2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--4.2　平面向量及运算的坐标表示(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第二章　平面向量及其应用
§4　平面向量基本定理及坐标表示
4.2　平面向量及运算的坐标表示
基础过关练
题组一　平面向量的坐标表示
1.如图所示,{e1,e2}为单位正交基,则向量a,b的坐标分别是(　　)
A.(3,4),(2,-2) 　　　B.(2,3),(-2,-3)
C.(2,3),(2,-2)　　　D.(3,4),(-2,-3)
2.若将绕原点O逆时针旋转120°得到,则的坐标是(　　)
A.　　　B.
C.(-1,-)　　　D.
3.已知a与x轴的正半轴所成的角为120°,且|a|=2,则a的坐标为　　　　　　.
题组二　平面向量运算的坐标表示
4.(2022河北邢台名校联盟联考)已知向量a=(1,3),b=(-2,1),则2a-3b=(　　)
A.(-8,3)　　　B.(-8,-3)
C.(8,3)　　　D.(8,-3)
5.(2021重庆外国语学校期中)设i,j是平面直角坐标系内方向分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量,O为坐标原点,若=3i+4j,则2的坐标是(　　)
A.(1,-2)　　　B.(7,6)　　　
C.(5,0)　　　D.(11,8)
6.(2022山西联考)已知点A(-1,2)和向量a=(1,3),且=2a,则点B的坐标为(　　)
A.(1,8)　　　B.(0,5)
C.(-3,-4)　　　D.(3,4)
7.(2022河南周口经济开发区黄泛区高级中学月考)已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与相等,其中A(1,2),B(3,2),则x的值为(　　)
A.-1　　　B.-1或4　　　
C.4　　　D.1或-4
8.(2021江西九江一中月考)已知a-b=(1,2),a+b=(4,-10),则a等于(　　)
A.(-2,-2)　　　B.(2,2)
C.(-2,2)　　　D.(2,-2)
9.(多选题)已知平面上的点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),下面结论正确的是(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
10.(2023北京房山期末)已知向量a=(2,1),b=(0,-2),则a-2b=　　　　.
11.已知=(1,-5),且(其中O是坐标原点),则点C的坐标为　　　　.
12.已知向量a=(3,2),b=(-1,3),c=(5,2).
(1)求6a+b-2c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值.
题组三　平面向量平行的坐标表示
13.(2023辽宁沈阳第十中学期末)已知向量a=(),若a-2b与c共线,则k=(　　)
A.4　　　B.3　　　
C.2　　　D.1
14.已知=(1,-3),则(　　)
A.A,B,C三点共线
B.A,B,D三点共线
C.B,C,D三点共线
D.A,C,D三点共线
15.(多选题)(2022江苏泗阳实验高中月考)已知向量a=(1,-2),b=(-1,2),则下列结论正确的是(　　)
A.a∥b
B.a与b可以组成平面向量的一组基
C.a+b=0
D.b-a与a方向相反
16.(2023甘肃天水第一中学检测)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,m,n∈R,则等于(　　)
A.-　　　B.　　　
C.-2　　　D.2
17.(2023河南开封五县开学考试)已知向量m=(-1+a,2-a),n=(3-a,4+a),若(m+n)∥m,则实数a=　　　　.
18.(2022河北石家庄六县一联)已知平面向量a=(-3,m),b=(m-2,-1),若a与b方向相反,则实数m的值为　　　　.
19.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m-1,m+3),若平面内的任意一个向量c都可以唯一分解成c=λa+μb(λ,μ∈R),则m的取值范围是　　　　.
20.(2022吉林长春德惠一中月考)已知平面内的三个向量a=(3,2),b=
(-1,2),c=(1,-1).
(1)若a=λb+μc(λ,μ∈R),求λ+μ的值;
(2)若向量a+kb与向量2b-c共线,求实数k的值.
21.(2023辽宁沈阳铁路实验中学期末)已知a=(2,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,ka+b与a-2b共线
(2)若=a-mb,且A,B,C三点共线,求m的值.
能力提升练
题组一　平面向量运算的坐标表示
1.设向量a=(m,n),b=(s,t),定义两个向量a,b之间的运算“ ”为a b=(ms,nt).若向量p=(1,2),p q=(-3,-4),则向量q等于(　　)
A.(-3,-2)　　　B.(3,-2)
C.(-2,-3)　　　D.(-3,2)
2.(2022江苏南京中华中学月考)已知A(-3,0),B(0,-2),O为坐标原点,点C在∠AOB内,|,且∠AOC=,设=λ(λ∈R),则λ的值为(　　)
A.1　　　B.　　　
C.　　　D.
3.(2022广东普宁二中月考)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=(　　)
A.4　　　B.-4　　　
C.2　　　D.-2
4.(2023四川南充阆中中学月考)已知在平行四边形ABCD中,=(-4,4),对角线AC与BD相交于点M,则=　　　　.(用坐标表示)
5.在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为DC边的中点,P为线段AE上的动点,设向量=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为　　　　　　.
题组二　平面向量平行的坐标表示
6.(2023江西景德镇质检)已知向量a=(2,3),b=(2,sin α-3),c=(2,cos α),若(a+b)∥c,则tan α的值为(　　)
A.2　　　B.-2　　　
C.　　　D.-
7.(2022山东省实验中学三诊)设向量=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则的最小值为(　　)
A.4　　　B.6　　　
C.8　　　D.9
8.(多选题)(2021山东潍坊质量监测)已知向量=(t+3,t-8),若以点A,B,C为顶点能构成三角形,则实数t的值可以为(　　)
A.-2　　　B.　　　
C.1　　　D.-1
9.(2022四川遂宁射洪中学月考)已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,=-e1+λe2,=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.
(1)求实数λ的值;
(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求的坐标;
(3)已知D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点顺序连接可构成平行四边形,求点A的坐标.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面向量及其应用
§4　平面向量基本定理及坐标表示
4.2　平面向量及运算的坐标表示
基础过关练
1.C 2.D 4.C 5.D 6.A 7.A 8.D 9.BC
13.D 14.D 15.ACD 16.A
1.C　由题图可知a=2e2+3e1,b=2e2-2e1,
∴a=(2,3),b=(2,-2).故选C.
2.D　因为=,所以tan∠AOx=,可得∠AOx=30°,设=(x,y),则x=cos(120°+30°)=-.所以的坐标是-.故选D.
3.答案　(-1,)或(-1,-)
解析　如图所示,即为向量a,
设A(x1,y1),由三角函数的定义,得x1=2cos 120°=-1,y1=2sin 120°=
).
同理可得B(-1,-).
所以a的坐标为(-1,)或(-1,-).
4.C　2a-3b=2(1,3)-3(-2,1)=(8,3).故选C.
5.D　由题可知=(3,4),所以2=(11,8).
6.A　=2a=(2,6).设B(x,y),则(x+1,y-2)=(2,6),即故点B的坐标为(1,8).
7.A　∵A(1,2),B(3,2),∴=(2,0),
又∵a=,即(x+3,x2-3x-4)=(2,0),
∴解得x= -1,故选A.
8.D　因为a-b=(1,2),所以2a-b=(2,4),
又a+b=(4,-10),
所以2a-b+a+b=(2,4)+(4,-10)=(6,-6),
所以3a=(6,-6),即a=(2,-2),故选D.
9.BC　选项A中,=(-2,-1),所以,故错误;
选项B中,=(0,2),所以成立,故正确;
选项C中,=(2,1),所以成立,故正确;
选项D中,=(-2,1),所以,故错误.故选BC.
10.答案　(2,5)
解析　因为a=(2,1),b=(0,-2),
所以a-2b=(2,1)-2(0,-2)=(2,1)-(0,-4)=(2,5).
11.答案　(-3,9)
解析　∵=(1,-5),
∴=(4,-12),
∴=(-3,9),
∴点C的坐标为(-3,9).
12.解析　(1)6a+b-2c=6(3,2)+(-1,3)-2(5,2)=(18,12)+(-1,3)-(10,4)=(7,11).
(2)∵a=mb+nc,
∴(3,2)=m(-1,3)+n(5,2)=(-m+5n,3m+2n).
∴
13.D　由a=(,1),b=(0,-1),得a-2b=(,3),
因为a-2b与c共线,所以-3k=0,解得k=1.
14.D　由题意可得,=(-2,6),则.又AC与CD有公共点C,所以A,C,D三点共线.故选D.
15.ACD　 由1×2-(-2)×(-1)=0,可得a∥b,A正确;基中的两个向量要求是不共线的向量,B不正确;
a+b=(1-1,-2+2)=(0,0),C正确;
因为b-a=(-2,4),a=(1,-2),所以b-a=-2a,所以b-a与a方向相反,D正确.
16.A　ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1),
因为ma+nb与a-2b共线,
所以(2m-n)×(-1)=(3m+2n)×4,
即14m=-7n,所以.故选A.
17.答案　
解析　由已知得m+n=(2,6),
若(m+n)∥m,则6(-1+a)-2(2-a)=0,解得a=.
18.答案　3
解析　根据题意得解得m=3.
19.答案　{m|m≠5}
解析　根据平面向量基本定理可知,向量a,b不共线,所以1×(m+3)-2×(m-1)≠0,所以m≠5,所以m的取值范围是{m|m≠5}.
20.解析　(1)∵b=(-1,2),c=(1,-1),
∴λb+μc=(-λ,2λ)+(μ,-μ)=(-λ+μ,2λ-μ),
又a=λb+μc=(3,2),∴
∴λ+μ=13.
(2)∵a=(3,2),b=(-1,2),c=(1,-1),∴a+kb=(3-k,2+2k),2b-c=(-3,5),
又a+kb与2b-c共线,∴5×(3-k)=-3×(2+2k),解得k=-21.
方法总结　已知两向量共线求参数的问题中,参数一般设置在两个位置,一是向量坐标本身含有参数,二是相关向量用两向量的含参关系式表示.解题时应根据向量共线的坐标表示建立方程(组)求解.
21.解析　(1)∵a=(2,0),b=(2,1),
∴ka+b=(2k+2,1),a-2b=(-2,-2),
又ka+b与a-2b共线,
∴-2(2k+2)-1×(-2)=0,解得k=-.
(2)=a+3b=(8,3),=a-mb=(2-2m,-m),
∵A,B,C三点共线,∴共线,
∴-8m-3(2-2m)=0,解得m=-3.
能力提升练
1.A 2.D 3.A 6.A 7.C 8.ABD
1.A　设向量q=(x,y),则p q=(x,2y)=(-3,-4),∴x=-3,y=-2,故向量q=
(-3,-2).故选A.
2.D　 由题意得点C在第三象限内,因为|且∠AOC=,所以C(-2,-2),所以=(-2,-2),
又,
所以(-2,-2)=λ(-3,0)+(0,-2)=(-3λ,-2),
所以λ=.
3.A　设每个小正方形的边长为1,建立平面直角坐标系,如图所示:
则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),
∵c=λa+μb=(-λ+6μ,λ+2μ),
∴=4.
4.答案　(1,-5)
解析　∵在平行四边形ABCD中,=(-4,4),
∴=(2,6)+(-4,4)=(-2,10),
∴=(1,-5).
5.答案　2
解析　以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图.
则B(2,0),D(0,1),E(1,1),
由题可设P(x,x),0≤x≤1,
则=(x,x),
∵,
∴(x,x)=(2λ,μ-λ),∴∴λ+μ=2x.
∵0≤x≤1,∴λ+μ∈[0,2],故当x=1,即点P与点E重合时,λ+μ取得最大值,为2.
6.A　因为a=(2,3),b=(2,sin α-3),
所以a+b=(4,sin α),又(a+b)∥c,
所以4cos α=2sin α,则tan α==2.
7.C　∵=(-b,0),
∴=(-b-1,2).
∵A,B,C三点共线,∴为共线向量,
∴2(a-1)-(-b-1)=0,即2a+b=1.
∵a>0,b>0,
∴(2a+b)
=2+2+≥4+2=8,
当且仅当,2a+b=1,即a=时取等号,故的最小值为8,故选C.
8.ABD　由以点A,B,C为顶点能构成三角形,知A,B,C三点不共线,则向量不共线,
因为向量=(t+3,t-8),
所以=(t+5,t-9),
由不共线,得-3(t-9)-4(t+5)≠0,所以t≠1.
故选ABD.
9.解析　(1)由题意可得=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2,
∵A,E,C三点共线,
∴存在实数k,使得,
即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),
得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2.
∵e1,e2是平面内两个不共线的向量,
∴故λ的值为-.
(2)由(1)得=-e1-e2,
则=-3e1-e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).
(3)∵A,B,C,D四点顺序连接可构成平行四边形,
∴.
设A(x,y),则=(3-x,5-y),
又
解得∴点A的坐标为(10,7).
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