2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--4.3　诱导公式与对称　　4.4　诱导公式与旋转(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第一章　三角函数
4.3　诱导公式与对称　　4.4　诱导公式与旋转
基础过关练
题组一　给角求值
1.(2023广东广州第一中学月考)cos(-300°)·sin =(　　)
A.　　　B.-　　　C.-　　　D.
2.sin2150°+sin2315°+2sin 210°+cos2225°的值是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.的值是　　　　.
4.(2021江西上饶横峰中学月考)计算下列各式的值:
(1)sinπ+cosπ+cos(-5π)+tan;
(2)sin(-1 200°)cos 1 290°.
题组二　给值求值
5.(2022北京五十七中月考)在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,且sin α=.把角α的终边绕端点O按逆时针方向旋转π弧度,这时终边对应的角是β,则sin β=(　　)
A.-　　　B.　　　C.-　　　D.
6.(2023陕西榆林中学期末)若函数y=a2x+4+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,且点A在角θ的终边上,则sin=(　　)
A.-　　　B.-　　　C.　　　D.
7. (2021云南联考)已知cos,则cos=(　　)
A.-　　　B.-　　　C.　　　D.
8.(2022江西九江二模)已知sin,则cos=　　　　.
9.(2023北京朝阳期末)已知角α∈,若sin(π+α)=,则α=　　　　,sin=　　　　.
题组三　化简、证明
10.设函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4(其中a,b,α,β均为非零实数),若f(2 001)=5,求f(2 022)的值.
11.化简:(k∈Z).
12.(2021江苏南通海门中学月考)求证:sin=cos2nπ+
(-1)n·(n∈Z).
题组四　诱导公式的综合应用
13.(多选题)(2022河北邢台一中月考)已知函数f(x)=sin,则以下结论恒成立的是(　　)
A.f(-x)=-f(x)　　　B.f(-x)=f(x)
C.f(2π-x)=f(x)　　　D.f(π+x)=f(2π-x)
14.(2023江苏南通中学开学考试)已知f(sin x)=cos 3x,则f(cos 10°)的值为(　　)
A.-　　　B.±　　　
C.　　　D.
15.(2023北京大兴期末)在平面直角坐标系xOy中,角α,β,γ均以Ox为始边,角α的终边过点,将角α的终边关于x轴对称后得到角β的终边,再将角β的终边绕原点按逆时针方向旋转180°后得到角γ的终边,则sin γ的值为(　　)
A.-　　　B.　　　
C.-　　　D.
16.(2023北京顺义期末)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于第一象限的点P.
(1)求y1的值;
(2)将角α的终边绕坐标原点O按逆时针方向旋转角β后与单位圆交于点Q(x2,y2),请从下面的①、②、③这三个条件中任意选择一个作为已知,求的值.
①β=;②β=π;③β=.
答案与分层梯度式解析
第一章　三角函数
4.3　诱导公式与对称
4.4　诱导公式与旋转
基础过关练
1.A 2.A 5.A 6.C 7.B 13.AC 14.B 15.D
1.A　cos(-300°)=cos 60°=,
sin =sin =sin ,
故cos(-300°)·sin ,
故选A.
2.A　原式=sin230°+sin245°-2sin 30°+cos245°=.
3.答案　-2
解析　原式=
=
=
=
=-2.
4.解析　(1)sin
=sin+cos π+1
=-1+0-1+1=-1.
(2)原式=-sin(120°+3×360°)cos(210°+3×360°)
=-sin 120°·cos 210°
=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)
=sin 60°cos 30°
=.
5.A　依题意得β=α+π,因为sin α=,所以sin β=sin(α+π)=-sin α=-.故选A.
6.C　当2x+4=0,即x=-2时,y=4,所以A(-2,4),
所以cos θ=,由诱导公式可得sin=-cos θ=.故选C.
7.B　cos.故选B.
8.答案　-
解析　cos
=-.
9.答案　
解析　因为sin(π+α)=,所以-sin α=,
所以sin α=-,
又角α∈,所以α=,
所以sin=sin =sin2π-=-sin .
10.解析　因为函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4,
所以f(2 001)=asin(2 001π+α)+bcos(2 001π+β)+4=-asin α-bcos β+4=5,
所以asin α+bcos β=-1,
所以f(2 022)=asin(2 022π+α)+bcos(2 022π+β)+4=asin α+bcos β+4=3.
11.解析　当k=2n(n∈Z)时,
原式=
=
==-1;
当k=2n+1(n∈Z)时,
原式=
==-1.
综上,原式=-1.
易错警示　在化简含参的三角函数式时,要注意对参数进行分类讨论.
12.证明　①当n=2k,k∈Z时,
左边=sin,
右边=cos,
左边=右边,则原等式成立;
②当n=2k+1,k∈Z时,
左边=sin
=sin,
右边=cos2(2k+1)π+(-1)2k+1·=cos
=cos,
左边=右边,则原等式成立.
综上,sin=cos2nπ+(-1)n·(n∈Z).
13.AC　f(-x)=sin=-f(x),故A正确,B错误;
f(2π-x)=sin=f(x),故C正确;
f(π+x)=sin,而由C中分析知f(2π-x)=sin ,故D错误.
故选AC.
14.B　因为f(sin x)=cos 3x,cos 10°=sin 80°,
所以f(cos 10°)=f(sin 80°)=cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°=-.
因为cos 10°=sin 100°,
所以f(cos 10°)=f(sin 100°)=cos 300°=cos(360°-60°)=cos 60°=.
故f(cos 10°)=±,
故选B.
15.D　因为角α的终边过点,且=1,
所以
因为角α的终边与角β的终边关于x轴对称,
所以
因为角γ的终边是将角β的终边绕原点按逆时针方向旋转180°后得到的,
所以γ=β+180°,
所以sin γ=sin(β+180°)=-sin β=.
故选D.
16.解析　(1)因为角α的终边与单位圆交于第一象限的点P,
所以
解得y1=.
(2)易得sin α=,cos α=,sin(α+β)=y2,cos(α+β)=x2.
若选条件①β=,
则.
若选条件②β=π,
则.
若选条件③β=,
则.
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