2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第一章　三角函数
§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
基础过关练
题组一　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
1.(2022北京东城期末)在平面直角坐标系xOy中,已知sin α=-,
cos α=,那么角α的终边与单位圆O的交点坐标为(　　)
A.　　　B. C.　　　D.
2.(2023山东临沂平邑第一中学期末)已知角α的顶点在坐标原点,始边在x轴非负半轴上,且角α的终边上有一点P(1,-2),则sin α=(　　)
A.　　　B.-　　　C.　　　D.-
3.(2021辽宁葫芦岛期末)已知角θ的终边经过点P(4,m),且sin θ=,则m等于(　　)
A.-3　　　B.3　　　C.　　　D.±3
4.(2022四川成都外国语学校月考)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线3x-y=0上,求角α的余弦值.
题组二　正弦、余弦函数值的符号及特殊角的三角函数值
5.(2023天津实验中学期末)已知角θ的终边在第二象限,则(　　)
A.sin θ>0,cos θ>0　　　
B.sin θ>0,cos θ<0
C.sin θ<0,cos θ>0　　　
D.sin θ<0,cos θ<0
6.(多选题)下列各三角函数值为负的是(　　)
A.sin(-100°)　　　B.cos(-220°)
C.sin(-10)　　　D.cos 0
7.(2022湖北石首一中月考)若点P的坐标为(cos 2 021°,sin 2 021°),则点P在(　　)
A.第一象限　　　B.第二象限
C.第三象限　　　D.第四象限
8.cos =(　　)
A.　　　B.-　　　
C.　　　D.-
9.已知角α的终边经过点(3a,a+5),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围为　　　　.
题组三　正弦函数与余弦函数的基本性质及其应用
10.(2023上海建平中学期末)条件甲:sin x=sin y是条件乙:x=y的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.函数y=cos x-1的最大值为　　　　.
12.函数y=2sin x≤x<的值域是　　　　.
13.函数y=的定义域为　　　.
能力提升练
题组一　正弦函数、余弦函数的定义及其应用
1.(2022河南大联考三测)已知角θ以坐标原点为顶点,以x轴的非负半轴为始边,终边经过点(2a-1,a+2),且cos θ=,则实数a的值是(　　)
A.2　　　B.　　　
C.-　　　D.-
2.(2022四川凉山州宁南中学月考)若α是第三象限角,且,则的终边所在的象限是(　　)
A.第一象限　　　B.第二象限
C.第三象限　　　D.第四象限
3.(多选题)(2022重庆八中月考)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(m,1-m),若m>0,则下列各式的符号无法确定的是(　　)
A.sin α　　　B.cos α
C.sin α-cos α　　　D.sin α+cos α
4. (2021陕西渭南二模)大数学家高斯在19岁时,解决了困扰数学界达千年之久的圆内接正十七边形的尺规作图问题.设α是圆内接正十七边形的一个内角,则下列结论正确的是　(　　)
A.cos α>0　　　B.sin α<0
C.cos 2α>0　　　D.sin 2α>0
5.(2021广东广州二模)已知第二象限角θ的终边上有两点
A(-1,a),B(b,2),且cos θ+3sin θ=0,则3a-b=(　　)
A.-7　　　B.-5　　　
C.5　　　D.7
6.(2023海南海口第一中学月考)已知角α的顶点为原点O,始边与x轴的非负半轴重合.若角α的终边过点P(-,y),且sin α=y(y≠0).
(1)判断角α的终边所在的象限;
(2)求cos α和tan α的值.
题组二　正弦函数、余弦函数的性质及其应用
7.(2023天津第二新华中学期末)满足方程sin x=-的x的取值集合为(　　)
A.
B.
C.
D.
8.函数y=2-3cos x的单调递减区间是　　　　　　.
9.(2022河南名校大联考)函数y=的定义域为　　　　　　　.
10.已知点P在第一象限,在[0,2π)内,求α的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第一章　三角函数
§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
基础过关练
1.A 2.D 3.B 5.B 6.AB 7.C 8.B 10.B
1.A　
2.D　因为角α的终边过点P(1,-2),
所以sin α=,故选D.
3.B　由题得sin θ=,解得m=3.
4.解析　设角α的终边与单位圆的交点为(x,y),则x2+y2=1,又3x-y=0,∴
则cos α=x=±.
5.B　因为角θ的终边在第二象限,所以sin θ>0,cos θ<0.故选B.
6.AB　因为-100°是第三象限角,所以sin(-100°)<0;
因为-220°是第二象限角,所以cos(-220°)<0;
因为-10∈,所以-10是第二象限角,所以sin(-10)>0;
cos 0=1>0.
故选AB.
方法总结　已知角α的大小判断sin α,cos α的符号的一般步骤:
(1)把角α化为β+k·360°(0°≤β<360°,k∈Z)或β+2kπ(0≤β<2π,k∈Z)的形式;
(2)根据(1)确定角α的终边所在的象限;
(3)根据角α的终边所在的象限确定sin α,cos α的符号.
7.C　2 021°=360°×5+221°,而221°角是第三象限角,故sin 2 021°<0,cos 2 021°<0,故点P在第三象限.故选C.
8.B　如图,以原点为角的顶点,x轴的非负半轴为始边,逆时针旋转,与单位圆交于点P.设点P(u,v),则u=-,所以cos ,故选B.
9.答案　-5解析　∵cos α≤0,sin α>0,
∴角α的终边落在第二象限内或落在y轴的非负半轴上,
∴∴-510.B　若sin x=sin y,则x=y+2kπ,k∈Z或x=π-y+2kπ,k∈Z;
若x=y,则sin x=sin y显然成立.
综上可得,条件甲:sin x=sin y是条件乙:x=y的必要不充分条件,故选B.
11.答案　-
解析　∵-1≤cos x≤1,∴当cos x=1时,函数y=cos x-1取得最大值-.
12.答案　(1,2]
解析　函数y=2sin x在上单调递增,在上单调递减,且2sin>2sin ,
故2sin <2sin x≤2sin ,
即1<2sin x≤2,因此该函数的值域是(1,2].
13.答案　(0,3]
解析　由题意得
所以
所以x∈(0,3],即函数的定义域为(0,3].
能力提升练
1.A 2.B 3.AC 4.C 5.D 7.A
1.A　由题意得cos θ=,解得a=2.故选A.
2.B　因为α是第三象限角,所以π+2kπ<α<+2kπ,k∈Z,所以+kπ,k∈Z,则是第二或第四象限角,又,所以cos≤0,所以是第二象限角.故选B.
3.AC　sin α=,cos α=,
当m∈(0,1)时,sin α>0,当m∈(1,+∞)时,sin α<0,当m=1时,sin α=0,故sin α的符号不确定,故A 符合;
cos α=>0,符号确定,故B不符合;
sin α-cos α=,当m∈时,sin α-cos α>0,当m∈时,sin α-cos α<0,当m=时,sin α-cos α=0,故sin α-cos α的符号不确定,故C符合;
sin α+cos α=>0,符号确定,故D不符合.故选AC.
4.C　正十七边形的内角和为(17-2)π=15π,故α=.
因为<π,即α是第二象限角,所以cos α<0,sin α>0,故A,B错误;
因为<2π,即2α是第四象限角,
所以cos 2α>0,sin 2α<0,故C正确,D错误.故选C.
5.D　由题可知sin θ=>0,cos θ=<0,
由cos θ+3sin θ=0,得=0,解得a=,b=-6,∴3a-b=1+6=7.故选D.
6.解析　(1)由题意知,点P到原点O的距离r=,
∴sin α=y.
∵y≠0,∴9+3y2=16,∴y2=,
∴y=±,∴角α的终边在第二或第三象限.
(2)结合(1)可知,当角α的终边在第二象限时,y=,cos α=,tan α=-;
当角α的终边在第三象限时,y=-,cos α=,tan α=.
7.A　易知在一个周期[0,2π]内,满足sin x=-的x的值为,
根据正弦函数的周期性可得,满足sin x=-的x的取值集合是xx=+2kπ或x=+2kπ,k∈Z,故选A.
8.答案　[2kπ-π,2kπ](k∈Z)
解析　函数y=2-3cos x 的单调递减区间即函数y=-cos x的单调递减区间,也即函数y=cos x的单调递增区间,为[2kπ-π,2kπ](k∈Z).
易错警示　求三角函数的单调区间时,要注意考虑其周期性,一般先求出它在一个周期内的单调区间,再将区间端点值加上周期的整数倍.
9.答案　
解析　根据题意,得
所以
所以2kπ所以此函数的定义域为.
10.解析　∵点P在第一象限,
∴即α的终边在第一象限或第三象限,且sin α>cos α,如图,由三角函数的定义知,当α∈[0,2π)时,α∈.
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