2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--5.1　向量的数量积(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第二章　平面向量及其应用
§5　从力的做功到向量的数量积
5.1　向量的数量积
基础过关练
题组一　向量的数量积的定义
1.(2022陕西榆林十中期中)已知圆O的半径为3,圆心为O,点A和点B在圆O上,且AB=3,则·=(　　)
A.4　　　B.　　　
C.5　　　D.
2.已知向量a与向量b平行,且|a|=3,|b|=4,则a·b=(　　)
A.12　　　B.-12
C.5　　　D.12或-12
3.(2022黑龙江哈三中三检)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,AC=2,O为△ABC的外心,则·=(　　)
A.5　　　B.2　　　
C.-4　　　D.-6
4.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题组二　投影向量和投影数量
5.(2021黑龙江哈尔滨师范大学附属中学模拟)向量a与b的夹角为,|a|=1,|b|=2,则a在b方向上的投影数量为(　　)
A.2　　　B.　　　C.1　　　D.
6.如图,网格纸中小正方形的边长均为1,向量a如图所示,若从A,B,C,D中任选两个点作为向量b的起点与终点,则a·b的最大值为　(　　)
A.8　　　B.6　　　C.4　　　D.2
7.(2023湖北新高考联考协作体期末)若向量a在向量b上的投影向量为4b,且|b|=2,则数量积a·b=　　　　.
8.(2022湖南长沙一中月考)在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,则在方向上的投影数量为　　　　.
9.(2023山西运城期末)已知|a|=1,|b|=3,|a-b|=4,则向量a在向量b上的投影向量为　　　　.
题组三　向量数量积的运算性质与应用
10.(多选题)下面给出的关系式中,正确的有(　　)
A.0·a=0
B.a·b=b·a
C.a2=|a|2
D.(a·b)·c=a·(b·c)
11.(2022天津芦台一中月考)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,且a与b的夹角为,则(a+b)·(2a+b)=(　　)
A.6　　　B.8　　　C.20　　　D.24
12.(2023山东潍坊三县市期中联考)如图,已知的模均为4,且∠AOB=∠BOC=60°,则·=(　　)
A.24　　　B.-24　　　C.8　　　D.-8
13.(2022江苏泰州姜堰中学、如东中学联考)已知a,b,c均为单位向量,且a+2b=3c,则a·c=(　　)
A.-　　　B.　　　C.1　　　D.
14.(2022湖北部分高中联考协作体期中)已知|a|=4,|b|=3,且a,b的夹角为60°,如果(a+2b)⊥(a-mb),那么m的值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
15.(2023浙江Z20名校联盟联考)已知△ABC是边长为1的正三角形,,则·=(　　)
A.　　　B.　　　
C.　　　D.1
16.(2022江西南昌一模)e1,e2是互相垂直的两个单位向量,a=e1+e2,b=3e1+4e2,则a在b方向上的投影数量为　　　　.
17.(2021甘肃天水一中开学考试)如图所示,在 ABCD中,已知AB=3,AD=2,∠BAD=120°,,求·.
18.(2023吉林四平第一高级中学月考)如图,在△OAB中,P为线段AB上的一个动点(不含端点),且满足=λ.
(1)若λ=,用向量表示;
(2)若||=2,且∠AOB=120°,求·的取值范围.
能力提升练
题组　向量数量积的运算性质及应用
1.(2022四川广安期末)在△ABC中,···,则△ABC一定是(　　)
A.等边三角形　　　B.锐角三角形
C.直角三角形　　　D.钝角三角形
2.(2023河南开封期末)已知三个单位向量a,b,c满足a·b=,则(a+b)·c的最大值为(　　)
A.　　　B.2　　　
C.　　　D.
3.(2022贵州凯里第一中学期中)如图所示,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E为线段AB的中点,,BC=2AD=4,∠ABC=60°,则·=(　　)
A.-12　　　B.-10　　　
C.-8　　　D.-6
4.(2022河南省实验中学期中)如图所示,点C在以O为圆心,2为半径的圆弧AB上运动,且∠AOB=,则·的最小值为(　　)
A.-4　　　B.-2　　　C.0　　　D.2
5.在△ABC中,已知AB=3,AC=2,∠A=120°.若点D,E满足=λ(λ∈R),且·=-6,则实数λ=　　　　.
6.(1)在△ABC中,若·=0,试判断△ABC的形状;
(2)若M为△ABC所在平面内一点,且满足()·()=0,试判断△ABC的形状.
7.(2021浙江杭州学军中学期中)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.
(1)设,求x+y的值;
(2)若··,求的值.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面向量及其应用
§5　从力的做功到向量的数量积
5.1　向量的数量积
基础过关练
1.B 2.D 3.D 4.A 5.D 6.B 10.BC 11.C
12.A 13.C 14.A 15.A
1.B　由题意得∠BAO=60°,OA=AB=3,故=3×3×cos 60°=.
2.D　∵向量a与向量b平行,∴向量a与向量b的夹角θ为0°或180°,
当θ=0°时,a·b=3×4×cos 0°=12,
当θ=180°时,a·b=3×4×cos 180°=-12,故选D.
易错警示　本题要注意两向量平行时其夹角有两种情况:0°和180°.
3.D　由已知得∠ABC=30°,∴<>=150°,又O为Rt△ABC的外心,∴O是AB的中点,∴AO=AB=2,在Rt△ABC中,
∠ACB=90°,AB=4,AC=2,∴BC=|·||·cos 150°=2×2=-6.
4.A　∵m,n为非零向量,且存在负数λ,使得m=λn,∴向量m,n共线且方向相反,∴m·n<0;
当非零向量m,n的夹角为钝角时,满足m·n<0,但m=λn不成立,
∴“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分不必要条件.故选A.
5.D　a在b方向上的投影数量为|a|cos=1×cos.故选D.
6.B　由题图可知a=(2,0),因为a·b=|a||b|·cos,而|b|cos为b在a方向上的投影数量,所以要使a·b取最大值,即使b在a方向(即x轴正方向)上的投影数量取最大值,由题图可知在a方向上的投影数量最大,为3,所以(a·b)max=2×3=6,故选B.
7.答案　16
解析　设a,b的夹角为θ,则|a|cos θ=4|b|,
所以a·b=|a||b|cos θ=4|b|2=16.
8.答案　
解析　由已知可得AB2=AC2+BC2,则BC⊥AC,所以cos A=,即cos<,所以方向上的投影数量为|.
9.答案　-b
解析　因为|a|=1,|b|=3,|a-b|=4,
所以|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=1-2a·b+9=16,解得a·b=-3,
所以向量a在向量b上的投影向量为b.
10.BC　对于A,因为数与向量相乘的结果为向量,所以0·a=0,A错误;对于B,向量的数量积运算满足交换律,所以a·b=b·a,B正确;对于C,根据数量积的定义知a2=|a|·|a|·cos 0°=|a|2,所以a2=|a|2,C正确;对于D,根据数量积的定义知,两向量的数量积为实数,所以(a·b)·c为mc(m∈R),表示与c共线的向量,而a·(b·c)为na(n∈R),表示与a共线的向量,而a与c不一定共线,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立,D错误.
11.C　∵|a|=2,|b|=,且a与b的夹角为,∴a·b=|a||b|cos=3,∴(a+b)·(2a+b)=2|a|2+3a·b+|b|2=8+9+3=20.
12.A　)·(=4×4×cos 60°-4×4×cos 120°-4×4×cos 60°+16=24.故选A.
13.C　∵a+2b=3c,∴a-3c=-2b,∴(a-3c)2=(-2b)2,∴a2-6a·c+9c2=4b2,∵a,b,c均为单位向量,∴1-6a·c+9=4,∴a·c=1.
14.A　由题意可得a·b=|a||b|cos60°=6,
由(a+2b)⊥(a-mb),得(a+2b)·(a-mb)=0,
即a2+(2-m)a·b-2mb2=0,
即16+12-6m-18m=0,解得m=.故选A.
15.A　由,可知E为BC的中点,因为△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,如图所示:
因为,所以,
所以.
16.答案　
解析　由已知得e1·e2=0,则b2=(3e1+4e2)2=9+24e1·e2+16=25,所以|b|=5,
又a·b=(e1+e2)·(3e1+4e2)=3+7e1·e2+4=7,所以a在b方向上的投影数量为.
17.解析　因为,所以|cos∠BAD-.
18.解析　(1)因为,所以,
所以,
当λ=时,.
(2)由(1)可知,
所以·()
=-.
因为||=2,∠AOB=120°,
所以,
由题知0<λ<1,所以-52<-<-26,所以-42<<-16,
即的取值范围为(-42,-16).
能力提升练
1.C 2.A 3.B 4.B
1.C　由题可得,
即·(·(),
即,
∴·()=0,
即=0,即,∴BC⊥AC,∴△ABC一定是直角三角形,故选C.
2.A　易得|a+b|2=a2+2a·b+b2=,所以|a+b|=,所以(a+b)·c=|a+b||c|cos≤|a+b|=,当且仅当cos=1,即c与a+b同向时,(a+b)·c取得最大值.
3.B　过点A,D分别作AM,DN垂直于BC,垂足为M,N,则MN=AD=2,BM=CN=1,
∵∠ABC=60°,四边形ABCD为等腰梯形,∴AB=CD=2,
∵E为线段AB的中点,,
∴×2×4×cos 60°-42+×2×2×cos 60°-×2×4×cos 120°=2-16+=-10.故选B.
4.B　如图,连接AB,OC,过O作OP垂直于AB于点P,则P为AB的中点.
∵OA=OB=2,∠AOB=,∴∠OBP=,
∴OP=OB·sin∠OBP=2×=1.
设<>=θ,则θ∈,
∴)·()
=)·
=2×2×cos+4
=2-2×1×2×cos θ=2-4cos θ,θ∈,
易知当θ=0时,取得最小值,为2-4×1=-2,
∴的最小值为-2.故选B.
5.答案　
解析　易得(λ∈R),∴·(λ=-6,即-=-6,解得λ=.
6.解析　(1)∵·(
,即∠A=90°,∴△ABC是直角三角形.
(2)∵()·()=0,
∴·()=0.又∵,
∴·()·(|2=0,即||,
∴△ABC是等腰三角形.
方法总结　利用向量判断三角形的形状时,常从以下角度进行突破:
(1)利用向量的垂直关系判断两边垂直;
(2)利用向量的模的计算公式计算边长,从而得到各边之间的关系;
(3)利用向量的夹角公式求角,从而得到各角之间的关系.
7.解析　(1)由题意得,
则)
=-x
=,
因为E,O,C三点共线,A,O,D三点共线,
所以
所以x+y=-.
(2)设,
则)
=(1-n),
所以
所以),
又,
所以6)·
=-,
又,
所以-=0,
所以=3,所以.
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