2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--2.3　三角函数的叠加及其应用(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第四章　三角恒等变换
§2两角和与差的三角函数公式
2.3　三角函数的叠加及其应用
基础过关练
题组一　利用三角函数的叠加化简
1.2sin θ+2cos θ=(　　)
A.sin　　　B.2
C.2　　　D.
2.cos x+sin x等于(　　)
A.2　　　B.2
C.2　　　D.2
3.将下列各式化为y=Asin(ωx+φ)的形式:
(1)y=3sin x-cos x;
(2)y=sin.
题组二　利用三角函数的叠加求值
4.(2023陕西西安鄠邑期末)等式sin α+cos α=有意义,则m的取值范围是(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
5.(2021四川德阳二模)在平面直角坐标系中,已知点A(2cos 80°,
2sin 80°),B(2cos 20°,2sin 20°),那么|AB|=(　　)
A.2　　　B.2　　　C.2　　　D.4
6.(2022福建南平期末)若sin θ-cos θ=,则cos=(　　)
A.-　　　B.　　　C.　　　D.-
7.若sin,则cos(-x)+cos=　　　　.
8.已知向量a=(sin α,1),b=(3,3cos α-),若a⊥b,则cos等于　　　　.
题组三　三角函数的叠加在函数中的应用
9.(2022天津南开中学期末)若3sin x-cos x=2sin(x+φ),其中0<φ<2π,则φ=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
10.已知函数f(x)=sin x+cos x,且锐角θ满足f(θ)=2,则θ等于(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
11.若函数f(x)=3sin ωx-3cos ωx(ω>0)的最小正周期为4π,则ω的值为(　　)
A.4　　　B.2　　　
C.　　　D.
12.(2022河南信阳期末)函数f(x)=sin 2x-cos 2x的单调递增区间为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
13.(2022河南信阳高级中学期末)对于函数f(x)=sin 2x+cos 2x,有以下四个结论:①f(x)的图象关于点对称;②f(x)在区间上单调递增;③f(x)的图象关于直线x=-对称;④f(x)的最小正周期是π.
其中正确结论的个数是(　　)
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3
14.若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移φ个单位长度后所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是 (　　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.
15.设a=2cos 66°,b=cos 5°-sin 5°,c=2(sin 47°sin 66°-sin 24°sin 43°),则a,b,c的大小关系是　　　　.(用“>”连接)
16.(2023陕西西安周至第六中学开学考试)已知函数f(x)=sin cos x(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)若x∈[0,π],求f(x)的值域.
17.已知函数f(x)=sin x-sin.求:
(1)f的值;
(2)f(x)的单调递增区间.
能力提升练
题组　三角函数叠加的综合应用
1.(2023河南部分重点中学开学联考)已知函数f(x)=sin x+λcos x(λ∈R)的图象关于直线x=-对称,则函数f(x)的最大值为(　　)
A.1　　　B.　　　C.2　　　D.
2.若a=sin 14°-cos 14°,b=sin 16°-cos 16°,c=-,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a>c>b　　　B.a>b>c
C.b>c>a　　　D.b>a>c
3.(多选题)(2023黑龙江佳木斯汤原高级中学开学考试)设函数f(x)=sin 2x-cos 2x,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的一个周期为-π
B.f(x)的图象关于直线x=-对称
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)在[0,2π]上有3个零点
4.(2023江苏无锡江阴高级中学期末)已知函数f(x)=sin x+cos x的定义域为[a,b],值域为[-1,],则b-a的取值范围是(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
5.(2021四川成都双流中学检测)已知函数f(x)=sin+
cos ωx(ω>0)在[0,π]上的值域为,则实数ω的取值范围是　　　　.
6.(2022上海华东师大二附中月考)若等式cos θ-msin θ=2有意义,则实数m的取值范围为　　　　　　　　.
7.已知函数f(x)=sin 2x+cos(x∈R).
(1)求f(x)的最大值;
(2)设g(x)=,则把函数f(x)的图象沿x轴至少向左平移多少个单位长度,才可得到函数g(x)的图象
8.(2022福建福州期中)已知向量a=,设f(x)=a·b.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若关于x的不等式f(x)-m≤0在上恒成立,求m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第四章　三角恒等变换
§2两角和与差的三角函数公式
2.3　三角函数的叠加及其应用
基础过关练
1.C 2.B 4.C 5.A 6.A 9.D 10.A 11.C
12.B 13.C 14.C
1.C　2sin θ+2cos θ=2.
2.B　cos x+sin x=2
=2
=2cos .
3.解析　(1)y=3sin x-cos x
=2
=2
=2.
(2)y=sin
=sin
=
=
=.
4.C　sin α+cos α=2=2sinα+∈[-2,2],则≤2,即|4m-6|≤2|4-m|①,且m≠4,
对①式化简,得|2m-3|≤|4-m|,两边平方得4m2-12m+9≤m2-8m+16,即3m2-4m-7≤0,
解得-1≤m≤.
5.A　|AB|=
=
==2.故选A.
6.A　因为sin θ-cos θ=2sin,
所以sin,
所以cos.
7.答案　-1
解析　由sin可得sin,所以cos(-x)+cos=cos x+cos xcos-sin xsincos x+sin x==-1.
8.答案　
解析　由a⊥b得a·b=0,即3sin α+3cos α-=0,因此sin α+cos α=,即,于是cos,故cosα+=.
9.D　因为3sin x-cos x=2
=2sin(x+φ),
所以φ=-+2kπ,k∈Z,
由于0<φ<2π,
所以φ=-.
故选D.
10.A　f(x)=sin x+cos x=2,因为f(θ)=2,所以2sin=2,所以θ++2kπ,k∈Z,又θ为锐角,所以θ=.
11.C　f(x)=3sin ωx-3cos ωx
=6,
故其最小正周期T==4π,故ω=.
12.B　f(x)=sin 2x-cos 2x=sin,
令-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
13.C　f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,所以f =2sin =1≠0,故①错误;
当x∈时,2x+,故f(x)在上单调递增,故②正确;
f =0≠±2,故③错误;
函数f(x)的最小正周期为=π,故④正确.
故选C.
技巧点拨　对于函数f(x)=asin ωx+bcos ωx的性质问题,常先利用三角函数的叠加公式将其转化为f(x)=sin(ωx±φ)(或f(x)=·cos(ωx±φ))的形式,由此可以很容易地解决它的周期性、最值、单调性等有关问题.
14.C　由题意知f(x)=sin 2x+cos 2x=,将其图象向右平移φ个单位长度后得函数y=的图象,若此图象关于y轴对称,则+kπ,k∈Z,解得φ=-,k∈Z,当k=-1时,φ取得最小正值.
15.答案　b>a>c
解析　因为b=2(cos 60°cos 5°-sin 60°·sin 5°)=2cos 65°,c=2(cos 43°cos 24°-sin 24°sin 43°)=2cos 67°,a=2cos 66°,函数y=2cos x在0°a>c.
16.解析　(1)f(x)=sin cos x=cos sin x+sin cos ,
所以f(x)的最小正周期T==4π.
(2)由(1)得f(x)=sin,
令-+2kπ≤+2kπ,k∈Z,解得-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(3)由(1)知f(x)=sin,
当x∈[0,π]时,,
因此,当,即x=时,f(x)max=f=1;
当,即x=π时,f(x)min=f(π)=.
所以当x∈[0,π]时,函数f(x)的值域为.
17.解析　f(x)=sin x-sin
=sin x-sin xcos -cos xsin
=sin x-sin x-cos x
=sin x-cos x
=sin.
(1)f =sin .
(2)令-+2kπ≤x-+2kπ,k∈Z,
得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
能力提升练
1.C 2.C 3.ABC 4.D
1.C　因为函数f(x)的图象关于直线x=-对称,
所以f(0)=f ,即sin 0+λcos 0=sin,解得λ=-,
所以f(x)=sin x-cos x=2sin,所以f(x)的最大值为2.
2.C　a=sin 14°-cos 14°=sin 31°,b=sin 16°-
cos 16°=sin 29°,c=-sin 30°,由于y=sin x在0°c>a.
3.ABC　f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin.
对于A,f(x)的最小正周期为=π,故kπ(k∈Z)都是f(x)的周期,故-π也为f(x)的一个周期,故A正确;
对于B,令2x-+kπ(k∈Z),得x=(k∈Z),
取k=-1,得x=-,故B正确;
对于C,令2x-=kπ(k∈Z),得x=(k∈Z),取k=0,得x=,故C正确;
对于D,令f(x)=2sin=0,即2x-=kπ(k∈Z),
得x=(k∈Z),故f(x)在[0,2π]上有四个零点,故D错误.
故选ABC.
4.D　f(x)=sin x+cos x=,因为x∈[a,b],所以x+,
令t=x+,则t∈,结合函数y=sin t在一个周期内的图象可知,(b-a)max=,所以b-a的取值范围是.
5.答案　
解析　函数f(x)=sin+cos ωx=sin ωx+cos ωx=,
当x∈[0,π]时,ωx+,
又∵f(x)在[0,π]上的值域为,
∴sin,
∴≤ωπ+,
∴≤ω≤.故答案为.
6.答案　(-∞,-1]∪[1,+∞)
解析　由cos θ-msin θ=2,
得=2,
设=cos φ,=sin φ,
则(cos φcos θ-sin φsin θ)=2,
所以cos(θ+φ)=2,即cos(θ+φ)=,
因为-1≤cos(θ+φ)≤1,所以-1≤≤1,
所以≥2,即m2≥1,解得m≤-1或m≥1.
所以实数m的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞).
7.解析　(1)f(x)=sin 2x+cos=sin 2x+sin 2x+cos 2x=,故f(x)的最大值为.
(2)设把函数f(x)的图象向左平移t(t>0)个单位长度,则得到函数y=sin2x+2t+的图象,令2x+2t+(k∈Z),得t=kπ-(k∈Z),
要使t=kπ-(k∈Z)为最小正数,则取k=1,此时t=,即把函数f(x)的图象沿x轴至少向左平移个单位长度,才可得到函数g(x)的图象.
8.解析　(1)因为向量a=,b=,
所以f(x)=a·b=sin 2x-
=sin 2x-
=sin 2x-cos 2x-sin 2x
=sin 2x-cos 2x=.
令-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)因为关于x的不等式f(x)-m≤0在上恒成立,所以m≥f(x)max,x∈.
易知f(x)在上单调递增,在上单调递减,
所以f(x)max=f ,
所以m≥.故m的取值范围是.
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