2024北师版高中数学必修第二册同步练习题--5.2　向量数量积的坐标表示(含解析)

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2024北师版高中数学必修第二册同步练习题
第二章　平面向量及其应用
§5　从力的做功到向量的数量积
5.2　向量数量积的坐标表示
基础过关练
题组　平面向量数量积的坐标表示及应用
1.(2022吉林长春德惠一中月考)设向量a=(2,-1),向量b=(-3,1),向量c=(1,-2),则向量(a+2b)·c=(　　)
A.-2　　　B.1　　　C.-6　　　D.-7
2.(2022河南豫南九校联考)已知向量a=(3,-2),b=(m,1),若a⊥b,则a-3b=(　　)
A.(0,5)　　　B.(5,1)
C.(1,-5)　　　D.
3.(2022河南豫北名校期中)在正方形ABCD中,AB=2,P为BC的中点,Q为CD的中点,M为边AB上的动点(包括端点),则·的取值范围为(　　)
A.　　　B.[-1,0]
C.　　　D.[-1,1]
4.如图,将两个全等的三角板拼成一个平面四边形ABCD,若AB=1,AC=2,AD⊥CD,点P为AB边的中点,连接CP,DP,则·=(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
5.已知过点A(1,1)的直线l的方向向量为m=(1,2),则原点O到直线l的距离为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
6.(2022河南六市重点高中联考)已知向量a=(3,x),b=(1,2),c=(1,),若a∥b,则向量a-b在c方向上的投影数量为　　　　.
7.(2021山东烟台月考)△ABO的三个顶点分别为A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点,满足·≤0,·≥0,则·的最小值为　　　　.
8.(2021天津阶段性检测)已知向量a=(1,,1),若存在正数k和t,使得向量c=a+(t2+1)b与d=-ka+b互相垂直,则k的最小值是　　　　.
9.(2021江西宜春上高二中期中)如图,在等腰梯形ABCD中,下底BC的长为3,底角C为45°,高为a,E为上底AD的中点,F为折线段C-D-A上的动点,设·的最小值为g(a),若关于a的方程g(a)=ka-1有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为　　　　.
10.(2021江苏六合高级中学月考)在平面直角坐标系Oxy中,已知A(1,5),B(7,1),C(1,2).
(1)若四边形ABCD为平行四边形,求与夹角的余弦值;
(2)若M,N分别是线段AC,BC的中点,点P在线段MN上运动,求·的最大值.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面向量及其应用
§5　从力的做功到向量的数量积
5.2　向量数量积的坐标表示
基础过关练
1.C 2.C 3.D 4.A 5.B
1.C　(a+2b)·c=[(2,-1)+2(-3,1)]·(1,-2)=(-4,1)·(1,-2)=-4-2=-6.
2.C　因为a⊥b,所以a·b=0,所以3m-2=0,解得m=,则a-3b=(3,-2)-3=(1,-5).
3.D　根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,
则B(0,0),P(1,0),Q(2,1),
因为M为边AB上的动点(包括端点),
所以可设M(0,n),0≤n≤2,
所以=(1,1)·(-1,n)=n-1,
因为0≤n≤2,所以-1≤n-1≤1,
即∈[-1,1].
4.A　连接DB,以AC与BD的交点为原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系,则C,所以P,所以,所以=1.故选A.
5.B　设n=(x,y),且n⊥l,则n⊥m,
所以n·m=(x,y)·(1,2)=x+2y=0,
令y=-1,则x=2,n=(2,-1),
而=(-1,-1),
所以点O到直线l的距离d===.故选B.
6.答案　1+2
解析　由a∥b,得x=6,则a=(3,6),又b=(1,2),所以a-b=(2,4),所以向量a-b在c方向上的投影数量为.
7.答案　3
解析　∵=(x-1,y)·(1,0)=x-1≤0,
∴x≤1,∴-x≥-1,
∵=(x,y-2)·(0,2)=2(y-2)≥0,∴y≥2.
∴=(x,y)·(-1,2)=2y-x≥3.
∴的最小值为3.
8.答案　2
解析　由题意可得c=a+(t2+1)b=(1-+t2+1),d=-ka+b=.
∵c⊥d,∴c·d=(1- )·,
∵t>0,∴k≥2=2,当且仅当t=1时,取等号,故k的最小值为2.
9.答案　
解析　以B为坐标原点,的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,使A在第一象限内,
则B(0,0),A(a,a),E,
易知当F落在A点时,取最小值g(a),
即g(a)=·(a,a)=a2+,
若关于a的方程g(a)=ka-1有两个不相等的实数根,
则a2+a+1=0在a∈上有两个不相等的实数根,
故.
故实数k的取值范围是.
10.解析　(1)由题可得=(0,-3).
设D(x,y),则=(1-x,2-y).
因为四边形ABCD为平行四边形,所以,
所以即D(-5,6),
所以=(12,-5).
设的夹角为θ,则cos θ=
=,
所以.
(2)因为M,N分别是线段AC,BC的中点,
所以M,所以,
因为点P在线段MN上运动,所以可设,λ∈[0,1],则=(3λ,-2λ),
所以,
所以,0≤λ≤1.
令f(λ)=13λ2-20λ-,λ∈[0,1],
因为二次函数y=13x2-20x-的图象开口向上,对称轴方程为x=∈[0,1],且f(0)=-, f(1)=-,
所以当λ=0时, f(λ)取得最大值-,
即的最大值为-.
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