2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第一章　三角函数
§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5.1　正弦函数的图象与性质再认识
基础过关练
题组一　正弦函数的图象
1.以下对正弦函数y=sin x的图象的描述不正确的是 (　　)
A.当x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)且k取不同值时的图象形状相同,只是位置不同
B.介于直线y=1与直线y=-1之间
C.关于x轴对称
D.与y轴仅有一个交点
2.函数y=1+sin x(x∈[0,2π])的大致图象是(　　)
3.与下面图象(部分)对应的函数解析式是(　　)
A.y=|sin x|　　　B.y=sin|x|
C.y=-sin|x|　　　D.y=-|sin x|
题组二　正弦函数图象的应用
4.(2022陕西西安铁路中学月考)不等式sin x<-,x∈[0,2π]的解集是(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
5.(2022辽宁沈阳铁路实验中学一模)使不等式-2sin x≥0成立的x的取值集合是(　　)
A.
B.
C.
D.
6.(2023山东济宁曲阜第一中学期末)函数f(x)=lg x-sin x的零点个数是(　　)
A.1　　　B.2　　　
C.3　　　D.4
7.(多选题)(2022海南热带海洋学院附属中学期中)若函数f(x)=sin x-在上只有一个零点,则a的可能取值是(　　)
A.-1　　　B.1　　　
C.　　　D.0
8.(2023河南开封通许第一高级中学期末)函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围为(　　)
A.[0,3]　　　B.[1,3]　　　C.(1,3)　　　D.(0,3)
9.已知函数f(x)=则不等式f(x)>的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
10.(2021上海长征中学期中)用“五点法”作出函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象,并写出使1≤y≤2 成立的x的取值范围.
题组三　正弦函数的性质及应用
11.已知函数f(x)=-sin x,则下列结论错误的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在区间上是减函数
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
12.(2022湖北武汉期末)设a=sin 1,b=sin 2,c=sin 3,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.aC.c13.(2021青海西宁期末)若函数f(x)=2sin x对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为(　　)
A.　　　B.　　　C.π　　　D.2π
14.(2023江苏镇江期初)已知函数f(x)=asin x+2>0对任意实数x都成立,则实数a的取值范围为　　　　.
15.判断下列每组中两个三角函数值的大小.
(1)sin(-3)与sin(-2);
(2)sin与sin;
(3)sin与cos.
16.(2022陕西西安二中月考)求下列函数的值域.
(1)y=sin x,x∈;
(2)y=sin2x-sin x+1,x∈.
能力提升练
题组一　正弦函数的图象及应用
1.(2023湖南永州期末)函数f(x)=的图象可能是(　　)
A　　　B
C　　　D
2.(2021广东佛山仿真试卷)函数f(x)=(x-π)·sin x+1在区间[-2π,4π]上的所有零点之和为　　(　　)
A.0　　　B.π　　　
C.4π　　　D.8π
3.(2022湖北武汉期末)已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c-2π的取值范围是　　(　　)
A.(0,2 021)　　　B.(0,2 022)
C.(1,2 022)　　　D.[0,2 022]
题组二　正弦函数的性质及应用
4.若代数式有意义,则锐角θ的取值范围是(　　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.
5.函数y=(　　)
A.是奇函数,但不是偶函数
B.既是奇函数,也是偶函数
C.是偶函数,但不是奇函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
6.(2022江苏靖江调研)已知函数f(x)=-4sin2 x+4sin x,x∈[0,a]的值域为[0,1],则实数a的取值范围为(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
7.(多选题)(2021广东江门期末)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|,下列说法正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)在[-π,π]上有4个零点
D.f(x)在区间上单调递减
8.(2023湖南衡阳八中期末)已知函数f(x)=asin x+bx+1,若f(-1)=2,则f(1)=　　　　.
9.(2023重庆第一中学校期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+π)-f(x)=sin x,且f ,则f =　　　　.
10.已知函数f(x)=ln+sin x,则关于a的不等式f(a-2)+f(a2-4)<0的解集是　　　　.
11.已知函数f(x)=,且f(x-2)+f(-x)-a>0.
(1)a的取值范围为　　　　;
(2)f(x)的最大值与最小值的和为　　　　.
5.2　余弦函数的图象与性质再认识
基础过关练
题组一　余弦函数的图象及应用
1.用五点法作y=2cos x-1在[0,2π]上的图象时,应取的五点为(　　)
A.(0,1),,(π,-1),,(2π,1)
B.(0,1),,(π,-3),,(2π,1)
C.(0,1),(π,-3),(2π,1),(3π,-3),(4π,1)
D.(0,1),
2.函数f(x)=sin的图象的一条对称轴是直线(　　)
A.x=π　　　B.x=　　　
C.x=　　　D.x=-
3.(2021广西桂林全州二中期中)使得sin x>cos x成立的一个区间是(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
4.方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内(　　)
A.没有实根　　　B.有且仅有一个实根
C.有且仅有两个实根　　　D.有无穷多个实根
5.(2023重庆第八中学校期末)若方程cos x=在x∈上有两个不等的实数根,则实数a的取值范围为　　　　.
题组二　余弦函数的性质及应用
6.(2021北京昌平新学道临川学校月考)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是(　　)
A.y=2sin x+1　　　B.y=2sin x-3
C.y=2cos x+1　　　D.y=2cos x-3
7.(多选题)(2023重庆第一中学校期末)已知函数f(x)=|2cos x|,则(　　)
A.函数f(x)的最小正周期T=2π
B.函数f(x)在上单调递增
C.函数f(x)在上的值域为(0,)
D.函数f(x)的图象关于直线x=2 025π对称
8.函数y=cos x在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围是　　　　.
9.(2022广西钦州第一中学期中)函数f(x)=lg(cos x-1)的定义域为　　　　 .
10.cos 1,cos 2,cos 3的大小关系是　　　　.(用“>”连接)
11.已知函数y=2cos x的定义域为,值域为[a,b],求b-a的值.
能力提升练
题组一　余弦函数的图象与性质及其应用
1.(2022河南新蔡第一高级中学月考)在△ABC中,“A=B”是“cos A=
cos B”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2023北京房山诊断性评价)若角α,β是锐角三角形的两个内角,则下列各式中一定成立的是　(　　)
A.cos α>cos β　　　B.sin αC.cos α>sin β　　　D.cos α3.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是　　　　.
4.(2023湖北武汉青山期末)若常数m使方程cos x=m在区间上恰有三个解x1,x2,x3(x15.(2023河南漯河许慎高级中学月考)设函数f(x)=x3cos x+1,若
f(2 023)=-2 022,则f(-2 023)=　　　　.
6.写出一个同时满足以下条件的函数:f(x)=　　　　　　　　.
①f(x)的解析式中含有cos x;②f(x)的最大值为3,最小值为-1;③f(x)在[0,1]上单调.
7.设函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+1=0(a∈R)有且仅有12个不同的实根,则实数a的取值范围是　　　　　　.
8.已知f(x)=-cos2x+acos x-.
(1)用a表示f(x)的最大值M(a);
(2)当M(a)=2时,求a的值.
题组二　正弦函数、余弦函数的综合应用
9.(2022新疆乌鲁木齐第一中学期末)函数y=2 021sin x与y=2 022cos x在下列区间内同时单调递增的是(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
10.(2022河北廊坊期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f,且当x∈[0,π]时,f(x)=sin x,则(　　)
A.f(cos 120°)>f(sin(-20°))>f(sin 190°)
B.f(cos 120°)>f(sin 190°)>f(sin(-20°))
C.f(sin 190°)>f(cos 120°)>f(sin(-20°))
D.f(sin 190°)>f(sin(-20°))>f(cos 120°)
11.(2021江西赣州会昌中学月考)已知定义在区间[0,2π]上的函数f(x)=则不等式f(x)≤0的解集为　　　　.
答案与分层梯度式解析
第一章　三角函数
§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5.1　正弦函数的图象与性质再认识
基础过关练
1.C 2.A 3.C 4.A 5.C 6.C 7.ABC 8.C
11.C 12.D 13.C
1.C　由正弦函数y=sin x的图象可知,C项不正确.
2.A　根据五点法找出五个关键点,分别为(0,1),,(2π,1),依此五点判断可知A项符合.故选A.
3.C　注意题中图象所对应的函数值的正负,可排除选项A,D.当x∈(0,π)时,sin|x|>0,与题图不符,因此排除选项B.故选C.
4.A　在同一平面直角坐标系内作出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象及直线y=-,如图所示:
由图可知原不等式的解集为.故选A.
5.C　不等式可化为sin x≤.在同一平面直角坐标系内作出正弦曲线y=sin x及直线y=,如图所示.
由图知,原不等式的解集为x2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.
6.C　函数f(x)=lg x-sin x的零点个数,即函数y=lg x和y=sin x的图象的交点个数,
易知lg 10=1,sin =1,sin =1,sin =1,
在同一坐标系中作出两函数的图象,如图:
由图象可知,有3个交点,即原函数有3个零点.故选C.
7.ABC　因为函数f(x)=sin x-上只有一个零点,
所以方程sin x-=0在x∈上只有一个解,
即函数y=sin x,x∈的图象与直线y=只有一个交点.如图所示:
由图可知,当=1时,只有一个交点,所以a的取值范围为(0,1]∪{-1},结合选项知选ABC.
8.C　f(x)=sin x+2|sin x|=
在同一平面直角坐标系中作出f(x)的图象和直线y=k,如图所示,
若使函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是(1,3).
9.答案　2kπ,k∈N
解析　在同一平面直角坐标系中画出函数y=f(x)的图象和直线y=,如图所示,
由图可知不等式的解集为x-10.解析　按五个关键点列表如下:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
y=1-sin x 1 0 1 2 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示:
由图可知,当x∈{0}∪[π,2π]时,有 1≤y≤2成立.
11.C　结合函数f(x)=-sin x的图象(图略)可知, f(x)的图象关于原点对称,不关于直线x=0对称,故C中结论错误.
12.D　解法一:因为0<π-3<1<π-2<,函数y=sin x在上单调递增,
所以sin(π-3)解法二:画出f(x)=sin x的图象,如图,其中A(1,sin 1),B(2,sin 2),C(3,sin 3),
由图可知c13.C　因为函数f(x)=2sin x对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,
所以f(x1)是函数f(x)的最小值,f(x2)是函数f(x)的最大值,|x1-x2|的最小值等于函数f(x)的半周期,又周期T=2π,所以|x1-x2|的最小值为π.故选C.
14.答案　-2解析　因为f(x)=asin x+2>0对任意实数x都成立,所以(asin x+2)min>0.
当a=0时,符合题意;
当a>0时,(asin x+2)min=-a+2>0 0当a<0时,(asin x+2)min=a+2>0 -2综上,实数a的取值范围为-2方法总结　对于恒成立或有解问题,求解时通常将其等价转化为最大值或最小值问题.
15.解析　(1)∵y=sin x在上单调递减,-,
∴sin(-3)>sin(-2).
(2)sin,
∵y=sin x在上单调递增,且-,
∴sin,即sin.
(3)sin,
∵y=sin x在上单调递减,且,
∴sin,
∴sin.
16.解析　(1)易知y=sin x在上单调递增,在上单调递减,故ymax=sin =1,
又sin,
所以ymin=sin,故函数的值域为.
(2)由x∈得sin x∈,
令t=sin x,则原函数可转化为y=t2-t+1=,t∈,
易知当t=时,ymin=,当t=1时,ymax=1,故函数的值域为.
能力提升练
1.D 2.D 3.A 4.C 5.D 6.C 7.ABD
1.D　易知函数f(x)=的定义域为R,关于原点对称,
∵f(-x)==-f(x),∴函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除A,C;
当x=时,f>0,图象在x轴的上方,排除B.故选D.
2.D　f(π)=0+1=1,所以π不是f(x)的零点.当x≠π时,令f(x)=(x-π)sin x+1=0,可得sin x=,作出函数y=sin x和y=的图象如图,它们均关于点(π,0)对称,由图象可知它们在[-2π,4π]上有8个交点,且这8个交点可分成4对关于点(π,0)对称的点,每对对称点的横坐标之和均为2π,所以这8个点的横坐标之和,即f(x)在区间[-2π,4π]上的所有零点之和,为8π.故选D.
3.A　不妨设a因为a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),所以y=f(x)的图象与直线y=m有3个交点,由图象可知a,b关于直线x=对称,所以a+b=π.
令log2 022(x-π+1)=1,解得x=2 021+π,所以π2 021+2π,则04.C　由题意可得4sin2θ-1≥0,结合0<θ<,即05.D　由题意知,1-sin x≠0,所以函数的定义域为,由于定义域不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数,也不是偶函数.
6.C　设t=sin x,则f(x)=-4sin2x+4sin x可转化为g(t)=-4t2+4t=-4+1,所以g(t)≤g=1,且g(0)=0,又函数f(x)=-4sin2x+4sin x,x∈[0,a]的值域为[0,1],所以≤a≤π,故实数a的取值范围为.故选C.
方法总结　对于y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的值域问题,常将sin x视为一个整体,将函数式看成关于sin x的“二次函数”,再通过配方法求值域.
7.ABD　易知f(x)的定义域为R,关于原点对称.f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)是偶函数,故A正确;f(x)的图象如图所示,由图象可知f(x)的最大值为2,故B正确;由f(x)的图象易知f(x)在[-π,π]上有3个零点,故C错误;当x∈时,f(x)=2sin x,f(x)单调递减,故D正确,故选ABD.
8.答案　0
解析　设F(x)=f(x)-1=asin x+bx,
则F(x)的定义域为R,关于原点对称,
又F(-x)=-F(x),故F(x)是奇函数,
∵f(-1)=2,∴F(-1)=f(-1)-1=2-1=1,
从而F(1)=-F(-1)=-1,
∴f(1)=F(1)+1=-1+1=0.
一题多解　由函数f(x)=asin x+bx+1得f(-x)+f(x)=asin(-x)+b(-x)+1+asin x+bx+1=(-asin x+asin x)+(-bx+bx)+2=2,所以f(1)+f(-1)=f(1)+2=2,解得f(1)=0.
9.答案　-
解析　由题可得f(x+π)=f(x)+sin x,
所以f(x+π+π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x+π)-sin x
=f(x)+sin x-sin x=f(x),所以f(x+2π)=f(x),
所以函数f(x)是以2π为周期的周期函数,
所以f =f =f .
对于f(x+π)-f(x)=sin x,
令x=,得f -f =sin ,
所以f =f =f ,
所以f =f .
10.答案　(,2)
解析　由>0,得-1又f(-x)=ln+sin(-x)=-ln -sin x=-f(x),可得f(x)为奇函数,故关于a的不等式f(a-2)+f(a2-4)<0即f(a-2)<-f(a2-4)=f(4-a2).
由函数y=-1,y=sin x在(-1,1)上都单调递增,可得函数f(x)在其定义域上单调递增,
所以故答案为(,2).
11.答案　(1)(-∞,2)　(2)2
解析　(1)由f(x)=,
得f(x-2)+f(-x)=
==2,
所以2-a>0,即a<2,故a的取值范围为(-∞,2).
(2)解法一:由f(x-2)+f(-x)=2,知f(x)的图象关于点(-1,1)对称,
所以f(x)max+f(x)min=2.
解法二:f(x)=+1,
记g(x)=,则g(x-1)=,
易知g(x-1)在R上为奇函数,
所以g(x)max+g(x)min=g(x-1)max+g(x-1)min=0,
所以f(x)max+f(x)min=1+g(x)max+1+g(x)min=2.
5.2　余弦函数的图象与性质再认识
基础过关练
1.B 2.A 3.A 4.C 6.C 7.BD
1.B　
2.A　f(x)=sin=cos x,∴直线x=π是f(x)=cos x的图象的一条对称轴,故选A.
3.A　在同一平面直角坐标系中作出y=sin x与y=cos x的图象,如图所示:
由图象及选项知,在区间内满足sin x>cos x,故选A.
4.C　分别作出函数y=|x|,y=cos x的大致图象(如图所示),由图可知这两个函数的图象有两个交点,即方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内有且仅有两个实根.故选C.
方法总结　形如f(x)=g(x)的方程解的个数问题常转化为函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点个数问题.
5.答案　[2,3)
解析　方程cos x=在x∈上有两个不等的实数根等价于函数y=cos x,x∈的图象与直线y=有两个交点,如图所示:
由图可知,当<1,即2≤a<3时有两个交点,所以实数a的取值范围为[2,3).
6.C　选项A,B中的函数不是偶函数,不符合题意;选项C,D中的函数是偶函数,但选项D中的函数不存在零点.故选C.
7.BD　f(x)=|2cos x|=2|cos x|,作出其大致图象,如图:
由图象可知,函数f(x)的最小正周期T=π,故A错误;
由图象可知函数的单调递增区间为(k∈Z),故函数f(x)在上单调递增,故B正确;
当x∈时,cos x∈,f(x)∈[0,2],故C错误;
f(2 025π)=2|cos 2 025π|=2=f(x)max,故函数f(x)的图象关于直线x=
2 025π对称,故D正确.
8.答案　(-π,0]
解析　因为y=cos x在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,所以当且仅当-π9.答案　(k∈Z)
解析　由题意得cos x-1>0,即cos x>,如图所示:
结合图象可得,函数f(x)的定义域为x2kπ-(k∈Z).
10.答案　cos 1>cos 2>cos 3
解析　因为0<1<2<3<π,且y=cos x在[0,π]上单调递减,所以cos 1>
cos 2>cos 3.
11.解析　易知当≤x≤π时,y=2cos x单调递减,因为当x=时,y=2cos=1,当x=π时,y=2cos π=-2,所以-2≤y≤1,即函数y=2cos x的值域是[-2,1],所以a=-2,b=1,所以b-a=1-(-2)=3.
能力提升练
1.C 2.D 9.D 10.A
1.C　在△ABC中,A,B∈(0,π),
由于余弦函数y=cos x在(0,π)上单调递减,
所以A=B cos A=cos B,
所以“A=B”是“cos A=cos B”的充要条件.故选C.
2.D　由题意得,<α+β<π且0<α<,
所以0<,
又函数y=cos x在上单调递减,
故cos>cos α,即sin β>cos α.
又角α,β的具体大小不确定,故A、B中式子不一定成立,故选D.
3.答案　4π
解析　在同一平面直角坐标系内作出函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2,如图所示:
围成的封闭图形如图中阴影部分所示,
利用图象的对称性可知此封闭图形的面积等于矩形OABC的面积,
又因为OA=2,OC=2π,
所以S矩形OABC=2×2π=4π.
故答案为4π.
4.答案　-
解析　作出y=cos x,x∈的图象,如图所示:
由方程cos x=m在区间上恰有三个解知-1又=x1·x3,所以4π2-4πx1+=x1(2π+x1),解得x1=π,从而m=cos .
5.答案　2 024
解析　易知函数f(x)=x3cos x+1的定义域为R,
令g(x)=x3cos x,则g(x)的定义域也为R,关于原点对称,
又g(-x)=(-x)3cos(-x)=-x3cos x=-g(x),
所以g(x)为奇函数,
又f(2 023)=g(2 023)+1=-2 022,
所以g(2 023)=-2 023,
所以f(-2 023)=g(-2 023)+1=-g(2 023)+1=2 024.
6.答案　2cos x+1(答案不唯一)
解析　若f(x)=2cos x+1,则显然满足①;由cos x∈[-1,1],可得2cos x+1∈[-1,3],满足②;由于y=cos x在区间[0,1]上单调递减,所以f(x)=2cos x+1在区间[0,1]上单调递减,故满足③.
7.答案　
解析　作出函数f(x)的图象如图,
令f(x)=t,要使关于x的方程[f(x)]2+af(x)+1=0(a∈R)有且仅有12个不同的实根,只需方程t2+at+1=0有两个不同的实根t1,t2,且t1,t2∈(0,2).
设g(t)=t2+at+1,
则有解得-因此实数a的取值范围是.
8.解析　(1)f(x)=-cos2x+acos x-
=-,
∵0≤x≤,∴0≤cos x≤1.
①当0≤≤1,即0≤a≤2时,M(a)=;
②当>1,即a>2时,M(a)=f(0)=;
③当<0,即a<0时,M(a)=f .
∴M(a)=
(2)当=2时,a=3或a=-2,均不符合题意;
当=2时,a=,符合题意;
当-=2时,a=-6,符合题意.
综上,a=或a=-6.
9.D　由正弦函数的单调性可知,函数y=2 021sin x在上单调递增;
由余弦函数的单调性可知,函数y=2 022cos x在上单调递增.故选D.
10.A　因为f,所以f(x)=f(x+π),故f(x)的一个周期为π.
当x∈[0,π]时,f(x)=sin x,则f(x)在上单调递减,所以f(x)在上单调递减.
因为-<-1sin 200°=sin(-20°),所以-<-1故f(cos 120°)>f(sin(-20°))>f(sin 190°).故选A.
11.答案　
解析　作出函数f(x)的大致图象,如图中实线部分所示,
由函数图象得不等式f(x)≤0在区间[0,2π]上的解集为.
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