2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--4.1　平面向量基本定理(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第二章　平面向量及其应用
§4　平面向量基本定理及坐标表示
4.1　平面向量基本定理
基础过关练
题组一　基的概念与判断
1.(2022河南焦作温县一中月考)如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能组成平面内所有向量的一组基的是(　　)
A.e1与e1+e2　　　B.e1-2e2与e1+2e2
C.e1+e2与e1-e2　　　D.e1-2e2与-e1+2e2
2.(多选题)O为 ABCD的对角线AC和BD的交点,下列各组向量中能组成平面ABC内所有向量的一组基的是(　　)
A.与　　　B.与
C.与　　　D.与
3.(多选题)已知{e1,e2}是平面内所有向量的一组基,则下列说法中正确的是(　　)
A.若实数m,n使得me1+ne2=0,则m=n=0
B.平面内任意一个向量a都可以表示成a=me1+ne2,其中m,n为实数
C.对于m,n∈R,me1+ne2不一定在该平面内
D.对平面内的某一个向量a,存在两对以上的实数m,n,使得a=me1+ne2
题组二　用基表示向量
4.(2021陕西宝鸡模拟)如图,向量a-b=(　　)
A.e1-3e2　　　B.e1+3e2
C.-3e1+e2　　　D.-e1+3e2
5.如图所示,等腰梯形ABCD中,AB=BC=CD=3AD,点E为线段CD上靠近C的三等分点,点F为线段BC的中点,则=(　　)
A.-　　　B.-
C.-　　　D.-
6.(2023河南漯河高级中学开学考试)在△ABC中,点D在BC边上,且.设=b,则可用a,b表示为(　　)
A.(a+b)　　　B.b
C.b　　　D.(a+b)
7.如图,平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,∠BAD=60°,点E,F分别为AD,DC边的中点,BE与AF相交于点O,记=b.
(1)以{a,b}为基,写出向量的分解式;
(2)若=λ,求实数λ的值.
8.(2022重庆八中月考)如图,在长方形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且.设=b.
(1)试用基{a,b}表示;
(2)若b,求证:E,G,F三点共线.
题组三　平面向量基本定理及其应用
9.(多选题)(2023安徽师范大学附属中学期中)下列命题中,正确的有(　　)
A.若与是共线向量,则A,B,C,D四点共线
B.对非零向量a,若|λ|>1,则|λa|>|a|
C.若=0,则M,N,P三点共线
D.平面内任意一个向量都可以用另外两个不共线的向量表示
10.(2022黑龙江鹤岗一中月考)如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,点E在线段OB上且OE=OB,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λμ=(　　)
A.　　　B.　　　C.1　　　D.-
11.(2021安徽合肥六中期中)在△ABC中,点D为AC边上靠近点C的三等分点,点E为AB边的中点,则=(　　)
A.　　　B.
C.-　　　D.-
12.(2021陕西西安中学五模)在平行四边形ABCD中,E为线段CD的中点,,其中x,y∈R,且均不为0.若∥,则=　　　　.
13.已知e1,e2不共线,a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+2e2,则a在基{b,c}下的分解式为a=　　　　.
14.(2023辽宁营口大石桥第三高级中学期末)在△ABC中,,若(x,y均大于0),则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
15.如图,A,B,P是圆O上的三点,OP的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点Q,若(a,b∈R),求a+b的取值范围.
能力提升练
题组一　用基表示向量
1.(2022湖南株洲醴陵第五中学期中)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E为CD的中点,AE与BD交于点F,若 =b,则=(　　)
A.b　　　B.b
C.b　　　D.b
2.(2022广东普宁二中月考)如图,在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,G为AC与DE的交点,若=b,则=(　　)
A.b　　　 B.a
C.b　　　D.a
3.如图所示的多边形是由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合加工而成的.已知向量n,k,则向量a=(　　)
A.2n+3k
B.(2+)n+3k
C.(2+)k
D.(1+)k
4.在△ABC中,点D,E分别在线段AC,AB上,且=2,记=b,则=　　　　.(用a,b表示)
题组二　平面向量基本定理的应用
5.(2021江苏扬州月考)在△ABC中,D为线段AB上靠近点A的四等分点,=λ+μ(λ∈R,μ∈R),则cos λπ-sin μπ的值为(　　)
A.　　　B.1　　　C.-　　　D.-
6.在△ABC中,P是BC边的中点,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=0,则△ABC为(　　)
A.直角三角形　　　B.钝角三角形
C.等边三角形　　　D.等腰三角形
7.正三角形ABC的边长为2,M为AB的中点,,Q是AC上一点,+λ(λ∈R),则△QBC的面积为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
8.(2021浙江丽水期末)在梯形ABCD中,,P为线段DE上的动点(包括端点),若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ2+μ的最小值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
9.(多选题)(2021山东淄博实验中学期中)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是　　(　　)
A.若,则
B.若,则M,B,C三点共线
C.若M是△ABC的重心,则=0
D.若且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
10.(2021上海春季高考模拟)已知非零向量a,b,c两两不平行,且a∥(b+c),b∥(a+c),设c=xa+yb,x,y∈R,则x+2y=　　　　.
11.(2023吉林第一中学检测)在△ABC中,O是BC的三等分点,||,过点O的直线分别交直线AB,AC于点E,F,且(m>0,n>0),若的最小值为3,则正数t的值为　　　　.
12.(2023北京亦庄实验中学诊断)如图所示,在△ABC中,D是边BC的中点,E是线段AD上靠近点A的三等分点.过点E的直线与边AB,AC分别交于点P,Q.设=λ=μ,其中λ,μ≥0.
(1)试用与分别表示;
(2)求证:λ+μ为定值,并求此定值.
13.(2022安徽阜阳太和段测)如图所示,△ABC中,=b,D为AB的中点,E为CD上一点,且DC=4EC,AE的延长线与BC的交点为F.
(1)用向量a,b表示;
(2)用向量a,b表示,并求出和的值.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面向量及其应用
§4　平面向量基本定理及坐标表示
4.1　平面向量基本定理
基础过关练
1.D 2.AB 3.AB 4.D 5.A 6.C 9.BD 10.A
11.D
1.D
2.AB　要组成平面内所有向量的一组基,两个向量不能共线,易知在平行四边形ABCD中,,故排除C,D;不共线,不共线.故选AB.
3.AB　易知A,B正确;
因为{e1,e2}是平面内所有向量的一组基,所以me1+ne2在该平面内,故C错误;
对平面内的某一个向量a,存在唯一的一对实数m,n,使得a=me1+ne2,故D错误.
4.D　如图所示,a-b==-e1+3e2.故选D.
5.A　.故选A.
6.C　因为,所以,
所以a+b.故选C.
7.解析　(1)=-a+b.
(2)因为=a-b,共线,
所以设=μa-b,μ∈R,
则b+μa-b,
又a+b,且,
所以b+μa-b=λa+b,
即λa+λb=μa+(1-μ)b,
则所以λ=.
8.解析　(1)=b+a.
a-b.
(2)证明:若E,G,F三点共线,则存在实数λ,使得,即,
因为a+b-b-a=a-b,a-b,所以a-b=λ,所以λ=,
所以E,G,F三点共线.
9.BD　在平行四边形ABCD中,共线,但A,B,C,D四点不共线,故A错误;
当|a|≠0,|λ|>1时,|λa|=|λ||a|>|a|,故B正确;
若=0,则,则共面,但M,N,P三点不一定共线,故C错误;
易知D正确.
10.A　,因为,
所以λ=,所以λμ=.
11.D　由题意可知,,
设,x,y∈R,
则
=,
所以
即.故选D.
12.答案　
解析　.
由,可设(λ∈R),
所以x)
=λ,
所以.
13.答案　b+c
解析　令a=mb+nc(m,n∈R),
则-e1+3e2=m(4e1+2e2)+n(-3e1+2e2),
即-e1+3e2=(4m-3n)e1+(2m+2n)e2,
所以
所以a=b+c.
14.答案　15
解析　如图所示,在△ABM中,,
因为,所以,
所以.①
在△ABN中,,
因为,所以,
所以,②
将②代入①,得,
因为,所以x=,
所以×20=15.
15.解析　设,可得k=∈(0,1),
设(λ,μ∈R),
∵A,B,Q三点共线,∴λ+μ=1,
∴,∴a=kλ,b=kμ,
∴a+b=kλ+kμ=k(λ+μ)=k∈(0,1).
∴a+b的取值范围是(0,1).
能力提升练
1.C 2.B 3.D 5.D 6.C 7.D 8.A 9.ACD
1.C　如图所示:
易得a,b,
因为E为CD的中点,
所以a-b,
由DE∥AB得,
所以b,
所以b+a-b=a+b.故选C.
2.B　在平行四边形ABCD中,AD∥BC,故△ADG∽△CEG,所以=2,所以,
故(a+b)-a=-a+b,故选B.
3.D　如图.根据题意可得|n|=|k|,由对称性可得AB=BC=CD=DE=EQ=QF,CE=EF=FG=|n|,由图可得点B,C,E,Q共线,点Q,F,G共线,所以)k,)n,所以a=)k+(1+)n.故选D.
4.答案　a-b
解析　∵=2,
∴a+a+a+(-a-b)=a-b.
5.D　依题意得,
又,所以λ=,
于是cos λπ-sin μπ=cos -sin .
6.C　∵P是BC边的中点,∴.
∵c=0,即(a-c)=0.
∵不共线,∴a-c=0且b-c=0,∴a=b=c,∴△ABC是等边三角形.
7.D　,
由A,Q,C三点共线得=1,解得λ=,
即,
即),即,
故S△QBC=S△ABC=.故选D.
8.A　如图所示,设(0≤m≤1),
则+m,
又,所以λ=1-m,所以λ2+μ=(0≤m≤1),
所以当m=时,λ2+μ取得最小值,为.
9.ACD　对于A,,A正确;
对于B,假设M,B,C三点共线,则存在实数λ,使得,即),整理得,当λ=-2时,,与条件中的不一致,所以M,B,C三点不共线,B错误;
对于C,如图,取BC的中点H,连接AH,若M是△ABC的重心,则点M在AH上,且,又 ,所以=0,C正确;
对于D,因为,所以3,3x+3y=1,不妨设,则点Q在直线BC上,由于△MBC与△ABC相同的底BC上的高的比等于MQ与AQ的比,为2∶3,所以△MBC的面积是△ABC面积的,D正确.
10.答案　-3
解析　∵非零向量a,b,c两两不平行,且a∥(b+c),b∥(a+c),∴存在非零实数m,n,使得a=m(b+c),b=n(a+c),∴c=a-b,c=b-a,
∴
∵c=xa+yb,∴x=y=-1,∴x+2y=-3.
11.答案　3-
解析　∵在△ABC中,O是BC的三等分点,|,
∵,
∵O,E,F三点共线,∴n=1,
∴≥2,
当且仅当,即2m2t2=n2时取等号,∴,故=3,
∵t>0,∴t=3-.
12.解析　(1)因为D是边BC的中点,
所以,
.
(2)因为,
所以,
因为D是边BC的中点,所以),
所以,
因为P,E,Q三点共线,所以=1,解得λ+μ=4,
所以λ+μ为定值4.
13.解析　(1)由题可知,
所以),
所以.
因为D为AB的中点,所以a,
所以a+b.
(2)因为B,F,C三点共线,所以可设,t∈R,所以,
即=tb+(1-t)a,
因为A,F,E三点共线,所以存在实数λ,使得a+b,
因为a,b不共线,所以
所以a+b,
则的值为7,的值为6.
方法技巧　向量法求线段的长的比值的基本思路:利用平面向量基本定理,构造某相关向量在同一组基下的两种不同表达式,再由对应系数相等列出方程组求解.
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