2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--3　从速度的倍数到向量的数乘(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第二章　平面向量及其应用
§3　从速度的倍数到向量的数乘
基础过关练
题组一　向量的数乘运算及其运算律
1.若a=-b(b≠0),则(　　)
A.a和b方向相同,|a|=2|b|
B.a和b方向相同,|b|=2|a|
C.a和b方向相反,|a|=2|b|
D.a和b方向相反,|b|=2|a|
2.(多选题)(2021江苏苏州中学月考)已知m,n是实数,a,b是向量,则下列结论正确的有(　　)
A.m(a-b)=ma-mb
B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b
D.若ma=na,则m=n
3.(2023北京昌平期末)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,则下列各式一定成立的是(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.)
4.(2021河北邯郸九校期中联考)设m是非零向量,μ是非零实数,则下列结论中正确的是(　　)
A.m与μm的方向相反
B.m与μ2m的方向相同
C.|-μm|≥|m|
D.|-μm|≥|μ|m
5.(2022甘肃武威凉州期中)已知=λ,则实数λ=　　　　.
题组二　向量的线性运算
6.=(　　)
A.a-b+2c　　　B.5a-b+2c
C.a+b+2c　　　D.5a+b
7.(2022河南洛阳联考)如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,则=(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
8.(多选题)(2023吉林永吉第四中学期末)已知A,B,C是三个不同的点,=3a-5b,则下列结论正确的是(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.A,B,C三点共线
9.若2(b+c-3x)+b=0,其中a,b,c为已知向量,则向量x=　　　　　　　　.
10.如图所示,在 ABCD中,,M为BC的中点,则=　　　　.(用a,b表示)
题组三　共线(平行)向量基本定理及应用
11.(2022广东名校联盟联考)已知e1,e2是两个不共线的单位向量,a=e1+2e2,b=2e1-ke2,若a与b共线,则k=(　　)
A.2　　　B.4　　　C.-4　　　D.-2
12.(2022福建三明五县联考)已知向量a,b为不共线的向量,且=7a-2b,则一定共线的三点是(　　)
A.A,B,D　　　B.A,B,C
C.B,C,D　　　D.A,C,D
13.已知a,b为不共线的向量,向量=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于(　　)
A.10　　　B.-10　　　C.2　　　D.-2
14.(2023北京昌平期末)如图,在△ABC中,.设=b.
(1)用a,b表示;
(2)若P为△ABC内部一点,且b.求证:M,P,N三点共线.
题组四　直线的向量表示
15.(2023陕西西北工业大学附属中学期末)在△ABC中,点P满足,则(　　)
A.点P不在直线BC上
B.点P在线段CB的延长线上
C.点P在线段BC上
D.点P在线段BC的延长线上
16.已知O,A,B三点不共线,P为平面OAB内一点,且,则(　　)
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上
C.点P在线段AB的反向延长线上
D.点P在射线AB上
17.在△ABC中,点D在边BC的延长线上,且.若A.线段BC上　　　B.线段CD上
C.线段AC上　　　D.线段AD上
18.(2022上海向明中学期末)已知点P在线段P1P2的反向延长线上(不包括端点),且=λ,则实数λ的取值范围是　　　　.
19.证明:若表示向量的有向线段的终点A,B,C共线,则存在实数λ,μ,且λ+μ=1,使得=λ+μ,反之也成立.
能力提升练
题组一　向量的线性运算
1.(2022陕西渭南澄城期末)设e是单位向量,|=3,则四边形ABCD是(　　)
A.梯形　　　B.菱形　　　C.矩形　　　D.正方形
2.(2022江西九江一中期中)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称此图为“赵爽弦图”,它是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若,则=(　　)
A.b　　　B.b
C.b　　　D.b
3.(2021山西名校联考)已知△ABC的重心为O,则向量=(　　)
A.　　　B.
C.-　　　D.-
题组二　共线(平行)向量基本定理及应用
4.(2022广东揭阳普宁期末)如图,在△ABC中,,BE交CF于点P,,则=(　　)
A.2　　　B.　　　
C.　　　D.
5.(2022湖北多校联考)已知D为△ABC所在平面内一点,且,则=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
6.(2022山东临沂一中月考)已知A,B,C是平面内不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足,则P一定为△ABC的(　　)
A.AB边上的中线的三等分点(非重心)
B.AB边的中点
C.AB边上的中线的中点
D.重心
7.(2022江苏常州八校联考)设a,b为两个不共线的向量,=-a+b,若A,B,D三点共线,则k的值为　　　　.
8.(2022湖北宜昌一中、龙泉中学、荆州中学三校联考)如图,在△ABC中,点D在线段BC上,满足,M是AD的中点,过M的直线分别交AB,AC于P,Q两点,记=λ=μ,且λ>0,μ>0.
(1)试用分别表示与;
(2)求λ+2μ的最小值.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面向量及其应用
§3　从速度的倍数到向量的数乘
基础过关练
1.D 2.AB 3.D 4.B 6.A 7.D 8.ABD 11.C
12.A 13.C 15.B 16.D 17.B
1.D
2.AB　由向量数乘的运算律,可知A,B正确;
对于C,由ma=mb,可得m(a-b)=0,所以m=0或a=b,故C错误;
对于D, 由ma=na,可得(m-n)a=0,所以a=0或m=n,故D错误.故选AB.
3.D　由题图知,,故A错误;的长度相等但方向不同,所以,故B错误;,故C错误;),故D正确.
4.B　当μ>0时,m与μm的方向相同,当μ<0时,m与μm的方向相反,A错误;由于μ2>0,故m与μ2m的方向相同,B正确;|-μm|=|μ||m|,由于|μ|与1的大小关系不确定,故|-μm|与|m|的大小关系不确定,C错误;|μ|m是向量,而|-μm|表示实数,两者不能比较大小,D错误.
5.答案　-3
解析　因为,
所以),即,所以λ=-3.
6.A　=(3a-2a)+b-b+(c+c)=a-b+2c.故选A.
7.D　.
8.ABD　由题可得=a-2b,=2a-4b,=a-2b,
∴,故A,B正确,C错误;
由,又A为线段AB,AC的公共点,故A,B,C三点共线,故D正确.
故选ABD.
9.答案　a-b+c
解析　由题知2x-a-b-c+x+b=0,∴x=a-b+c,∴x=a-b+c.
10.答案　b-a
解析　b-a+(a+b)=b-a.
11.C　因为a与b共线,所以b=λa,λ∈R,所以2e1-ke2=λ(e1+2e2),所以解得k=-4.
12.A　=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2(a+2b)=2,又BD与AB有公共点B,所以A,B,D三点共线.故选A.
13.C　∵A,B,D三点共线,∴存在实数λ,使得),∴a-kb=λ(3a-b-2a-b)=λ(a-2b),
∴(1-λ)a+(2λ-k)b=0,∴
14.解析　(1)由题图知,=b-a,
(b-a)+a=b+a.
(2)证明:连接AN,如图.易得a+b-(b-a)=a+b,
又a+b,所以,故M,P,N三点共线.
15.B　由,得,
所以,又BP,CB有公共点B,所以B,P,C三点共线,且点P在线段CB的延长线上,故选B.
16.D　由,得,即,当0<≤1时,点P在线段AB上;当>1时,点P在线段AB的延长线上,所以点P在射线AB上,故选D.
17.B　∵),即,又.又∵-18.答案　(-1,0)
解析　依题意,设(μ∈R,μ<0),
因为,所以,则,故=μ<0,所以-1<λ<0.
19.证明　∵表示向量的有向线段的终点A,B,C共线,
∴存在实数t,使得,
即),即.
令λ=1-t,μ=t,则,且λ+μ=1.
反之,若,(*)
∵λ+μ=1,∴λ=1-μ,
代入(*)式,得,
∴),即,
∴表示向量的有向线段的终点A,B,C共线.
能力提升练
1.B 2.B 3.C 4.A 5.A 6.A
1.B　因为在四边形ABCD中,=3e,=-3e,所以,
所以四边形ABCD是平行四边形,
因为||=|3e|=3|e|=3,||=3,即||,
所以四边形ABCD是菱形.
2.B　,所以,又=a,=b,所以a+b.故选B.
3.C　设E,F,D分别是AC,AB,BC的中点,如图,
因为O是△ABC的重心,
所以.故选C.
4.A　因为B,P,E三点共线,所以,λ∈R,
因为F,P,C三点共线,所以,t∈R,
所以所以x=,所以×4=2.
5.A　设AD的延长线交BC于点E,且,x∈R,
由B,E,C三点共线,可得=1,解得x=,故,则,
所以.故选A.
6.A　如图所示,延长CO交AB于点D,
∵O是△ABC的重心,
∴D为AB的中点,2.
∴,∴P为AB边上的中线的三等分点(非重心).故选A.
7.答案　3
解析　易得=2a+(k+1)b,
因为A,B,D三点共线,所以,
故存在唯一的实数λ,使得,
即a+2b=2λa+λ(k+1)b,
所以
8.解析　(1)由,则.
因为M是AD的中点,
所以,所以.
(2)由,且λ>0,μ>0得,所以.
又因为P,M,Q三点共线,所以=1,
所以λ+2μ=(λ+2μ)·,当且仅当,即λ=μ=时取等号,所以λ+2μ的最小值为.
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