2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--3　弧度制(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第一章　三角函数
§3　弧度制
基础过关练
题组一　角度与弧度的换算
1.(2021重庆期末)675°用弧度制表示为(　　)
A.
2.(2022广西钦州第四中学月考)弧度等于(　　)
A.30°　　　B.45°　　　C.22.5°　　　D.90°
3.已知α=15°,β=,则α,β,γ,θ,φ的大小关系为　　　　　　.
题组二　弧度制与终边相同的角
4.(多选题)(2022江苏镇江期末)已知角θ与角-的终边相同,则角θ可以是(　　)
A.-
5.(2023吉林长春东北师范大学附属中学段考)将-1 485°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是(　　)
A.π-8π　　　
C.π-10π
6.(2023江西上饶余干中学月考)经过50分钟,钟表的分针转过　　　　弧度的角.
7.把下列各角化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出是第几象限角:
(1)-1 500°;(2);(3)-4.
8.如图,用弧度制表示顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).
题组三　弧度制的应用
9.(2023湖南株洲二中枫溪学校入学考试)已知某扇形的圆心角为,面积为24π,则该扇形的弧长为(　　)
A.π　　　B.2π　　　C.3π　　　D.4π
10.(2022河北邢台期末)已知一扇形的周长为28,则该扇形面积的最大值为(　　)
A.36　　　B.42　　　C.49　　　D.56
11.(2021广东高州第一中学期中)已知扇形的半径为2,面积为π,则该扇形的圆心角的弧度数为　　　　.
12.(2023山东德州期末)如图,直角△POB中,∠PBO=,以O为圆心,OB为半径作圆弧交OP于点A,其中△POB的面积与扇形OAB的面积之比为3∶2,记∠AOB=α,则=　　　　.
能力提升练
题组一　弧度制与终边相同的角
1.把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,则使|θ|最小的θ的值是(　　)
A.-　　　
C.
2.(多选题)(2022福建莆田一中期末)若角α的终边与角γ+的终边相同,角β的终边与角γ-的终边相同,则α-β的值可能是(　　)
A.　　　B.2π　　　
C.
题组二　弧度制的综合应用
3.(2023山东聊城莘县第一中学期末)《九章算术》是我国算术名著,其中有这样一个问题:“今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何 ”意思是说:“现有扇形田,弧长30步,直径长16步,问面积是多少 ”在此问题中,扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A.　　　
C.　　　D.120
4.(2022河南南阳六校一联)如图,已知扇环(圆环被扇形截得的阴影部分)A1B1BA中弧A1B1的长为,弧AB的长为,线段A1A的长为1,O为圆心,则∠AOB=　　　　.
5.(2022浙江金华第一中学期末)分别以等边三角形每个顶点为圆心,边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图,已知某勒洛三角形的一段弧AB的长度为2π,则该勒洛三角形的面积是　　　　.
6.(2023河北石家庄二中月考)已知扇形的圆心角α=60°,α所对弧的长l=6π,则该扇形的面积与其内切圆面积的比值为　　　　.
7.(2022湖北宜春期中)某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成).已知OA=2 m,OB=x m(0(1)求θ关于x的函数解析式;
(2)记铭牌的截面面积为y m2,试问x取何值时,y的值最大 并求出最大值.
答案与分层梯度式解析
第一章　三角函数
§3　弧度制
基础过关练
1.C 2.B 4.BD 5.D 9.B 10.C
1.C　675°=675× rad= rad,故选C.
2.B　 rad==45°,故选B.
3.答案　α<β<γ<θ=φ
解析　解法一(角度化为弧度):α=15°=15×,因为,所以α<β<γ<θ=φ.
解法二(弧度化为角度):β==18°,γ=1≈57.30°,φ==105°,因为15°<18°<57.30°<105°,所以α<β<γ<θ=φ.
4.BD　易得θ=-+2kπ,k∈Z,当k=1时,θ=,当k=3时,θ=,故选BD.
5.D　因为-1 485°=-5×360°+315°,360°=2π rad,315°=π rad,所以-1 485°可化成π-10π.故选D.
6.答案　-
解析　钟表的分针匀速旋转一周的弧度数为2π,经过的时间为60分钟,所以分针匀速旋转一分钟的弧度数为2π÷60=,那么经过50分钟,分针旋转的弧度数为50×,又是按顺时针方向旋转,所以转过-弧度的角.
7.解析　(1)∵-1 500°=-1 800°+300°=-5×360°+300°,360°=2π,300°=,
∴-1 500°可化成-10π+,是第四象限角.
(2),是第四象限角.
(3)-4=-2π+(2π-4),是第二象限角.
8.解析　题图(1)中,∵330°角与-30°角的终边相同,-30°=-,∴所求角(记为α)的集合为α2kπ-≤α≤2kπ+,k∈Z.
题图(2)中,∵30°=,
∴所求角(记为β)的集合为β≤β≤kπ+,k∈Z.
9.B　设扇形的半径为r,则扇形的面积S=r2=24π,解得r=24(负值舍去),所以该扇形的弧长l=r=2π.故选B.
10.C　设扇形的半径为R,弧长为l,由题意得2R+l=28,则扇形的面积S=R(28-2R)=-R2+14R=-(R-7)2+49≤49,所以该扇形面积的最大值为49.故选C.
11.答案　
解析　设扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为θ,则r=2,
由扇形的面积公式可得×l×2=π,解得l=π.
所以圆心角θ=.
方法总结　与扇形有关的计算问题,通常涉及四个量:半径r,圆心角α,弧长l,面积S.已知其中的任意两个量可求其余两个量.
12.答案　
解析　设扇形OAB的半径为r,则扇形OAB的面积为αr2.
在直角△POB中,PB=rtan α,
则△POB的面积为r·rtan α.
由题意知,,所以.
能力提升练
1.A 2.AC 3.A
1.A　∵-与-是终边相同的角,且此时-=是最小的.
2.AC 　由题意得α=γ++2k1π,k1∈Z,β=γ-+2k2π,k2∈Z,则α-β=+2nπ,n∈Z,故角α-β为与角终边相同的角.结合选项知选AC.
3.A　由题意得,扇形的弧长l=30步,半径R=8步,
所以扇形的面积S=×30×8=120(平方步),
设扇形的圆心角的弧度数为α,则S=αR2,
即120=α×82,解得α=.故选A.
4.答案　
解析　设OA1=r,∠AOB=θ,
依题意,得
所以∠AOB=.
5.答案　18π-18
解析　由弧长公式可得·AB=2π,可得AB=6,所以由弧AB和线段AB所围成的弓形的面积为,故该勒洛三角形的面积为3×(6π-9.
6.答案　
解析　扇形的圆心角α=60°=,
设扇形的半径为R,因为α所对弧的长l=6π,
所以有R·=6π R=18,故扇形的面积为×6π×18=54π.
设扇形内切圆的圆心为O,半径为r,如图所示:
显然∠APO=,OA=OB=r,PB=R=18,
由sin∠APO=,所以r=6,
所以扇形内切圆的面积为π·62=36π,
因此该扇形的面积与其内切圆面积的比值为.
7.解析　(1)根据题意,可得l=xθ m,l=2θ m.
因为BA+CD+l=6 m,
所以(2-x)+(2-x)+xθ+2θ=6,
所以θ=(0(2)根据题意,可知y=S扇形OAD-S扇形OBC=θx2(0所以y=-x2+x+2=-(0所以当x=时,ymax=.
因此,当x=时,y的值最大,且最大值为 .
方法技巧　解决有关扇形的面积或周长的最值问题,常构造函数,利用函数思想求解,即把扇形的面积或周长构造成关于半径或圆心角的函数,再通过探讨函数的最值加以解决.
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