湖南省长沙市开福区周南实验中学2023-2024学年八年级上学期入学数学试卷
1．（2023八上·开福开学考）下列实数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0
2．（2023八上·开福开学考）如图，直线，直线，被直线所截，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·开福开学考）在平面直角坐标系中，在第三象限的点是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·开福开学考）下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．环保部门调查湘江的水质情况
B．调查五一劳动节期间到网红城市长沙的旅客满意度
C．调查长沙湘江新区老年人使用手机的时长
D．调查神舟十六号飞船各零部件是否正常
5．（2023八上·开福开学考）估计 的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
6．（2023八上·开福开学考）如图，下列推理不正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2023八上·开福开学考）如果，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八上·开福开学考）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023八上·开福开学考）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《九章算术》中记载了这样一个问题，大意为：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每1只各重多少斤？”如果设每只雀重x斤，每只燕重y斤，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023八上·开福开学考）关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023八上·开福开学考）已知三角形的三边长为、、，则的取值范围是 ．
12．（2023八上·开福开学考）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 ．
13．（2023八上·开福开学考）把命题“锐角小于它的补角”改写成“如果那么”的形式为 ．
14．（2023八上·开福开学考）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE＝20°，则∠DBC为 度.
15．（2023八上·开福开学考）下列说法：
两条不相交的直线叫平行线；
两条不相交的线段，在同一平面内必平行；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
若直线，，那么，
其中错误的是 只填序号
16．（2023八上·开福开学考）已知关于，的方程组的解满足不等式，则实数的取值范围为 ．
17．（2023八上·开福开学考）计算：．
18．（2023八上·开福开学考）
（1）解方程组：；
（2）解不等式组．
19．（2023八上·开福开学考）在括号内填写理由．
如图，已知，求证：．
证明： ，
又 ，
20．（2023八上·开福开学考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD.
（1）若∠EOF＝55°，OD⊥OF，求∠AOC的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠DOE的度数.
21．（2023八上·开福开学考）今年某市提出城市核心价值观：“包容、尚德、守法、诚信、卓越”，学校德育处为了了解学生对城市核心价值观中哪一项内容感兴趣，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图的统计图．请你结合图中信息解答下列问题：
（1）填空：该校共调查了 名学生；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中“尚德“所对应的圆心角是 度；
（4）若该校共有名学生，请你估计全校对“诚信“最感兴趣的人数．
22．（2023八上·开福开学考）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求证：BE=CF；
（2）如果AB=8，AC=6，求AE、BE的长．
23．（2023八上·开福开学考）第三届中非经贸博览会近期在长沙举办，某饮料店欲在展会上购买，两种咖啡豆已知袋品种咖啡豆的总价与袋品种咖啡豆的总价相等，购买袋品种和袋品种共需元．
（1）求、两个品种咖啡豆的单价各是多少元？
（2）现计划用元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种咖啡豆共袋，且品种的数量不少于品种数量的，求两种咖啡豆共有多少种选购方案？品种咖啡豆选购多少袋时总费用最少？
24．（2023八上·开福开学考）阅读材料并回答下列问题：
当，都是实数，且满足，就称点为“郡麓点”例如：点，令得，，所以不是“郡麓点”；，令得，，所以是“郡麓点”．
（1）请判断点，是否为“郡麓点”：
（2）若以关于，的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求的值；
（3）若以关于，的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求正整数，的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．-1是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B． 是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C． 是无理数，故本选项符合题意；
D.0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】无理数是无限不循环小数，根据无理数的定义判断求解即可。
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：A
【分析】根据两直线平行，同位角相等及邻补角性质即可求出答案。
3．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A：点（-3，5）在第二象限，不符合题意；
B：点（1，-2）在第四象限，不符合题意；
C：点（-2，-3）在第三象限，符合题意；
D：点（1，1）在第一象限，不符合题意。
故答案为：C
【分析】根据各象限的点的特征即可求出答案。
4．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A适合抽样调查方式；
B适合抽样调查方式；
C适合抽样调查方式；
D适合全面调查方式。
故答案为：D
【分析】根据全面调查和抽样调查的区别即可求出答案。
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ， .
故答案为：C.
【分析】由 可知 ，再估计 的范围即可.
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A：，（内错角相等，两直线平行）；
B：，得不出
C：，（同位角相等，两直线平行）；
D：，（同位角相等，两直线平行）；
故答案为：B
【分析】根据直线平行的判定定理即可求出答案。
7．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，
，故本选项不合题意；
B、，
，
，故本选项符合题意；
C、，
，故本选项不符合题意；
D、，
，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可。
8．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式得：
故答案为：D
【分析】先解不等式的解集，再在数轴上表示出即可。
9．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，
5只雀、6只燕，将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，列方程得：
5x-x+y=6y-y+x即4x+y=5y+x，
5只雀和6只燕的总重量为1斤，列方程得：5x+6y=1，
则所列列方程组为： .
故答案为：A.
【分析】设每只雀重x斤，每只燕重y斤，由“ 5只雀和6只燕的总重量为1斤 ”可得5x+6y=1，由“将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等”可得4x+y=5y+x，即可得结果.
10．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式组得 ：，则不等式组的解集为：a∵不等式组有3个整数解
∴不等式组的整数解为：1，0，-1
∴
故答案为：B
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有3个整数解即可求出答案。
11．【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
整理得：
故答案为：
【分析】根据三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）即可求出答案。
12．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得：
180（x﹣2）＝1080，
解得：x＝8，
故答案为：8．
【分析】根据多边形内角和定理：（n-2） 180 （n≥3）可得方程180（x-2）=1080，再解方程即可．
13．【答案】如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
把命题“锐角小于它的补角”改写成“如果那么”的形式为如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角
故答案为：如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角
【分析】根据命题的概念即可求出答案。
14．【答案】70
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′.又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，∴∠ABE+∠DBC=90°.又∵∠ABE=20°，∴∠DBC=70°.故答案为：70.
【分析】由折叠的性质可得：∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′.，结合平角等于180°可得∠ABE+∠DBC=90°.，把∠ABE的度数代入计算即可求解。
15．【答案】①②
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：在同一平面内，两条不相交的直线叫平行线；故错误；
两条不相交的线段，在同一平面内不一定平行；故错误；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；故正确；
若直线，，那么，故正确
故答案为：①②
【分析】根据平行线的定义及平行定理即可求出答案。
16．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：加减消元法解不等式组得：
∴
解得：
故答案为：
【分析】根据加减消元法解不等式组得：，再代入不等式，解不等式即可求出答案。
17．【答案】解：
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先利用有理数的乘方，二次根式、立方根和绝对值的性质化简，再计算加减即可.
18．【答案】（1）解：，
，得，
解得，
把代入，得．
故原方程组的解为
（2）解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解不等式组即可求出答案；
（2）分别求出两不等式的解，即可求出不等式组的解集。
19．【答案】证明：已知，
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
又已知，
等量代换
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据直线平行定理及性质即可求出答案。
20．【答案】（1）解：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵∠EOF＝55°，OD⊥OF，
∴∠DOE＝35°，
∴∠BOE＝35°，
∴∠AOC＝70°；
（2）解：∵OF平分∠COE，
∴∠COF＝∠EOF，
∵∠BOF＝15°，
∴设∠DOE＝∠BOE＝x，
则∠COF＝x+15°，
∴x+15°+x+15°+x＝180°，
解得：x＝50°，
故∠DOE的度数为：50°.
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念得∠BOE＝∠DOE，由余角的性质得∠DOE=90°-∠EOF=35°，据此可得∠BOD的度数，然后根据对顶角的性质进行解答；
（2）根据角平分线的概念可得∠COF＝∠EOF，设∠DOE＝∠BOE＝x，则∠COF＝x+15°，然后根据平角的概念进行计算.
21．【答案】（1）500
（2）解：最感兴趣为“诚信”的人数名，
条形统计图补充如下：
（3）72
（4）解：人．
所以该校共有名学生，估计全校对“诚信”最感兴趣的人数为人．
【知识点】利用统计图表描述数据
【解析】【解答】解：（1）有150人，占比30%，则共有：名
故答案为：500
（3）“尚德”占比：1-30%-25%-15%-10%=20%
则圆心角度数为：360°×20%=72°
故答案为：72
【分析】（1）根据总人数=“包容”人数÷“包容”所占比，即可求出答案；
（2）计算出“诚信”人数。补全条形统计图即可；
（3）圆心角=360°×所占比即可求出答案；
（4）人数=3000ד诚信所占比”即可求出答案。
22．【答案】（1）证明：连接DB、DC，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB=DC．
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．∠AED=∠BED=∠ACD=∠DCF=90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中
，
Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴BE=CF
（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
∵AC+CF=AF，
∴AE=AC+CF．
∵AE=AB﹣BE，
∴AC+CF=AB﹣BE，
∵AB=8，AC=6，
∴6+BE=8﹣BE，
∴BE=1，
∴AE=8﹣1=7．
即AE=7，BE=1．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的性质得出
DE=DF，由垂直平分线的性质可得DB=DC． 利用HL判断
Rt△DBE≌Rt△DCF，由全等三角形的对应边相等即可得出结论。（2）由HL判断Rt△ADE≌Rt△ADF，得出AE=AF，然后利用等量代换即可得出答案。
23．【答案】（1）解：设品种咖啡豆的单价是元，则品种咖啡豆的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
．
答：品种咖啡豆的单价是元，品种咖啡豆的单价是元
（2）解：设购买袋品种咖啡豆，则购买袋品种咖啡豆，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
两种咖啡豆共有种选购方案，
方案：购买袋品种咖啡豆，袋品种咖啡豆，总费用为元；
方案：购买袋品种咖啡豆，袋品种咖啡豆，总费用为元；
方案：购买袋品种咖啡豆，袋品种咖啡豆，总费用为元．
，
品种咖啡豆选购袋时总费用最少．
答：两种咖啡豆共有种选购方案，品种咖啡豆选购袋时总费用最少．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设品种咖啡豆的单价是元，则品种咖啡豆的单价是元，根据题意列出方程，解方程即可求出答案；
（2）设购买袋品种咖啡豆，则购买袋品种咖啡豆， 根据题意列出不等式组，解不等式组求出整数解，再代入计算进行比较即可求出答案。
24．【答案】（1）不是“郡麓点“，是“郡麓点”
（2）解：方程组的解为，
点是“郡麓点”，
，
，
，
，
解得，
的值为．
（3）解：方程组的解为，
点是“郡麓点”，
，
，
，
，
解得，
，为正整数，
或或或
【知识点】二元一次方程的解；定义新运算
【解析】【解答】解：（1），令
解得：
∴不是“郡麓点“
，令
解得：
∴是“郡麓点”
故答案为：不是“郡麓点“，是“郡麓点”
【分析】（1）根据“郡麓点”的定义进行判断即可求出答案；
（2）根据“郡麓”点的定义得出t值即可求出答案；
（3）根据“郡麓”点的定义进行计算即可求出答案。
1 / 1湖南省长沙市开福区周南实验中学2023-2024学年八年级上学期入学数学试卷
1．（2023八上·开福开学考）下列实数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．-1是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B． 是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C． 是无理数，故本选项符合题意；
D.0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】无理数是无限不循环小数，根据无理数的定义判断求解即可。
2．（2023八上·开福开学考）如图，直线，直线，被直线所截，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：A
【分析】根据两直线平行，同位角相等及邻补角性质即可求出答案。
3．（2023八上·开福开学考）在平面直角坐标系中，在第三象限的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A：点（-3，5）在第二象限，不符合题意；
B：点（1，-2）在第四象限，不符合题意；
C：点（-2，-3）在第三象限，符合题意；
D：点（1，1）在第一象限，不符合题意。
故答案为：C
【分析】根据各象限的点的特征即可求出答案。
4．（2023八上·开福开学考）下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．环保部门调查湘江的水质情况
B．调查五一劳动节期间到网红城市长沙的旅客满意度
C．调查长沙湘江新区老年人使用手机的时长
D．调查神舟十六号飞船各零部件是否正常
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A适合抽样调查方式；
B适合抽样调查方式；
C适合抽样调查方式；
D适合全面调查方式。
故答案为：D
【分析】根据全面调查和抽样调查的区别即可求出答案。
5．（2023八上·开福开学考）估计 的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ， .
故答案为：C.
【分析】由 可知 ，再估计 的范围即可.
6．（2023八上·开福开学考）如图，下列推理不正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A：，（内错角相等，两直线平行）；
B：，得不出
C：，（同位角相等，两直线平行）；
D：，（同位角相等，两直线平行）；
故答案为：B
【分析】根据直线平行的判定定理即可求出答案。
7．（2023八上·开福开学考）如果，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、，
，故本选项不合题意；
B、，
，
，故本选项符合题意；
C、，
，故本选项不符合题意；
D、，
，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可。
8．（2023八上·开福开学考）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式得：
故答案为：D
【分析】先解不等式的解集，再在数轴上表示出即可。
9．（2023八上·开福开学考）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《九章算术》中记载了这样一个问题，大意为：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每1只各重多少斤？”如果设每只雀重x斤，每只燕重y斤，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，
5只雀、6只燕，将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，列方程得：
5x-x+y=6y-y+x即4x+y=5y+x，
5只雀和6只燕的总重量为1斤，列方程得：5x+6y=1，
则所列列方程组为： .
故答案为：A.
【分析】设每只雀重x斤，每只燕重y斤，由“ 5只雀和6只燕的总重量为1斤 ”可得5x+6y=1，由“将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等”可得4x+y=5y+x，即可得结果.
10．（2023八上·开福开学考）关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式组得 ：，则不等式组的解集为：a∵不等式组有3个整数解
∴不等式组的整数解为：1，0，-1
∴
故答案为：B
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有3个整数解即可求出答案。
11．（2023八上·开福开学考）已知三角形的三边长为、、，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
整理得：
故答案为：
【分析】根据三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）即可求出答案。
12．（2023八上·开福开学考）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 ．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得：
180（x﹣2）＝1080，
解得：x＝8，
故答案为：8．
【分析】根据多边形内角和定理：（n-2） 180 （n≥3）可得方程180（x-2）=1080，再解方程即可．
13．（2023八上·开福开学考）把命题“锐角小于它的补角”改写成“如果那么”的形式为 ．
【答案】如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
把命题“锐角小于它的补角”改写成“如果那么”的形式为如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角
故答案为：如果一个角是锐角，那么这个角小于它的补角
【分析】根据命题的概念即可求出答案。
14．（2023八上·开福开学考）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE＝20°，则∠DBC为 度.
【答案】70
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′.又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，∴∠ABE+∠DBC=90°.又∵∠ABE=20°，∴∠DBC=70°.故答案为：70.
【分析】由折叠的性质可得：∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′.，结合平角等于180°可得∠ABE+∠DBC=90°.，把∠ABE的度数代入计算即可求解。
15．（2023八上·开福开学考）下列说法：
两条不相交的直线叫平行线；
两条不相交的线段，在同一平面内必平行；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
若直线，，那么，
其中错误的是 只填序号
【答案】①②
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：在同一平面内，两条不相交的直线叫平行线；故错误；
两条不相交的线段，在同一平面内不一定平行；故错误；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；故正确；
若直线，，那么，故正确
故答案为：①②
【分析】根据平行线的定义及平行定理即可求出答案。
16．（2023八上·开福开学考）已知关于，的方程组的解满足不等式，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：加减消元法解不等式组得：
∴
解得：
故答案为：
【分析】根据加减消元法解不等式组得：，再代入不等式，解不等式即可求出答案。
17．（2023八上·开福开学考）计算：．
【答案】解：
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先利用有理数的乘方，二次根式、立方根和绝对值的性质化简，再计算加减即可.
18．（2023八上·开福开学考）
（1）解方程组：；
（2）解不等式组．
【答案】（1）解：，
，得，
解得，
把代入，得．
故原方程组的解为
（2）解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解不等式组即可求出答案；
（2）分别求出两不等式的解，即可求出不等式组的解集。
19．（2023八上·开福开学考）在括号内填写理由．
如图，已知，求证：．
证明： ，
又 ，
【答案】证明：已知，
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
又已知，
等量代换
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据直线平行定理及性质即可求出答案。
20．（2023八上·开福开学考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD.
（1）若∠EOF＝55°，OD⊥OF，求∠AOC的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠DOE的度数.
【答案】（1）解：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵∠EOF＝55°，OD⊥OF，
∴∠DOE＝35°，
∴∠BOE＝35°，
∴∠AOC＝70°；
（2）解：∵OF平分∠COE，
∴∠COF＝∠EOF，
∵∠BOF＝15°，
∴设∠DOE＝∠BOE＝x，
则∠COF＝x+15°，
∴x+15°+x+15°+x＝180°，
解得：x＝50°，
故∠DOE的度数为：50°.
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念得∠BOE＝∠DOE，由余角的性质得∠DOE=90°-∠EOF=35°，据此可得∠BOD的度数，然后根据对顶角的性质进行解答；
（2）根据角平分线的概念可得∠COF＝∠EOF，设∠DOE＝∠BOE＝x，则∠COF＝x+15°，然后根据平角的概念进行计算.
21．（2023八上·开福开学考）今年某市提出城市核心价值观：“包容、尚德、守法、诚信、卓越”，学校德育处为了了解学生对城市核心价值观中哪一项内容感兴趣，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图的统计图．请你结合图中信息解答下列问题：
（1）填空：该校共调查了 名学生；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中“尚德“所对应的圆心角是 度；
（4）若该校共有名学生，请你估计全校对“诚信“最感兴趣的人数．
【答案】（1）500
（2）解：最感兴趣为“诚信”的人数名，
条形统计图补充如下：
（3）72
（4）解：人．
所以该校共有名学生，估计全校对“诚信”最感兴趣的人数为人．
【知识点】利用统计图表描述数据
【解析】【解答】解：（1）有150人，占比30%，则共有：名
故答案为：500
（3）“尚德”占比：1-30%-25%-15%-10%=20%
则圆心角度数为：360°×20%=72°
故答案为：72
【分析】（1）根据总人数=“包容”人数÷“包容”所占比，即可求出答案；
（2）计算出“诚信”人数。补全条形统计图即可；
（3）圆心角=360°×所占比即可求出答案；
（4）人数=3000ד诚信所占比”即可求出答案。
22．（2023八上·开福开学考）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求证：BE=CF；
（2）如果AB=8，AC=6，求AE、BE的长．
【答案】（1）证明：连接DB、DC，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB=DC．
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．∠AED=∠BED=∠ACD=∠DCF=90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中
，
Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴BE=CF
（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
∵AC+CF=AF，
∴AE=AC+CF．
∵AE=AB﹣BE，
∴AC+CF=AB﹣BE，
∵AB=8，AC=6，
∴6+BE=8﹣BE，
∴BE=1，
∴AE=8﹣1=7．
即AE=7，BE=1．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的性质得出
DE=DF，由垂直平分线的性质可得DB=DC． 利用HL判断
Rt△DBE≌Rt△DCF，由全等三角形的对应边相等即可得出结论。（2）由HL判断Rt△ADE≌Rt△ADF，得出AE=AF，然后利用等量代换即可得出答案。
23．（2023八上·开福开学考）第三届中非经贸博览会近期在长沙举办，某饮料店欲在展会上购买，两种咖啡豆已知袋品种咖啡豆的总价与袋品种咖啡豆的总价相等，购买袋品种和袋品种共需元．
（1）求、两个品种咖啡豆的单价各是多少元？
（2）现计划用元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种咖啡豆共袋，且品种的数量不少于品种数量的，求两种咖啡豆共有多少种选购方案？品种咖啡豆选购多少袋时总费用最少？
【答案】（1）解：设品种咖啡豆的单价是元，则品种咖啡豆的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
．
答：品种咖啡豆的单价是元，品种咖啡豆的单价是元
（2）解：设购买袋品种咖啡豆，则购买袋品种咖啡豆，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
两种咖啡豆共有种选购方案，
方案：购买袋品种咖啡豆，袋品种咖啡豆，总费用为元；
方案：购买袋品种咖啡豆，袋品种咖啡豆，总费用为元；
方案：购买袋品种咖啡豆，袋品种咖啡豆，总费用为元．
，
品种咖啡豆选购袋时总费用最少．
答：两种咖啡豆共有种选购方案，品种咖啡豆选购袋时总费用最少．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设品种咖啡豆的单价是元，则品种咖啡豆的单价是元，根据题意列出方程，解方程即可求出答案；
（2）设购买袋品种咖啡豆，则购买袋品种咖啡豆， 根据题意列出不等式组，解不等式组求出整数解，再代入计算进行比较即可求出答案。
24．（2023八上·开福开学考）阅读材料并回答下列问题：
当，都是实数，且满足，就称点为“郡麓点”例如：点，令得，，所以不是“郡麓点”；，令得，，所以是“郡麓点”．
（1）请判断点，是否为“郡麓点”：
（2）若以关于，的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求的值；
（3）若以关于，的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求正整数，的值．
【答案】（1）不是“郡麓点“，是“郡麓点”
（2）解：方程组的解为，
点是“郡麓点”，
，
，
，
，
解得，
的值为．
（3）解：方程组的解为，
点是“郡麓点”，
，
，
，
，
解得，
，为正整数，
或或或
【知识点】二元一次方程的解；定义新运算
【解析】【解答】解：（1），令
解得：
∴不是“郡麓点“
，令
解得：
∴是“郡麓点”
故答案为：不是“郡麓点“，是“郡麓点”
【分析】（1）根据“郡麓点”的定义进行判断即可求出答案；
（2）根据“郡麓”点的定义得出t值即可求出答案；
（3）根据“郡麓”点的定义进行计算即可求出答案。
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