2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--3　复数的三角表示(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第五章　复数
*§3　复数的三角表示
基础过关练
题组一　辐角
1.(2021重庆巴蜀中学期中)复数z=sin 50°-icos 50°的辐角的主值是(　　)
A.50°　　　B.220°　　　
C.310°　　　D.320°
2.若复数z=(a+i)2的辐角的主值是,则实数a的值为(　　)
A.1　　　B.-1　　　
C.-　　　D.-
3.已知z的辐角主值是,则它的共轭复数的辐角主值是　　　　.
题组二　复数的三角形式
4.(多选题)(2021重庆育才中学期中)下列表示复数1+i的三角形式中,正确的是(　　)
A.
B.
C.
D.
5.复数z=4在复平面内对应的点在第　　　　象限.
6.将以下复数表示为三角形式(辐角取主值):
(1).
题组三　复数三角形式的乘除运算
7.(多选题)计算的结果是(　　)
A.实数　　　B.复数　　　C.虚数　　　D.纯虚数
8.设复数2-i和3-i的辐角的主值分别为α和β,则α+β等于(　　)
A.135°　　　B.315°　　　C.675°　　　D.585°
9.设π<θ<,则复数的辐角的主值为(　　)
A.2π-3θ　　　B.3θ-2π　　　C.3θ　　　D.3θ-π
10.设i为虚数单位,n为正整数,θ∈[0,2π).
(1)观察得,(cos θ+isin θ)2=cos 2θ+isin 2θ,(cos θ+isin θ)3=cos 3θ+isin 3θ,(cos θ+isin θ)4=cos 4θ+isin 4θ,……,猜测(cos θ+isin θ)n的结果(直接写出结果);
(2)若复数z=-i,利用(1)的结论计算z10.
题组四　复数三角形式乘除运算的几何意义
11.(多选题)(2021湖南长沙长郡中学月考)已知在正方形OABC中,O是坐标原点,且点B在x轴的上方,向量对应的复数为2+i,则(　　)
A.点B对应的复数为1+3i
B.向量对应的复数为-1+2i
C.向量对应的复数为1+2i
D.|
12.在复平面内,把与复数-2+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转75°,则所得向量对应的复数为　　　　.
答案与分层梯度式解析
第五章　复数
*§3　复数的三角表示
基础过关练
1.D 2.B 4.BD 7.BCD 8.C 9.B 11.ABD
1.D　因为z=sin 50°-icos 50°=cos(90°-50°)-isin(90°-50°)=cos 40°-
isin 40°=cos(360°-40°)+isin(360°-40°)=cos 320°+isin 320°,所以复数z的辐角的主值为320°,故选D.
2.B　因为z=(a+i)2=a2-1+2ai,arg z=,所以所以a=-1.
3.答案　
解析　因为z的辐角主值是,
所以z=r,r>0,
则z的共轭复数,
所以.
4.BD　对于A,=1+i,但是不满足复数的三角形式,故A不正确;
对于B,=1+i,且满足复数的三角形式,故B正确;
对于C,=1+i,但是不满足复数的三角形式,故C不正确;
对于D,=1+i,且满足复数的三角形式,故D正确.
故选BD.
5.答案　一
解析　z=4i,它在复平面内对应的点为(2,2),在第一象限.
6.解析　(1)因为r==2,
cos θ=,sin θ=-,所以θ=,
所以.
(2)原式=2.
7.BCD　=cos+isin=
cos +isin =i,其结果是复数,是虚数,也是纯虚数.故选BCD.
8.C　根据题意有2-i=(cos α+isin α),
3-i=(cos β+isin β),
则(cos α+isin α)·(cos β+isin β)
=5[cos(α+β)+isin(α+β)].
又(2-i)(3-i)=5-5i,
所以cos(α+β)=,
而270°<α<360°,270°<β<360°,
所以α+β=675°.
9.B　=cos 3θ+isin 3θ.
∵π<θ<,故所求复数的辐角的主值是3θ-2π.故选B.
10.解析　(1)(cos θ+isin θ)n=cos nθ+isin nθ.
(2)z=,
由(1)得z10=210=210cos10×+isin10×=210=210cos18π++isin18π+=210cos +
isin =210i.
11.ABD　把绕点O按逆时针方向旋转45°,再把它的模变为原来的,
故向量对应的复数为(2+i)·(cos 45°+isin 45°)=(2+i)(1+i)=1+3i,
即点B对应的复数为1+3i,选项A正确;
把向量绕点O按逆时针方向旋转90°即得向量,
故对应的复数为(2+i)·(cos90°+isin 90°)=(2+i)i=-1+2i,选项B正确;
对应的复数,即(-1+2i)-(1+3i)=-2-i,选项C不正确;
|,选项D正确.
故选ABD.
12.答案　-i
解析　所得向量对应的复数为(-2+2i)·(cos 75°+isin 75°)
=2(cos 135°+isin 135°)·(cos 75°+isin 75°)
=2[cos(135°+75°)+isin(135°+75°)]
=2(cos 210°+isin 210°)
=2
=-i.
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