2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--3.2　半角公式(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第四章　三角恒等变换
§3　二倍角的三角函数公式
3.2　半角公式
基础过关练
题组一　半角的正弦公式
1.已知cos 2α=-,且α∈,则sin α的值为　　(　　)
A.　　　B.　　　
C.-　　　D.-
2.若tan α=,且α为第一象限角,则sin =(　　)
A.　　　B.±　　　C.　　　D.-
3.化简=(　　)
A.cos 10°　　　B.sin 10°
C.2sin 10°-cos 10°　　　D.2cos 10°-sin 10°
题组二　半角的余弦公式
4.(2022甘肃玉门油田第一中学期中)已知α∈,sin α=,则cos=(　　)
A.-　　　B.　　　C.-　　　D.
5.(2021安徽蚌埠第三中学月考)若-2π<α<-,则化简的结果是(　　)
A.sin 　　　B.cos
C.-sin 　　　D.-cos
6.已知3π<α<4π,则=(　　)
A.sin 　　　B.-sin 　　　C.cos 　　　D.-cos
7.若α为钝角,β为锐角,且sin α=,sin β=,则cos =　　　　.
题组三　半角的正切公式
8.若270°<α<360°且cos α=,则tan=(　　)
A.-　　　B.　　　
C.-　　　D.
9.若tan=-2,则等于(　　)
A.　　　B.-　　　C.2　　　D.-2
10.已知f(x)=,若α∈,则f(cos α)+f(-cos α)=(　　)
A.　　　B.-
C.-　　　D.
题组四　半角公式的综合应用
11.(2023四川泸州泸县教育共同体模拟)已知cos(π+θ)=,若θ是第二象限角,则tan =(　　)
A.2　　　B.　　　C.-　　　D.
12.(2022江苏南京师范大学附属中学期中)若sin θ=<θ<3π,则tan=(　　)
A.3+　　　B.3-　　　
C.3+　　　D.3-
13.(2021湖南三湘名校教育联盟期中)等腰三角形中底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形,它是最美的三角形.正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成,且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形,如图所示,在黄金三角形ABC中,.根据这些信息,可得cos 324°的值为(　　)
A.　　　B.-　　　
C.　　　D.
14.(2022北京海淀实验中学期中)在△ABC中,若sin Bsin C=cos2 ,则△ABC是(　　)
A.等边三角形　　　B.等腰三角形
C.直角三角形　　　D.等腰直角三角形
15.(多选题)已知函数f(x)=(cos x+1-sin2x)·tan,则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的最小正周期为2π
C.f(x)是奇函数
D.f(x)是偶函数
16.(2023陕西宝鸡三模)若α∈(0,π),且sin α+2cos α=2,则tan 等于(　　)
A.3　　　B.2　　　
C.　　　D.
17.(2023上海交通大学附属中学月考)若一个等腰三角形的顶角的正弦值为,则其底角的余弦值为　　　　.
18.化简:(其中180°<α<360°).
19.(2022鄂西北六校联考)已知cos,α∈,β∈.
(1)求sin(α+β)的值;
(2)求tan的值.
答案与分层梯度式解析
第四章　三角恒等变换
§3　二倍角的三角函数公式
3.2　半角公式
基础过关练
1.B 2.B 3.A 4.A 5.D 6.D 8.A 9.B
10.D 11.B 12.B 13.A 14.B 15.BC 16.C
1.B　∵α∈,∴sin α>0,又cos 2α=-,
∴sin α=.
2.B　因为α为第一象限角,且tan α=,所以cos α=,且是第一或第三象限角.当是第一象限角时,sin ;当是第三象限角时,sin .故sin .
3.A　
=+sin 10°
=|sin 10°-cos 10°|+sin 10°
=cos 10°-sin 10°+sin 10°=cos 10°.
4.A　由α∈,得cos α=-,
∵>0,
∴cos,
∴cos.
5.D　.
∵-2π<α<-,
∴cos<0,∴原式=.
故选D.
6.D　因为3π<α<4π,所以<π,
于是=
=cos =-cos .
7.答案　
解析　由已知得cos α=-,cos β=,
因此cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=,
又,
所以0<α-β<π,0<,
故cos .
8.A　因为270°<α<360°,所以135°<<180°,
所以tan.
9.B　因为tan=-2,所以.
10.D　因为α∈,所以,
所以f(cos α)+f(-cos α)=
=tan+.
11.B　因为cos(π+θ)=,所以cos θ=-,
又θ是第二象限角,所以sin θ=,
所以tan .
12.B　因为sin θ=<θ<3π,
所以cos θ=-,
所以cos<0,tan =3,
所以cos,
所以tan.
13.A　在等腰△ABC中,cos 72°=,
∴cos 324°=cos 36°=.
14.B　∵sin Bsin C=cos2 ,∴sin Bsin C=,
∴2sin Bsin C=1+cos A,
∴2sin Bsin C=1+cos[π-(B+C)]=1-cos(B+C),
∴2sin Bsin C=1-cos Bcos C+sin Bsin C,
∴cos Bcos C+sin Bsin C=1,即cos(B-C)=1.
又∵-π∴B=C,∴△ABC是等腰三角形.无法判断△ABC是不是等边三角形或直角三角形.故选B.
15.BC　由题意得≠kπ+(k∈Z),即x≠2kπ+π(k∈Z),故f(x)的定义域为{x∈R|x≠π+2kπ,k∈Z},关于原点对称.f(x)=(cos x+1-sin2x)tan=
(cos x+cos2x)·sin 2x,则f(-x)=-·sin 2x,所以f(x)+f(-x)=0,所以函数f(x)是奇函数.由于f(0)=0,f(π)不存在,所以f(x)的最小正周期不是π,而是2π.
16.C　∵α∈(0,π),∴,
设tan =x,则x>0.
易得sin α=,cos α=,
∴sin α+2cos α==2,
即x+1-x2=1+x2,即x(2x-1)=0,所以x=.故选C.
17.答案　
解析　设顶角为α,则α∈(0,π),sin α=,
cos α=±,
∴sin ,即sin 或sin ,则此等腰三角形的底角的余弦值为cos=sin 或cos.
18.解析　原式=
=
=
=.
因为180°<α<360°,
所以90°<<180°,
所以cos <0,
所以原式=cos α.
19.解析　(1)∵-α<0,
又∵cos,
∴sin.
∵,
又∵sin,
∴cos.
∵+α+β,
∴sin(α+β)=sin
=-cos
=-cos
=-.
(2)∵cos(cos α+sin α)=,
∴cos α+sin α=①,将①式两边平方并整理,得1+2sin αcos α=,
∴2sin αcos α=-,
∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,
∵,∴sin α-cos α>0,
∴sin α-cos α=②.
由①和②得sin α=,cos α=-.
∴tan.
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