2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--5.2　平面与平面垂直(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第六章　立体几何初步
§5　垂直关系
5.2　平面与平面垂直
基础过关练
题组一　二面角
1.(2022江苏盐城响水第二中学期中)过空间内任意一点分别向两个半平面作垂线,则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是(　　)
A.相等　　　B.互补
C.互余　　　D.相等或互补
2.如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆O上一点(不同于A,B两点),且PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为(　　)
A.60°　　　B.30°　　　C.45°　　　D.15°
3.(2023辽宁丹东期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则二面角E-B1C1-C的平面角的正切值为(　　)
A.1　　　B.5　　　
C.2　　　D.2
4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3,侧棱AA1=,D是CB延长线上的一点,且BD=BC,则二面角B1-AD-B的大小为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
题组二　平面与平面垂直的性质
5.(2023四川遂宁中学月考)已知直线l和平面α,β,若l⊥α,α⊥β,则(　　)
A.l⊥β　　　B.l∥β
C.l β　　　D.l∥β或l β
6.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,在平面AB1内任取一点M,作ME⊥AB于E,则(　　)
A.ME⊥平面AC　　　B.ME 平面AC
C.ME∥平面AC　　　D.以上都有可能
7.(2022山东潍坊北海中学月考)平面α⊥平面β,α∩β=l,n β,n⊥l,直线m⊥α(m,n是两条不同的直线),则直线m与n的位置关系是　　　　　　　.
8.(2022河南开封五县期中)如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,BC=CC1,且平面AB1C⊥平面BB1C1C,求证:BC1⊥AB1.
9.如图所示,P是菱形ABCD所在平面外的一点,且∠DAB=60°,△PAD为正三角形,其所在平面垂直于菱形ABCD所在平面,若PB与平面AC的夹角为θ,求角θ的值.
题组三　平面与平面垂直的判定
10.(2022北京延庆监测)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊥β,则“m α”是“α⊥β”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
11.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则图中互相垂直的平面有(　　)
A.1对　　　B.2对　　　C.3对　　　D.5对
12.(2022河南安阳重点高中联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,E为线段PC的中点,△PAD为正三角形,AB=AD=2,CD=4,AB∥CD,CD⊥AD,CD⊥BE.求证:平面PBC⊥平面PCD.
13.(2023安徽普通高中学业水平考试)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,E为PB的中点.
(1)求证:EO∥平面PDC;
(2)求证:平面PAC⊥平面PBD.
能力提升练
题组一　二面角
1.(2022湖北新高考部分校质检)一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系为(　　)
A.相等　　　B.互补
C.相等或互补　　　D.不确定
2.(2022四川成都七中期中)攒尖在中国古建筑(如宫殿、坛庙、园林等)中大量存在,攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶,使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状.始建于1752年的廓如亭(位于北京颐和园内,如图)是全国最大的攒尖亭宇,八角重檐,蔚为壮观.其檐平面呈正八边形,上檐边长为a,宝顶到上檐平面的距离为h,则攒尖坡度(即屋顶斜面与檐平面所成二面角的正切值)为(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
3.(2023江苏南京外国语学校月考)在二面角α-l-β中,A∈l,B∈l,AC α,BD β,且AC⊥l,BD⊥l,若AB=1,AC=BD=2,CD=,则二面角α-l-β的余弦值为(　　)
A.　　　B.-　　　
C.　　　D.-
题组二　平面与平面垂直的性质
4.(多选题)已知两个平面互相垂直,则下列命题错误的是(　　)
A.一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
B.一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
C.一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面
D.过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面
5.(2023上海华东师范大学第二附属中学月考)在矩形ABCD中,AB=15,BC=20,现将△CBD沿对角线BD翻折,使得平面ABD与平面CBD垂直,此时A,C两点之间的距离为　　　　.
6.(2022河南许平汝联盟一联)在矩形ABCD中,AB=2AD=4,E为CD的中点(如图1),沿AE将△ADE折起到△APE处,使得平面PAE⊥平面ABCE(如图2),求直线PC与平面ABCE夹角的正切值.
7.(2022江西师大附中月考)已知四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形,平面PBC⊥平面ABCD,点E在AD上,AD⊥平面PEC.
(1)求证:PC⊥平面ABCD;
(2)若AE=2ED,试过点A作与平面PCE平行的平面α,确定它与四棱锥P-ABCD表面的交线,并说明理由.
题组三　平面与平面垂直的判定
8.(多选题)(2023云南曲靖第二中学期末)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=4,BC=2,M,N分别为棱C1D1,CC1的中点,则下列说法正确的是(　　 )
A.A,M,N,B四点共面
B.平面ADM⊥平面CDD1C1
C.直线BN与B1M的夹角为60°
D.BN∥平面ADM
9.(2021山西运城新康国际实验学校月考)如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥BC,PA=BC=1,PB=AC=,则下列命题不正确的是(　　)
A.平面PAB⊥平面PBC
B.平面PAB⊥平面ABC
C.平面PAC⊥平面PBC
D.平面PAC⊥平面ABC
10.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同的直线,给出下列四个论断:
①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.
以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:　　　　　.(用序号表示)
11.(2022安徽池州期末)在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,BC⊥平面VAB,VA⊥VB,设平面VAB与平面VCD的公共直线为l.
(1)写出图中与l平行的直线,并证明;
(2)求证:平面VAD⊥平面VBC.
12.(2023浙江温州开学考试)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形且∠ABC=.
(1)求PD的长;
(2)若=λ,是否存在实数λ,使得平面CDH⊥平面PAB 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第六章　立体几何初步
§5　垂直关系
5.2　平面与平面垂直
基础过关练
1.D 2.C 3.C 4.D 5.D 6.A 10.A 11.D
1.D　如图,A为空间内任意一点,AB⊥α,AC⊥β,过点B作BD⊥l于点D,连接CD,
则∠BDC为二面角α-l-β的平面角,∠ABD=∠ACD=90°,∠BAC为两条垂线AB与AC的夹角或其补角,
∴∠BAC+∠BDC=180°,
∴当二面角的平面角为锐角或直角时,AB与AC的夹角与二面角的平面角相等,
当二面角的平面角为钝角时,AB与AC的夹角与二面角的平面角互补.
2.C　由条件得PA⊥BC,AC⊥BC.又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°.故选C.
3.C　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C1⊥C1C,B1C1⊥平面C1CDD1,
因为C1E 平面C1CDD1,所以B1C1⊥C1E,故∠EC1C即为二面角E-B1C1-C的平面角.
过E作EF⊥C1C于点F,则F为C1C的中点.
故tan∠EC1F==2.
4.D　由题意知AB=DB=3,BB1=AA1=且∠ABD=,
如图,过B作BE⊥AD于E,连接B1E,易得BE=.
∵BB1⊥平面ABD,AD 平面ABD,∴AD⊥BB1,
又BB1∩BE=B,∴AD⊥平面BEB1,又B1E 平面BEB1,∴AD⊥B1E,故∠BEB1为二面角B1-AD-B的平面角,
又tan∠BEB1=,∠BEB1∈,
∴∠BEB1=.故选D.
5.D　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
①CC1⊥平面ABCD,平面ABCD⊥平面ABB1A1,CC1∥平面ABB1A1;
②AA1⊥平面ABCD,平面ABCD⊥平面ABB1A1,AA1 平面ABB1A1.
综上,若l⊥α,α⊥β,则l∥β或l β.
6.A　 由ME 平面AB1,平面AB1∩平面AC=AB,且平面AB1⊥平面AC,ME⊥AB,得ME⊥平面AC.
7.答案　m∥n
解析　根据面面垂直的性质定理得n⊥α,又m⊥α,所以m∥n.
8.证明　在直三棱柱A1B1C1-ABC中,
因为BC=CC1,所以四边形BB1C1C为正方形,
所以B1C⊥BC1.
因为平面AB1C⊥平面BB1C1C,平面AB1C∩平面BB1C1C=B1C,BC1 平面BB1C1C,
所以BC1⊥平面AB1C.
因为AB1 平面AB1C,所以BC1⊥AB1.
9.解析　取AD的中点G,连接PG,BG(图略).
∵△PAD是正三角形,∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面AC,平面PAD∩平面AC=AD,PG 平面PAD,∴PG⊥平面AC,
∴∠PBG为PB与平面AC的夹角θ.
易知在△PBG中,PG⊥BG,BG=PG,∴∠PBG=45°,即θ=45°.
10.A　由m⊥β,m α,可得α⊥β;
由α⊥β,m⊥β,可得m α,或m∥α.
因此,“m α”是“α⊥β”的充分不必要条件.
11.D　∵四边形ABCD是矩形,∴DA⊥AB.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥DA.
又AB∩PA=A,∴DA⊥平面PAB.
同理BC⊥平面PAB,AB⊥平面PAD,DC⊥平面PAD,∴平面PAD⊥平面AC,平面PAB⊥平面AC,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面PAD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.
12.证明　取PD的中点F,连接AF,EF,∵E,F分别为PC,PD的中点,
∴EF∥CD且EF=CD,
又∵AB∥CD,AB=CD,∴EF∥AB且EF=AB,
∴四边形ABEF为平行四边形,∴AF∥BE.
∵CD⊥BE,∴CD⊥AF.
∵△PAD为正三角形,∴AF⊥PD.
∵CD∩PD=D,CD,PD 平面PCD,
∴AF⊥平面PCD,∴BE⊥平面PCD.
∵BE 平面PBC,∴平面PBC⊥平面PCD.
13.证明　(1)∵底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,∴O为BD的中点,
又E为PB的中点,∴EO∥PD,
∵EO 平面PDC,PD 平面PDC,
∴EO∥平面PDC.
(2)∵底面ABCD是正方形,∴AC⊥BD,
又PD⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,∴PD⊥AC,
∵PD∩BD=D,PD,BD 平面PBD,
∴AC⊥平面PBD,
又AC 平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBD.
能力提升练
1.D 2.D 3.A 4.ACD 8.BC 9.C
1.D　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CD的中点,二面角D-AA1-E与二面角B1-AB-D的两个半平面是分别对应垂直的,但是这两个二面角既不相等,也不互补.故选D.
2.D　上檐平面呈现的正八边形如图所示,其中AB=a.
设正八边形的中心为O,E是AB的中点,
则∠OAB=∠OBA=67.5°,AE=,
∴OE=AEtan∠OAB.
∵=tan(2∠OAB)=tan 135°=-1,
∴tan∠OAB=1+(负值舍去),∴OE=a,
∴攒尖坡度为.
3.A　在平面β内,过点A作AE∥BD,过点D作DE∥l,交AE于点E,连接CE.
∵BD⊥l,∴AE⊥l,
又AC⊥l,∴∠CAE是二面角α-l-β的平面角.
∵DE∥l,∴DE⊥AC,DE⊥AE,
∵AE∩AC=A,AE,AC 平面ACE,
∴DE⊥平面ACE,
∵CE 平面ACE,
∴DE⊥CE.
在Rt△CDE中,CE==2,
∴△ACE是等边三角形,
∴∠CAE=60°,∴cos∠CAE=.
∴二面角α-l-β的余弦值为.故选A.
4.ACD　构造正方体ABCD-A1B1C1D1,如图所示,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,A1D 平面ADD1A1,BD 平面ABCD,显然A1D与BD不垂直,故A中命题错误;
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,可知AB⊥平面ADD1A1,若l是平面ADD1A1内任意一条直线,l与平面ABCD内和AB平行的所有直线均垂直,故B中命题正确;
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,A1D 平面ADD1A1,但A1D与平面ABCD不垂直,故C中命题错误;
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD,过交线AD上的任一点作交线的垂线l,则l可能与平面ABCD垂直,也可能与平面ABCD不垂直,故D中命题错误.
5.答案　
解析　如图,过点A作AG⊥BD,垂足为G,过点C作CH⊥BD,垂足为H,连接AC,GC.
在矩形ABCD中,AB=15,AD=BC=20,
所以BD==25,
在Rt△ABD中,由面积相等可得AB·AD=BD·AG,解得AG=12,
在Rt△ABG中,BG==9,
同理CH=12,HD=9,所以GH=BD-BG-HD=7,
在Rt△CGH中,CG=.
因为平面ABD⊥平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,AG⊥BD,AG 平面ABD,所以AG⊥平面CBD,
因为CG 平面CBD,所以AG⊥CG,
在Rt△ACG中,AC=.
6.解析　取AE的中点F,连接CF,PF,则PF⊥AE,
又∵平面PAE⊥平面ABCE,平面PAE∩平面ABCE=AE,PF 平面PAE,
∴PF⊥平面ABCE,
则直线PC与平面ABCE的夹角为∠PCF.
在Rt△PAE中,AP=PE=2,
∴AE=,
∴PF=EF=,
在△CEF中,易知∠CEF=135°,CE=2,则CF2=EF2+CE2-2EF·CE·cos∠CEF=10,所以CF=,
所以tan∠PCF=.
7.解析　(1)证明:因为AD⊥平面PEC,PC 平面PEC,所以AD⊥PC.
在平行四边形ABCD中,AD∥BC,所以PC⊥BC.
因为平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,PC 平面PBC,
所以PC⊥平面ABCD.
(2)如图,在BC上取点N,使CN=2NB,连接AN,在PB上取点M,使PM=2MB,连接MN,AM,则平面AMN即为平面α,AN,MN,AM为它与四棱锥P-ABCD表面的交线.
理由如下:在平行四边形ABCD中,点E在AD上,且AE=2ED,则CN=AE,
又因为CN∥AE,所以四边形AECN为平行四边形,
所以AN∥CE,又AN 平面PCE,CE 平面PCE,
所以AN∥平面PCE.
在△PBC中,CN=2NB,PM=2MB,所以MN∥PC,
又MN 平面PCE,PC 平面PCE,
所以MN∥平面PCE.
又MN∩AN=N,MN 平面AMN,AN 平面AMN,
所以平面AMN∥平面PCE,平面AMN即为平面α,线段AN,MN,AM是平面α与四棱锥P-ABCD表面的交线.
方法总结　证明线面垂直,一种方法是利用直线与平面垂直的判定定理,另一种方法是利用平面与平面垂直的性质定理.利用平面与平面垂直的性质定理证明线面垂直时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直是前提条件;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.
8.BC　点A,M,B在平面ABC1D1内,点N在平面ABC1D1外,故A错误;
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥平面CDD1C1,
又AD 平面ADM,所以平面ADM⊥平面CDD1C1,故B正确;
如图所示,
取CD的中点E,连接BE,NE,易得BE∥B1M,则 ∠EBN(或其补角)为异面直线BN与B1M的夹角,在△BEN中,BE=BN=EN=,所以△EBN是等边三角形,则∠EBN=60°,即直线BN与B1M的夹角为60°,故C正确;
假设BN∥平面ADM,又BC∥平面ADM,BC∩BN=B,所以平面BCC1B1∥平面ADM,显然不成立,故D错误.故选BC.
9.C　在△PBC中,PB2+BC2=12+()2=PC2,∴BC⊥PB,
又PA⊥BC,PA∩PB=P,∴BC⊥平面PAB,
又BC 平面PBC,BC 平面ABC,
∴平面PAB⊥平面PBC,平面PAB⊥平面ABC,
故A,B中命题正确;
在△PAC中,PA2+AC2=12+()2=PC2,
∴PA⊥AC,
又PA⊥BC,BC∩AC=C,∴PA⊥平面ABC,
又PA 平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABC,故D中命题正确;
对于C选项,假设平面PAC⊥平面PBC,过A作AM⊥PC,交PC于M,如图,
又平面PAC∩平面PBC=PC,AM 平面PAC,∴AM⊥平面PBC,
又BC 平面PBC,∴AM⊥BC,
又PA⊥BC,PA∩AM=A,
∴BC⊥平面PAC,又AC 平面PAC,∴BC⊥AC,
这与△ABC中BC⊥AB相矛盾,故假设不正确,故C中命题错误.
10.答案　①③④ ②(答案不唯一)
解析　m⊥n,将m和n平移到相交的位置,此时确定一平面,设为γ.
∵n⊥β,m⊥α,
∴平面γ与平面α和平面β的交线也互相垂直,
从而平面α和平面β所成的二面角的平面角为90°,∴α⊥β.故①③④ ②.
11.解析　(1)题图中与l平行的直线为AB和CD,证明如下:
因为底面ABCD为平行四边形,所以CD∥AB,
因为CD 平面VAB,AB 平面VAB,
所以CD∥平面VAB.
因为平面VAB与平面VCD的交线为l,CD 平面VCD,
所以CD∥l,即l∥CD,由平行线的传递性得l∥AB.
(2)证明:因为BC⊥平面VAB,VA 平面VAB,
所以BC⊥VA,
因为VA⊥VB,VB∩BC=B,VB,VC 平面VBC,
所以VA⊥平面VBC,
因为VA 平面VAD,
所以平面VAD⊥平面VBC.
12.解析　(1)取线段AB的中点E,连接CE,PE,
因为四边形ABCD是边长为2的菱形,
所以BC=2,BE=1,
在△BEC中,CE2=BC2+BE2-2BC·BEcos =3,
所以BE2+CE2=BC2,所以BE⊥CE,即CE⊥AB,
因为PB=PA,E是AB的中点,所以PE⊥AB,
因为PE∩CE=E,PE,CE 平面PCE,
所以AB⊥平面PCE,
因为PC 平面PCE,所以PC⊥AB,
因为CD∥AB,所以PC⊥CD,
在Rt△PCD中,PC=,CD=2,
所以PD=.
(2)存在.过点C作CM⊥PE,垂足为M,
因为AB⊥平面PCE,AB 平面PAB,
所以平面PAB⊥平面PCE,
因为平面PAB∩平面PCE=PE,CM 平面PCE,CM⊥PE,
所以CM⊥平面PAB.
过点M作HN∥AB,分别交PA,PB于点N,H,
因为CD∥AB,所以HN∥CD,
所以C,D,N,H四点共面,
因为CM 平面CDNH,
所以平面CDNH⊥平面PAB,
因为PA=PB=4,AE=1,PE⊥AB,
所以PE=,
在△PCE中,CE=,
所以cos∠PCE=,
所以sin∠PCE=,
S△PCE=PC·CEsin∠PCE=PE·CM,
所以CM=,
所以EM=,
因为HN∥AB,所以λ=.
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