2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--4.2　平面与平面平行(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第六章　立体几何初步
§4　平行关系
4.2　平面与平面平行
基础过关练
题组一　平面与平面平行的性质
1.(2022河南豫北名校期中)若平面α∥平面β,直线m 平面α,点M∈平面β,则过点M且与直线m平行的直线有(　　)
A.0条或无数条　　　　　B.2条
C.0条或1条或无数条　　　　　D.1条
2.(多选题)已知直线a和两个不重合的平面α,β.若α∥β,a α,则下列四个结论中正确的是　(　　)
A.a与β内的所有直线平行
B.a与β内的无数条直线平行
C.a与β内的任何一条直线都不垂直
D.a与β没有公共点
3.(2023河南洛阳格致学校期中)如图,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD和AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB=　　　　.
4.(2023四川仁寿文宫中学月考)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,过B1B的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M,交BC于点N,则MN与AC的数量关系是　　　.
5.如图所示,已知三棱柱ABC-A'B'C'中,D是BC的中点,D'是B'C'的中点,设平面A'D'B∩平面ABC=a,平面ADC'∩平面A'B'C'=b,试判断直线a,b的位置关系,并证明.
6.(2022上海奉贤月考)如图,平面α∥平面β,点P是平面α,β外一点,从点P引三条不共面的射线PA,PB,PC,与平面α分别相交于点A,B,C,与平面β分别相交于点A',B',C'.求证:△ABC∽△A'B'C'.
题组二　平面与平面平行的判定
7.(多选题)(2022湖南长沙长郡中学期中)设α,β为两个平面,则α∥β的充分条件可以是(　　)
A.β内的所有直线都与α平行
B.β内有无数条直线与α平行
C.β内有三条直线与α平行
D.α和β都平行于同一平面γ
8.(2022陕西咸阳秦都期末)下列条件中能推出平面α∥平面β的是(　　)
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a α,b β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a α,b β,a∥β,b∥α
9.(2021宁夏银川一中期末)在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的是(　　)
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1E与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
10.(2021北京昌平二模)已知棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD,M是BB1的中点,动点P在正方体内部或表面上运动,且MP∥平面ABD1,则动点P的轨迹所形成区域的面积是　(　　)
A.　　　B.　　　C.1　　　D.2
11.(2022浙江温州期中)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别为A1B1,AD,B1C1,C1D1的中点,则过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为　　(　　)
A.　　　B.2　　　
C.2　　　D.4
12.(2021安徽芜湖一中期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上(不与端点重合),且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.
求证:平面MNQ∥平面PBC.
13.(2022安徽滁州定远育才学校期末)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M是线段B1D1上的一个动点,E,F分别是BC,CM的中点.
(1)求证:EF∥平面BDD1B1;
(2)在棱CD上是否存在一点G,使得平面GEF∥平面BDD1B1 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
能力提升练
题组一　平面与平面平行的性质
1.如图所示,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点,且平面BDM∥平面ACC1A1,则动点M的轨迹是(　　)
A.平面　　　　B.直线
C.线段,但只含1个端点　　　　D.圆
2.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在A1B1上,且B1E=1,记图中阴影平面为平面α,且平面α∥平面BC1E.若平面α∩平面AA1B1B=A1F,则AF的长为(　　)
A.1　　　B.1.5　　　
C.2　　　D.3
3.(2022山东菏泽东明一中月考)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,且,G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G,则=　　　　.
4.如图,多面体ABCGDEF中,AB,AC,AD两两垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1.
(1)证明:四边形ABED是正方形;
(2)判断点B,C,F,G是否共面,并说明理由.
题组二　平面与平面平行的判定
5.(2021安徽合肥第六中学诊断性测试)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是BB1,CC1上靠近点B,C的三等分点,在A1C1上确定一点P,使平面PEF∥平面A1BC,则=　　　　.
6.(2023四川乐山期末)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分别为棱AC,A1C1的中点.求证:平面AB1D1∥平面BC1D.
7.(2022福建厦门双十中学期中)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在AA1上,点F在CC1上,点G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中点.求证:
(1)B,E,D1,F四点共面;
(2)平面A1GH∥平面BED1F.
题组三　面面平行中的探索性问题
8.(2023海南中学期中)如图,正三棱柱A1B1C1-ABC的底面边长是2,侧棱长是2,M为A1C1的中点,N是侧面BCC1B1上一点,且MN∥平面ABC1,则线段MN长度的最大值为　　　　.
9.(2021黑龙江鹤岗一中期中)如图所示,矩形ABCD和矩形ABEF中,AF=AD,点M,N分别在AE,DB上,AM=DN,矩形ABEF可沿AB任意翻折.
(1)求证:当F,A,D三点不共线时,线段MN总平行于平面FAD.
(2)“不管怎样翻折矩形ABEF,线段MN总和线段FD平行.”这个结论对吗 如果对,请证明;如果不对,请说明能否改变个别已知条件,使上述结论成立.
答案与分层梯度式解析
第六章　立体几何初步
§4　平行关系
4.2　平面与平面平行
基础过关练
1.D 2.BD 7.AD 8.D 9.A 10.A 11.C
1.D　∵α∥β,m α,M∈β,∴点M和直线m可以确定唯一一个平面,记为γ,
设β∩γ=n,∵α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,∴m∥n,
∴过点M的所有直线中有且只有一条与m平行.
2.BD　若两平面平行,则一个平面内的任意一条直线与另一个平面内的直线平行或异面,所以A、C错误,B、D正确.故选BD.
3.答案　
解析　根据平面与平面平行的性质及已知可得CD∥AB,所以,因为PC=2,CA=3,CD=1,
所以AB=.
4.答案　MN=AC
解析　∵平面MNE∥平面ACB1,平面MNE∩平面ABB1A1=EM,平面ACB1∩平面ABB1A1=B1A,平面MNE∩平面CBB1C1=EN,平面ACB1∩平面CBB1C1=B1C,∴EM∥B1A,EN∥B1C.
∴,
又∵E为BB1的中点,
∴M,N分别为BA,BC的中点,
∴MN=AC.
5.解析　直线a与b平行.证明如下:
连接DD'.∵平面ABC∥平面A'B'C',平面A'D'B∩平面ABC=a,平面A'D'B∩平面A'B'C'=A'D',
∴A'D'∥a.
同理可证AD∥b.
∵D是BC的中点,D'是B'C'的中点,BC B'C',
∴BD B'D',∴四边形BB'D'D是平行四边形,
∴DD' BB'.
又BB' AA',∴DD' AA',
∴四边形AA'D'D为平行四边形,
∴A'D'∥AD,∴a∥b.
6.证明　由题意可知P,A,B,A',B'在同一平面上,
又因为α∥β,所以AB∥A'B',
所以△PAB∽△PA'B',则.
由题意可知P,B,C,B',C'在同一平面上,
又因为α∥β,所以BC∥B'C',
所以△PBC∽△PB'C',则.
由题意可知P,A,C,A',C'在同一平面上,
又因为α∥β,所以AC∥A'C',
所以△PAC∽△PA'C',则.
所以,故△ABC∽△A'B'C'.
7.AD　对于A,由β内的所有直线都与α平行,可知两个平面没有公共点,所以α和β平行,所以A正确;
对于B,若这无数条直线都是平行线,则α和β可能相交,所以B不正确;同理,C不正确;
对于D,因为α和β都平行于同一平面γ,所以由平面平行的传递性知α和β平行,所以D正确.
故选AD.
8.D　如图1所示,存在一条直线a,a∥α,a∥β,但平面α与平面β相交,故A错误;
如图2所示,存在一条直线a,a α,a∥β,但平面α与平面β相交,故B错误;
如图3所示,存在两条平行直线a,b,a α,b β,a∥β,b∥α,但平面α与平面β相交,故C错误;
如图4所示,在平面β内过b上一点P作c∥a,则c∥α,又b∥α,且b∩c=P,所以α∥β,故D正确.
　
　
9.A　如图,∵EG∥E1G1,EG 平面E1FG1,E1G1 平面E1FG1,∴EG∥平面E1FG1.
同理,可证H1E∥平面E1FG1.
∵H1E∩EG=E,H1E,EG 平面EGH1,
∴平面E1FG1∥平面EGH1.
10.A　如图所示,E,F,G,M分别是AA1,A1D1,B1C1,BB1的中点,则EF∥AD1,EM∥AB,由此可知EF∥平面ABD1,EM∥平面ABD1,又EF∩EM=E,所以平面ABD1∥平面EFGM,故点P的轨迹为矩形EFGM及其内部.
又MB1=B1G=,所以MG=,所以点P的轨迹所形成区域的面积S=1×.故选A.
11.C　取AB的中点P,BC的中点M,CD的中点N,连接FP,EP,MN,MG,NH,由正方体的结构特征可得MG∥NH,则四边形MGHN为平面图形.
又EP∥MG,MG 平面MGHN,EP 平面MGHN.
∴EP∥平面MGHN.
∵FP∥MN,MN 平面MGHN,FP 平面MGHN,
∴FP∥平面MGHN.
∵EP∩FP=P,∴平面EFP∥平面MGHN,
又EF 平面EFP,∴EF∥平面MGHN,
∴过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面为矩形MGHN.
∵MG=2,GH=,
∴S矩形MGHN=2.故选C.
12.证明　∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
∴MQ∥AD,NQ∥BP.
∵BP 平面PBC,NQ 平面PBC,∴NQ∥平面PBC.
∵底面ABCD为平行四边形,
∴BC∥AD,∴MQ∥BC.
∵BC 平面PBC,MQ 平面PBC,
∴MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ=Q,∴平面MNQ∥平面PBC.
13.解析　(1) 证明:连接BM,如图所示,
∵E,F分别是BC,CM的中点,∴EF∥BM,
又EF 平面BDD1B1,BM 平面BDD1B1,
∴EF∥平面BDD1B1.
(2)当G为棱CD的中点时,平面GEF∥平面BDD1B1.理由如下:
∵E为BC的中点,∴EG∥BD,
又EG 平面BDD1B1,BD 平面BDD1B1,
∴EG∥平面BDD1B1,
又EF∥平面BDD1B1,EG∩EF=E,
∴平面GEF∥平面BDD1B1,且=1.
方法总结　(1)要证明两平面平行,只需在其中一个平面内找到两条相交且平行于另一个平面的直线即可.
(2)判定两平面平行时,应遵循“先找后作”的原则,即先在一个平面内找两条与另一个平面平行的相交直线,若无法直接找到,则再作辅助线.
能力提升练
1.C　因为平面BDM∥平面ACC1A1,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面ACC1A1∩平面A1B1C1=A1C1,所以DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1,交B1C1于点E1,则点M的轨迹是线段DE1(不包括D点).
2.A　因为平面α∥平面BC1E,平面α∩平面AA1B1B=A1F,平面BC1E∩平面AA1B1B=BE,所以A1F∥BE.
又A1E∥BF,所以四边形A1EBF是平行四边形,所以BF=A1E=2,所以AF=1.
3.答案　
解析　连接B1D1,GF.
∵平面AEF∥平面BD1G,且平面AEF∩平面BB1D1D=EF,平面BD1G∩平面BB1D1D=BD1,
∴EF∥BD1,∴.
易得平面ADD1A1∥平面BCC1B1,
又BG 平面BCC1B1,∴BG∥平面ADD1A1.
∵平面AEF∥平面BD1G,BG 平面BD1G,
∴BG∥平面AEF.
∵平面AEF∩平面ADD1A1=AF,∴BG∥AF,
∴BG,AF可确定平面ABGF.
又平面ABB1A1∥平面CDD1C1,平面ABGF∩平面ABB1A1=AB,平面ABGF∩平面CDD1C1=FG,
∴AB∥FG,∴CD∥FG,∴.
4.解析　(1)证明:因为平面ABC∥平面DEFG,平面ABED∩平面ABC=AB,平面ABED∩平面DEFG=DE,所以AB∥DE.
同理AD∥BE,所以四边形ABED为平行四边形.
又AB⊥AD,AB=AD,
所以平行四边形ABED是正方形.
(2)点B,C,F,G共面.理由如下:
如图,取DG的中点P,连接PA,PF.
因为平面BEF∥平面ADGC,平面EFGD∩平面BEF=EF,平面EFGD∩平面ADGC=DG,
所以EF∥DG.
同理AC∥DG.
因为P为DG的中点,DG=2,EF=1,
所以EF∥PD,EF=PD,
所以四边形EFPD为平行四边形,
所以DE∥PF且DE=PF.
又AB∥DE,AB=DE,所以AB∥PF且AB=PF,
所以四边形ABFP为平行四边形,
所以AP∥BF.
因为P为DG的中点,
所以PG=DG=1=AC,
又因为AC∥PG,所以四边形ACGP为平行四边形,
所以AP∥CG,所以BF∥CG.
故B,C,F,G四点共面.
5.答案　
解析　如图,过F作FP∥A1C,交A1C1于点P,连接EP.
∵E,F分别是BB1,CC1上靠近点B,C的三等分点,
∴EF∥BC,又EF∩FP=F,BC∩A1C=C,
∴平面PEF∥平面A1BC,
故点P为满足题意的点,此时.
6.证明　连接B1C交BC1于点E,连接DE.
由三棱柱ABC-A1B1C1的结构特征可知四边形BCC1B1为平行四边形,∴E为B1C的中点.
∵D为AC的中点,∴DE为△AB1C的中位线,
∴DE∥AB1.
又∵DE 平面BC1D,AB1 平面BC1D,
∴AB1∥平面BC1D.
在平行四边形ACC1A1中,D,D1分别为棱AC,A1C1的中点,
∴ADD1C1,则四边形ADC1D1为平行四边形,∴AD1∥DC1.
又∵DC1 平面BC1D,AD1 平面BC1D,
∴AD1∥平面BC1D.
∵AB1∩AD1=A,AB1,AD1 平面AB1D1,
∴平面AB1D1∥平面BC1D.
7.证明　(1)在DD1上取一点N,使得DN=1,连接CN,EN,∵C1F=DN=1,∴CF=ND1=2.
又∵CF∥ND1,∴四边形CFD1N是平行四边形,
∴D1F∥CN且D1F=CN.
同理,EN∥AD且EN=AD.
又BC∥AD且BC=AD,∴EN∥BC且EN=BC,
∴四边形CNEB是平行四边形,
∴CN∥BE且CN=BE,
∴D1F∥BE且D1F=BE,
∴四边形D1FBE为平行四边形,
∴B,E,D1,F四点共面.
(2)易知A1E∥BG且A1E=BG,
∴四边形GBEA1为平行四边形,∴A1G∥BE,
又A1G 平面BED1F,BE 平面BED1F,
∴A1G∥平面BED1F.
取BG的中点I,连接C1I,则G是B1I的中点,
又H是B1C1的中点,∴C1I∥HG.
∵BI∥C1F,BI=C1F,
∴四边形BIC1F是平行四边形,
∴C1I∥BF,∴BF∥HG.
∵BF 平面BED1F,HG 平面BED1F,
∴HG∥平面BED1F.
∵HG∩A1G=G,HG,A1G 平面A1GH,
∴平面A1GH∥平面BED1F.
8.答案　2
解析　如图所示,取B1C1的中点D,BB1的中点E,连接MD,DE,ME.
∵D,M分别为B1C1,A1C1的中点,∴DM∥A1B1,
又在正三棱柱中,AB∥A1B1,∴DM∥AB,
∵DM 平面ABC1,AB 平面ABC1,∴DM∥平面ABC1,
同理可得DE∥平面ABC1,
又DM∩DE=D,DM,DE 平面DEM,
∴平面DEM∥平面ABC1,
又平面DEM∩平面BCC1B1=DE,MN∥平面ABC1,
∴点N在线段DE上,
当点N在点E处时,线段MN最长.
连接MB1,则MB1=,
所以线段MN长度的最大值为2.
9.解析　(1)证明:在平面图形中,连接MN,设MN与AB交于点G.易知MG∥AF,NG∥AD.
当F,A,D三点不共线时,如图所示,
由翻折的性质知MG∥AF,NG∥AD.
又MG∩NG=G,AD∩AF=A,∴平面MGN∥平面FAD.
又MN 平面MGN,∴MN∥平面FAD.
∴当F,A,D三点不共线时,线段MN总平行于平面FAD.
(2)结论不正确.
要使结论成立,M,N应分别为AE,DB的中点.
理由:当F,A,D三点共线时,易证得MN∥FD.
当F,A,D三点不共线时,
由(1)知平面MNG∥平面FDA,则要使MN∥FD总成立,根据平面与平面平行的性质定理知,只要FD与MN共面即可.
连接FM,要使FD与MN共面,只要FM与DN相交即可.
∵FM 平面ABEF,DN 平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,
∴若FM与DN相交,则交点只能为点B,此时M,N分别为AE,DB的中点.
由FM∩DN=B可知它们确定一个平面,即F,D,N,M四点共面.
∵平面FDNM∩平面MNG=MN,平面FDNM∩平面FDA=FD,平面MNG∥平面FDA,∴MN∥FD.
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