=-,则β的值可能为(　　)
A.π　　　B.　　　C.-　　　D.
10.(2022江苏泗阳实验高级中学月考)已知sin α=,且α为锐角,
tan β=-3,且β为钝角,则α+β的值为(　　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.
11.已知α∈,β∈,cos β=-,sin(α+β)=,则α的值为　　　　.
题组四　两角和与差的正切公式的变形及其应用
12.若tan α+tan=3,则tan αtan=(　　)
A.1-　　　B.-1　　　C.　　　D.
13.(2022山东青岛莱西一中月考)
tan 10°+tan 35°+tan 10°tan 35°=　　　　.
14.(2023重庆十八中期末)化简:
=　　　　.
能力提升练
题组　两角和与差的三角函数公式的综合应用
1.已知α∈=-3,则sin α=(　　)
A.　　　B.-　　　
C.　　　D.±
2.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)的值等于(　　)
A.±1　　　B.1　　　
C.-1　　　D.0
3.(2022福建师大附中期中)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2-c2=2b,sin Acos C=3cos Asin C,则b等于(　　)
A.3　　　B.4　　　
C.6　　　D.7
4.(2023云南保山文山州期末)在△ABC中,若tan B+tan C+tan Btan C=,且sin 2B=,则C=(　　)
A.60°　　　B.45°　　　
C.30°　　　D.15°
5.(2023安徽名校开学考试)在△ABC中,已知cos A=,tan B=,则tan(A-C)=(　　)
A.　　　B.-　　　
C.-　　　D.
6.(多选题)(2022云南大理、丽江、怒江第一次统一检测)已知α,β,γ∈,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则下列说法正确的是(　　)
A.cos(β-α)=　　　B.cos(β-α)=-
C.β-α=　　　D.β-α=-
7.(多选题)(2022江西景德镇一中期中)在△ABC中,C=120°,tan A+
tan B=,下列各式中正确的有(　　)
A.A+B=2C　　　B.tan(A+B)=-
C.tan A=tan B　　　D.cos B=sin A
8.(2021江苏南京师范大学苏州实验学校学情调查)已知sin[2(α+γ)]=3sin 2β,则=(　　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.2
9.(2022福建师大附中期中)在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),P(8,6),将向量按顺时针方向旋转后,得到向量,则点Q的坐标是　　　　.
10.(2022湖南师大附中月考)已知=-8,α∈.
(1)求tan α的值;
(2)若β∈,且cos,求α+β的值.
答案与分层梯度式解析
第四章　三角恒等变换
§2　两角和与差的三角函数公式
2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
基础过关练
1.A 2.D 3.D 5.A 6.A 7.C 9.B 10.B
12.A
1.A　sin 78°cos 18°-cos 78°cos 72°=sin 78°cos 18°-cos 78°sin 18°=sin(78°-18°)=sin 60°=.
2.D　因为α+β=-,所以tan(α+β)==-1,
所以tan αtan β-(tan α+tan β)=1,
所以(1-tan α)·(1-tan β)=tan αtan β-(tan α+tan β)+1=2.
3.D　
=
=.
方法总结　利用两角和与差的正弦公式解决非特殊角的三角函数式求值问题的一般思路:
(1)找出所求式子中的三角函数名及角与公式的结构特点有哪些不同.
(2)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式求值.
(3)用诱导公式对角进行转化,使代数式变为符合两角和与差的正弦公式右边的形式,逆用公式求值.
4.答案　
解析　原式==tan(45°+15°)=tan 60°=.
5.A　因为cos α=-,α∈,
所以sin α=,tan α=,
所以tan=7.
故选A.
6.A　由a+b=0得2tan α+4=0,tan β-3=0,所以tan α=-2,tan β=3,所以tan(α+β)=.
7.C　由β∈,sin β=,可得cos β=-.
由α∈,β∈,可得α+β∈,
又sin(α+β)=,所以cos(α+β)=-,
则sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)·sin β=.
8.答案　
解析　因为0<α<<β<π,所以,所以sin>0,cos(α+β)<0.
又因为cos,
所以sin,
所以sin
=sin(α+β)cos
=
=.
9.B　由sin α=,得cos α=±,
而sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)·sin α,
从而sin β=1或sin β=-,
结合选项知只有B符合.
10.B　由题意得cos α=,则tan α=.
所以tan(α+β)==-1.
又α∈,β∈,所以α+β∈,故α+β=.
11.答案　
解析　因为β∈,cos β=-,所以sin β=.因为α∈,β∈,所以α+β∈,又sin(α+β)=,所以cos(α+β)=-,于是sin α=sin(α+β-β)=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=,由于α∈,所以α=.
12.A　解法一:tan α+tan
=tan
=tan
==3,
∴tan αtan.
解法二:tan
=,
所以,
所以tan αtan.
13.答案　1
解析　解法一:tan 10°+tan 35°+tan 10°tan 35°=tan(10°+35°)(1-tan 10°tan 35°)+tan 10°tan 35°=1-tan 10°tan 35°+tan 10°tan 35°=1.
解法二:因为1=tan 45°=tan(10°+35°)
=,
所以tan 10°+tan 35°+tan 10°tan 35°=1.
14.答案　-
解析　原式
=
=
=-tan 30°=-.
能力提升练
1.A 2.D 3.B 4.C 5.C 6.AC 7.CD 8.D
1.A　tan α=tan<0,所以α∈,因为所以sin α=.
2.D　原式=sin[(θ+45°)+30°]+cos(θ+45°)-sin(θ+45°)=0.
3.B　由sin Acos C=3cos Asin C,
得sin Acos C+cos Asin C=4cos Asin C,
所以sin(A+C)=4cos Asin C,即sin B=4cos Asin C,
由正弦定理得b=4c·cos A,
结合余弦定理的推论得b=4c·=2·=2b-4,所以b=4.
4.C　因为tan B+tan C+tan Btan C=,
所以tan B+tan C=(1-tan Btan C),
即tan(B+C)=.
因为B,C为△ABC的内角,所以B+C=60°,
所以0°因为sin 2B=,所以2B=60°,即B=30°,所以C=30°.
5.C　由题意得sin A>0,
因为cos A=,所以sin A=,
所以tan A=.
所以tan C=tan(π-A-B)=-tan(A+B)
=-=-2,
所以tan(A-C)=.
6.AC　由已知得sin γ=sin β-sin α,cos γ=cos α-cos β.两式分别平方并相加,得(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2=1,∴-2cos(β-α)=-1,∴cos(β-α)=,∴A正确,B错误.∵α,β,γ∈,sin γ=sin β-sin α>0,∴β>α,∴β-α∈,又∵cos(β-α)=,∴C正确,D错误.故选AC.
7.CD　由题意得,A+B=60°,
∴2(A+B)=C,tan(A+B)=,∴A,B错误;
∵tan A+tan B=(1-tan A·tan B)=,
∴tan A·tan B=①.
又tan A+tan B=②,
∴联立①②可解得tan A=tan B=,∴A=B=30°,∴cos B=sin A,故C,D正确.故选CD.
8.D　sin[2(α+γ)]=sin[(α+β+γ)+(α-β+γ)]=sin(α+β+γ)cos(α-β+γ)+cos(α+β+γ)sin(α-β+γ),
sin 2β=sin[(α+β+γ)-(α-β+γ)]=sin(α+β+γ)·cos(α-β+γ)-cos(α+β+γ)sin(α-β+γ),
由sin[2(α+γ)]=3sin 2β可得sin(α+β+γ)cos(α-β+γ)=2cos(α+β+γ)sin(α-β+γ),
则=2.
故选D.
9.答案　(-)
解析　设射线OP为角θ的终边,则cos θ=,sin θ=,且||=10,
由题意可知,射线OQ为角θ-的终边,
则coscos θ+sin θ=-,
sinsin θ-cos θ=-,
所以点Q的坐标为,即Q(-).
10.解析　(1)∵=-8,
∴=-8,
解得tan α=.
(2)∵0<β<,又∵cos,
∴cos β=cos,∴sin β=,
∴tan β=,
∴tan(α+β)==1,
∵α∈,β∈,∴α+β∈.
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