2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--2.4　积化和差与和差化积公式(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第四章　三角恒等变换
§2两角和与差的三角函数公式
2.4　积化和差与和差化积公式
基础过关练
题组一　对积化和差与和差化积公式的理解
1.下列各式中不正确的是(　　)
A.sin α+sin β=2sin
B.cos α+cos β=2cos
C.sin α-sin β=2cos
D.cos α-cos β=2sin
2.sin化成和差的形式为(　　)
A.sin(α+β)+sin(α-β)
B.cos(α+β)+sin(α-β)
C.sin(α+β)+cos(α-β)
D.cos(α+β)+cos(α-β)
题组二　利用公式化简、求值、证明
3.sin37.5°cos7.5°的值为(　　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.
4.(2023江西鹰潭一中期中)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°的值是(　　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.
5.(2023江苏宿迁泗阳实验高级中学阶段练习)求值:sin 20°+
sin 40°+sin 60°-sin 80°=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.1
6.若sin α+sin β=,cos α+cos β=,则tan的值为(　　)
A.2　　　B.　　　C.-2　　　D.-
7.若(sin α+sin β)=cos α-cos β,且α,β∈(0,π),则α-β的值等于　(　　)
A.　　　B.-　　　
C.　　　D.-
8.(2022全国专题练习)△ABC中,sin(A+B)+sin Asin B的最大值为(　　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.
9.(多选题)(2022福建龙岩一中月考)已知cos(α+β)=-,cos 2α=-,其中α,β为锐角,则下列判断正确的是(　　)
A.sin 2α=　　　B.cos(α-β)=
C.cos αcos β=　　　D.tan αtan β=
10.化简sin α·sin(60°+α)·sin(60°-α)的结果为　　　　.
11.cos=　　　　.
12.(2022上海华东师范大学第一附属中学期末)利用和差化积与积化和差公式完成下面的问题:已知sin ω1+sin ω2=,cos ω1+cos ω2=,则=　　　　.
13.求下列各式的值.
(1)2cos 50°cos 70°-cos 20°;
(2)sin 80°cos 40°-sin 40°;
(3)sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°;
(4)cos 40°-cos 80°-sin 20°.
14.已知A,B,C为△ABC的内角,求证:sin A+sin B+sin C=4cos cos cos .
题组三　利用公式研究函数的性质
15.(2023福建师范大学附属中学月考)函数f(x)=sin是(　　)
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的非奇非偶函数
D.最小正周期为π的非奇非偶函数
16.函数y=sin在上的最小值为(　　)
A.-　　　B.0　　　C.-1　　　D.-
17.(多选题)函数f(x)=sin的图象的对称轴方程不可能为(　　)
A.x=-　　　B.x=　　　
C.x=　　　D.x=
18.(2023江西师大附中期中)若sin x+sin 3x+sin 5x=a,
cos x+cos 3x+cos 5x=b,则tan 3x=　　　　.(结果用a,b表示)
19.在△ABC中,若B=30°,求cos Asin C的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第四章　三角恒等变换
2.4　积化和差与和差化积公式
基础过关练
1.C 2.B 3.C 4.A 5.C 6.A 7.D 8.C
9.AC 15.D 16.B 17.CD
1.C　
2.B　sinsin+β+sin-β=sin+α+β+sin(α-β)=sin(α-β).
3.C　sin 37.5°cos 7.5°=(sin 45°+sin 30°)=.
4.A　sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°
=[sin 90°+sin(-50°)]-[cos 60°-cos(-40°)]
=sin 50°-cos 40°
=.故选A.
5.C　sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°=2sin 30°cos(-10°)+sin 60°-sin 80°=2××sin 80°+-sin 80°=.故选C.
6.A　由已知得2sin cos ,
2cos cos ,
两式相除得tan =2.7.D　由已知得2sin cos =-2sin ·sin ,由于α,β∈(0,π),所以∈(0,π),故sin ≠0,因此tan .易得cos α-cos β>0,所以α<β,因此,所以,故α-β=-.
8.C　sin(A+B)+sin Asin B=sin(π-C)+[cos(A-B)-cos(A+B)]=sin C+[cos(A-B)-cos(π-C)]=sin C+cos C+cos(A-B)≤sin C+cos C+,其中tan φ=,φ∈,
当且仅当A=B,C=-φ时等号成立,
所以sin(A+B)+sin Asin B的最大值为.
故选C.
9.AC　因为cos(α+β)=-,cos 2α=-,其中α,β为锐角,所以sin(α+β)=,sin 2α=,故A正确;
cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=,故B错误;
cos αcos β=,故C正确;
sin αsin β=,所以tan αtan β=,故D错误.
10.答案　sin 3α
解析　原式=sin α·[-cos(60°+α+60°-α)+cos(60°+α-60°+α)]
=sin α·+cos 2α
=sin α+sin αcos 2α
=sin α+[sin 3α+sin(-α)]
=sin 3α.
11.答案　-
解析　原式=
=
=.
12.答案　-
解析　因为sin ω1+sin ω2=2sin cos ,所以sin cos ,
因为cos ω1+cos ω2=2cos cos ,
所以cos cos ,
则=tan ,
=-tan .
13.解析　(1)2cos 50°cos 70°-cos 20°
=cos(50°+70°)+cos(50°-70°)-cos 20°
=cos 120°+cos 20°-cos 20°=cos 120°
=-.
(2)sin 80°cos 40°-sin 40°
=sin 40°
=(sin 120°+sin 40°)-sin 40°
=sin 120°=.
(3)sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°
=-cos 15°
=-(cos 60°-cos 15°)-cos 15°
=-cos 60°=-.
(4)cos 40°-cos 80°-sin 20°
=-2sin sin sin 20°
=-2sin 60°sin(-20°)-sin 20°
=sin 20°-sin 20°=0.
14.证明　因为A+B+C=π,所以C=π-(A+B),,
所以sin A+sin B+sin C=2sin cos +sin(A+B)
=2sin cos cos
=2sin
=2sin ·2cos cos
=2cos ·2cos cos
=4cos cos cos .
故等式成立.
15.D　f(x)=sin
=sin
=sin+1=,
所以f(x)的最小正周期T==π,
由函数奇偶性的定义知,f(x)为非奇非偶函数.
故选D.
16.B　y=sin
=2sin cos
=2sin 2xcos =sin 2x,
由于x∈,所以2x∈,
则y∈,故函数在上的最小值为0.
17.CD　f(x)=sin
=sin
=2cos sin
=,
令x+=kπ,k∈Z,得x=kπ-,k∈Z,所以f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ-(k∈Z),因此x=和x=不可能是f(x)的图象的对称轴方程.
18.答案　
解析　易得sin 5x+sin x=2sin cos
=2sin 3xcos 2x,
cos 5x+cos x=2cos cos =2cos 3xcos 2x,
则sin x+sin 3x+sin 5x=2sin 3xcos 2x+sin 3x=sin 3x(2cos 2x+1),
且cos x+cos 3x+cos 5x=2cos 3xcos 2x+cos 3x=cos 3x(2cos 2x+1),
故=tan 3x,
故tan 3x=.
19.解析　由于B=30°,所以A+C=150°,因此cos A·sin C=sin 150°-sin(A-C),由A+C=150°,得0°方法总结　与三角形内角有关的三角函数式的取值范围的问题,常利用函数思想将其转化为相应函数的值域问题进行求解.
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