2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--3.1　二倍角公式(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第四章　三角恒等变换
§3　二倍角的三角函数公式
3.1　二倍角公式
基础过关练
题组一　二倍角的正弦公式
1.4sin 15°cos 15°=(　　)
A.　　　B.1　　　C.　　　D.
2.(2021黑龙江哈九中五模)已知点P是角α的终边与单位圆的交点,则sin 2α=(　　)
A.　　　B.-　　　C.-　　　D.
3.(2023上海金山中学月考)已知sin α-cos α=-,
则sin 2α=　　　　.
4.已知cos,x∈,则sin 2x=　　　　.
题组二　二倍角的余弦公式
5.(2023河北邢台期末)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-2,3),则cos 2α=(　　)
A.　　　B.-　　　C.　　　D.-
6.sin +cos ·=(　　)
A.　　　B.-　　　C.　　　D.-
7.(2021黑龙江大庆中学一模)若cos,则sin 2α=(　　)
A.-　　　B.　　　C.　　　D.
题组三　二倍角的正切公式
8.(2023北京清华大学附中永丰学校期中)已知tan 2α=,
那么tan α=(　　)
A.-　　　B.　　　C.-2　　　D.-2或
9.(2023安徽黄山期末)已知,则tan 2α=(　　)
A.　　　B.1　　　C.　　　D.-
10.若=-4,则tan 2θ等于　　　　.
11.已知α,β均为锐角,且tan α=7,cos β=,则α+2β=　　　　.
题组四　二倍角公式的综合应用
12.(2023湖北黄冈黄梅国际育才高级中学月考)已知sin ,cos ,则角θ的终边所在的象限是(　　)
A.第一象限　　　B.第二象限
C.第三象限　　　D.第四象限
13.(2023广东省部分学校大联考)已知tan θ+=6,则sin 2θ=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
14.(2021江苏南京二十九中阶段测试)已知p:sin α+cos α=,q:sin 2α=-,则p是q的　(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
15.(2022湖南湘潭重点高中联考)函数f(x)=2sin x-cos 2x(x∈R)的最大值为(　　)
A.-　　　B.1　　　
C.3　　　D.4
16.(2023黑龙江哈尔滨第三中学校模拟)已知向量a=(-2,
cos α),b=(1,sin α),且a∥b,则=(　　)
A.　　　B.　　　
C.-　　　D.-
17.(2022上海宝山中学期中)若关于x的方程a=cos 2x+sin x有实数解,则实数a的取值范围为　　　　.
18.求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2A·cos 2B.
19.(2023湖北荆州沙市中学月考)已知f(x)=sin x,x∈.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)的值域.
20.已知函数f(x)=5sin2x-4sin xcos x.
(1)求f;
(2)若f(α)=5,α∈,π,求角α.
能力提升练
题组一　给角求值问题
1.(多选题)(2022江苏南通一调)下列等式正确的是　(　　)
A.(sin15°-cos15°)2=
B.sin267.5°-cos267.5°=-
C.cos24°cos36°-cos66°cos54°=
D.sin40°(tan10°-
2.=(　　)
A.　　　B.1　　　
C.　　　D.2
3.(2023云南昆明官渡期末)数学可以刻画现实世界中的和谐美,人体结构、建筑物、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关,古希腊的毕达哥拉斯学派发现了黄金分割常数(约为0.618),该值也可用三角函数m=2sin 18°来表示,则=(　　)
A.2　　　B.　　　
C.-2　　　D.-
4.cos ·cos =　　　　.
题组二　给值求值问题
5.(2022江苏扬州期中)已知sin,则sin的值是(　　)
A.　　　B.-　　
　C.　　　D.-
6.(2021广东惠州月考)在平面直角坐标系中,角θ的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转后经过点(-1,),则tan=(　　)
A.-　　　B.-　　　C.　　　D.0
7.(2021江苏宜宾江安高级中学期中)已知2+5cos 2α=
cos α,cos(2α+β)=,α∈,β∈,则cos β的值为(　　)
A.-　　　B.　　　
C.-　　　D.
8.若tan α=(1-tan 20°)·sin 80°,则下列可能是α的是(　　)
A.20°　　　B.40°　　　
C.50°　　　D.70°
9.(2022湖南邵阳二中月考)若α∈,且cos2α+cos,则tan 2α=　　　　.
10.(2022四川宜宾期末)已知cos(α+β)·cos+sin(α+β)sin,则sin=　　　　.
11.(2023湖北十七所重点中学联考)已知多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4满足对任意θ∈R,f(cos θ)=2cos 4θ+cos 3θ,则a1-a2+a3-a4=　　　　.(用数字作答)
12.(2023陕西西安周至第六中学开学考试)求解下列问题:
(1)已知cos α=-,且tan α>0,求的值;
(2)求值:sin 10°sin 50°sin 70°.
题组三　二倍角公式的综合应用
13.(2023江苏连云港调研)若函数f(x)=sin 2x+2cos2x+m在区间上的最大值为6,则常数m的值为(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
14.已知a=,b=cos 330°,c=,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.c>a>b　　　B.c>b>a
C.a>c>b　　　D.b>a>c
15.(多选题)(2022江苏苏州中学月考)已知f(x)=4cos xcos,则下列说法中正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)在上单调递减
C.是函数f(x)图象的一个对称中心
D.函数f(x)的图象可以由函数y=cos+1图象上各点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到
16.(2022河南信阳期末)“分离参数法”是数学中常用的解题方法,例如,已知含参数λ的方程f(x,λ)=0有解的问题,可分离出参数λ,将方程化为F(λ)=g(x),根据g(x)的值域,求出F(λ)的范围,进而求出λ的取值范围.已知x∈,若关于x的方程(λ+1)sin x+cos 2x+2=0有解,则实数λ的取值范围为　　　　.
17.(2022湖北华中师大一附中期中)
已知函数f(x)=cos 2x+sin x.
(1)解不等式:f(x)≥;
(2)若△ABC为锐角三角形,O为其外心,BC=2,f ,令t=·,求实数t的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第四章　三角恒等变换
§3　二倍角的三角函数公式
3.1　二倍角公式
基础过关练
1.B 2.C 5.D 6.C 7.C 8.D 9.D 12.C
13.B 14.A 15.C 16.A
1.B　4sin 15°cos 15°=2sin 30°=1.
2.C　由三角函数的定义可得sin α=,cos α=-,
所以sin 2α=2sin αcos α=2×.
故选C.
3.答案　
解析　因为(sin α-cos α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-sin 2α=,
所以sin 2α=1-.
4.答案　-
解析　因为x∈,所以x-,
所以sin,
所以sin x=sincos sin ,所以cos x=-,
所以sin 2x=2sin xcos x=-.
5.D　由已知得,sin α=,cos α=.
解法一:cos 2α=cos2α-sin2α=.
解法二:cos 2α=1-2sin2α=1-2×.
解法三:cos 2α=2cos2α-1=2×.
6.C　=
-cos .
7.C　∵, ∴sin 2α=cos
=2cos2.故选C.
8.D　因为tan 2α=,
所以2tan2α+3tan α-2=0,
即(tan α+2)(2tan α-1)=0,得tan α=-2或tan α=.故选D.
9.D　因为 ,所以tan α=2,
则tan 2α=.
10.答案　4
解析　=-tan 2θ=-4,故tan 2θ=4.
11.答案　
解析　因为β为锐角,且cos β=,所以sin β=,所以tan β=,从而tan 2β=.
因为β为锐角,且tan 2β>0,所以0<2β<,又α为锐角,所以0<α+2β<π,
又tan(α+2β)==-1,所以α+2β=.
12.C　∵sin θ=2sin cos <0,
cos θ=cos2<0,
∴角θ的终边所在的象限是第三象限.
13.B　因为tan θ+=6,所以=6,所以sin 2θ=.
14.A　p:sin α+cos α=,两边平方得(sin α+cos α)2=,即sin2α+2sin αcos α+cos2α=,
则1+sin 2α=,所以sin 2α=-,
q:sin 2α=-,即sin2α+2sin αcos α+cos2α=,
则(sin α+cos α)2=,即sin α+cos α=±,
所以p是q的充分不必要条件.故选A.
15.C　f(x)=2sin x-cos 2x=2sin2x+2sin x-1=2,
∵-1≤sin x≤1,∴当sin x=1时, f(x)取得最大值3.故选C.
16.A　由题意得,-2sin α=cos α,所以tan α=-,
所以.故选A.
17.答案　
解析　cos 2x+sin x=-2sin2x+sin x+1
=-2,
因为sin x∈[-1,1],
所以-2,
因为关于x的方程a=cos 2x+sin x有实数解,
所以实数a的取值范围为.
18.证明　左边=
=
=(cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B)=cos 2Acos 2B=右边,
∴原等式成立.
19.解析　(1)由已知得,f(x)=cos2x+cos xsin x
=sin 2x=cos 2x+sin 2x+
=sin.
因为x∈,所以2x+.
结合正弦函数的性质可知,当2x+,即x∈时,f(x)单调递减;
当2x+,即x∈时,f(x)单调递增.
故f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)由(1)得,f(x)min=f-1,
f(x)max=max.
则f(x)的值域为.
20.解析　f(x)=5sin2x-4sin xcos x
=5sin2x-2sin 2x-4sin2x
=5-2sin 2x-2(1-cos 2x)
=3-2sin 2x+2cos 2x
=3
=3
=3.
(1)f-4sin -4.
(2)由f(α)=5,得3,整理得sin.
由α∈,得2α-,
∴2α-,即α=.
能力提升练
1.AC 2.B 3.C 5.B 6.C 7.B 8.A 13.C
14.C 15.ABC
1.AC　(sin 15°-cos 15°)2=1-2sin 15°cos 15°=1-sin 30°=,A正确;
sin267.5°-cos267.5°=-cos 135°=,B错误;
cos 24°cos 36°-cos 66°cos 54°=cos(90°-66°)cos 36°-cos 66°cos(90°-36°)=sin 66°cos 36°-cos 66°·sin 36°=sin(66°-36°)=sin 30°=,C正确;
sin 40°(tan 10°-)=sin 40°
=
=
=-=-1,D错误.
2.B　原式==1.
3.C　
=
==-2.
4.答案　
解析　cos ·cos
=
=.
解题模板　对于给角求值问题,通常先考虑式子中三角函数的名称,以及三角函数式的运算结构,从中找出解题的突破口,如本题中的运算结构是余弦的乘积形式,且其中的两角具有倍数关系,故可将分子、分母同乘最小角的正弦值,连续运用二倍角的正弦公式求解.
5.B　sin
=-cos
=2sin2.
6.C　由题意知,旋转后终边对应的角为θ+,
则tan,
所以tan.
奇思妙解　注意终边绕坐标原点旋转后过点(-1,),而(k∈Z),因此可取特殊值,即原来的角θ的终边按逆时针方向旋转,故原角θ可取特殊值,所以tan2θ+=tan.故选C.
7.B　∵2+5cos 2α=cos α,∴10cos2α-cos α-3=0,
∴cos α=-或cos α=,
∵α∈,∴cos α=,∴sin α=,sin 2α=2×,cos 2α=cos2α-sin2α=-,∴2α∈.
∵β∈,∴2α+β∈(2π,3π).
∵cos(2α+β)=,
∴cos β=cos(2α+β-2α)
=cos(2α+β)cos 2α+sin(2α+β)sin 2α
=.故选B.
8.A　(1-tan 20°)·sin 80°
=(1-tan 20°)·(sin 60°cos 20°+cos 60°sin 20°)
=cos 20°-sin 20°+sin 20°-
=cos 20°-sin 20°-
=-sin 20°=-sin 20°
==tan 20°,
则有tan α=tan 20°,结合选项可知α可能为20°.
9.答案　-
解析　∵cos2α+cos=cos2α+sin 2α=,
∴tan α=3或tan α=-,
又α∈,∴tan α=3,
∴tan 2α=.
10.答案　-
解析　因为cos(α+β)cos+sin(α+β)·sin,
所以cos,
即cos,
所以cos,
即cos,
所以sin
=cos.
11.答案　1
解析　由题意得,
f(cos θ)=2cos 4θ+cos 3θ
=2(2cos22θ-1)+cos θcos 2θ-sin θsin 2θ
=4(2cos2θ-1)2-2+cos θ(2cos2θ-1)-2sin2θcos θ
=4(4cos4θ-4cos2θ+1)-2+2cos3θ-cos θ-2(1-cos2θ)·cos θ
=16cos4θ-16cos2θ+2+2cos3θ-cos θ-2cos θ+2cos3θ
=2-3cos θ-16cos2θ+4cos3θ+16cos4θ,
又f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,
所以a0=2,a1=-3,a2=-16,a3=4,a4=16,
∴a1-a2+a3-a4=-3-(-16)+4-16=1.
12.解析　(1)因为cos α=-,且tan α>0,所以α为第三象限角,
故sin α=-,
则tan α=.
原式==tan α+.
(2)sin 10°sin 50°sin 70°=sin 10°cos 40°cos 20°=.
13.C　f(x)=sin 2x+2cos2x+m=sin 2x+cos 2x+m+1=2sin+m+1,
当0≤x≤时,≤2x+,
则当2x+时,函数f(x)取得最大值,为2sin +m+1=m+3=6,解得m=3.
14.C　因为tan 45°=1,所以a==tan 61°>
tan 45°=1.
b=cos 330°=cos(-30°+360°)=cos 30°.
c==cos 29°.
由函数y=cos x的性质可知1>cos 29°>cos 30°,
所以a>c>b.故选C.
15.ABC　由于f(x)=4cos xcos=4cosx·sin 2x=cos 2x+1-
sin 2x=2cos+1,所以最小正周期T==π,故A正确;当x∈时,2x+,所以f(x)在上为减函数,故B正确;令2x+,k∈Z,当k=1时,x=,故为f(x)图象的一个对称中心,故C正确;函数f(x)的图象可以由函数y=cos图象上各点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到,而函数y=cos+1图象上各点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的是函数y=2cos+2的图象,故D错误.
16.答案　(-∞,-2]
解析　∵x∈,∴sin x∈(0,1].
∵(λ+1)sin x+cos 2x+2=0,
∴(λ+1)sin x+3-2sin2x=0,
∴λ+1==2sin x-,
令t=sin x,则t∈(0,1],
易知y=2t-在(0,1]上单调递增,则y≤2-3=-1,∴λ+1≤-1,解得λ≤-2,
故实数λ的取值范围为(-∞,-2].
17.解析　f(x)=cos 2x+sin x=cos 2x+cos xsin x=
sin 2x+cos 2x=.
(1)令,则sin,
∴+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,
∴kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故原不等式的解集为,k∈Z.
(2)∵f=sin2+=,∴sin∠BAC=,
又0<∠BAC<,∴∠BAC=.
∵O为△ABC的外心,∴t=·(AB2,
由正弦定理可知,
则AC=sin B,AB=sin C,
∴t=sin2B-sin2-B=sin B+sin·sin B-sin=2sinB+·cos-2cosB+·sin-=sin-sin,
∵△ABC为锐角三角形,∠BAC=,
∴,
∴-,∴-2∴实数t的取值范围是(-2,2).
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